“不動(dòng)”點(diǎn)“妙”解數(shù)列通項(xiàng)

王春宇

【摘要】數(shù)列是不動(dòng)點(diǎn)妙解的重要應(yīng)用領(lǐng)域，但有些數(shù)列的通項(xiàng)公式由于遞推關(guān)系的復(fù)雜性而難以求解.本文介紹不動(dòng)點(diǎn)妙解數(shù)列通項(xiàng)的方法，通過(guò)尋找數(shù)列中的不動(dòng)點(diǎn)，將數(shù)列中的某一項(xiàng)作為參數(shù)，代入遞推關(guān)系式中，求解得到該項(xiàng)的通項(xiàng)公式.該方法可以簡(jiǎn)化數(shù)列遞推關(guān)系的處理，使得求解數(shù)列通項(xiàng)公式更加容易.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)列；不動(dòng)點(diǎn)

數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中占有很重要的地位，而有些數(shù)列的通項(xiàng)公式由于數(shù)列遞推關(guān)系的千變?nèi)f化變得很復(fù)雜.定義方程f（x）=x的根為函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)，通過(guò)函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)，可把數(shù)列遞推關(guān)系an=fan－1轉(zhuǎn)化為我們熟知的等差數(shù)列、等比數(shù)列或較易求通項(xiàng)的數(shù)列

命題1? 形如an=pan－1+q（p≠0），λ是此形式an=f（an－1）的不動(dòng)點(diǎn)，即λ=pλ+q，則an－λ=p（an－1－λ），這樣我們就得到{an－λ}的等比數(shù)列.

證明? 因?yàn)閍n－λ=pan－1+q－λ=pan－1+q－pλ－q=p（an－1－λ），

所以{an－λ}為等比數(shù)列.

命題2? 形如an=aan－1+bcan－1+d（c≠0，ad－bc≠0），λ是此形式an=f（an－1）的不動(dòng)點(diǎn)，即λ=aλ+bcλ+d，則1an－λ=cλ+da－cλ·1an－1－λ+ca－cλ（a，b，c，d，λ為常數(shù)），令bn=1an－λ，這樣我們就得到形如an=pan－1+q.

證明? 因?yàn)棣?aλ+bcλ+d，

所以b－dλ=cλ2－aλ，

所以1an－λ=1aan－1+bcan－1+d－λ

=1（a－cλ）an－1+b－dλcan－1+d=can－1+d（a－cλ）an－1+b－dλ=can－1+d（a－cλ）an－1+cλ2－aλ=can－1+d（a－cλ）（an－1－λ）=c（an－1－λ）+cλ+d（a－cλ）（an－1－λ）=cλ+da－cλ·1an－1－λ+ca－cλ.

例1? 已知數(shù)列an的首項(xiàng)為a1=5，前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＋1=2Sn+n+5（n∈N*），求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解? 由已知Sn＋1=2Sn+n+5，

得當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=2Sn－1+（n-1）+5，

兩式相減，得an＋1=2an+1（n≥2），

當(dāng)n=1時(shí)，S2=2S1+6，

即a1+a2＝2a1+6，

即a2=a1+6，

又a1=5，所以a2=11，

從而a2=2a1+1，

故an＋1=2an+1對(duì)n∈N*成立.

令x=2x＋1，則x=-1，在遞推式an＋1=2an+1兩邊同時(shí)減去－1，

即an＋1+1=2（an+1），

所以數(shù)列{an+1}是公比為2的等比數(shù)列，

所以an+1=（a1+1）×2n－1=6×2n－1，

故an=3×2n-1（n∈N*）.

例2? （重慶高考題）設(shè)數(shù)列an滿足a1=1，8an+1an－16an+1+2an+5=0（n≥1），求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解? 方法1

化簡(jiǎn)8an+1an－16an+1+2an+5=0，

得an+1=2an+516－8an，

令x=2x+516－8x，

則x=12或54.

在遞推式an+1=2an+516－8an兩邊同時(shí)減去12，

即an+1－12=2an+516－8an－12，

化簡(jiǎn)得1an+1－12=21an－12－43.

令bn=1an－12，

得bn+1=2bn－43，

再令λ=2λ－43，則λ=43，

從而bn+1－43=2bn－43，

故bn－43=2n－1b1－43.

又b1=1a1－12=2，

從而得bn=4+2n3.

又bn=1an－12，

故an=5+2n－14+2n.

方法2? 化簡(jiǎn)8an+1an－16an+1+2an+5=0，

得an+1=2an+516－8an，

令x=2x+516－8x，則x=12或54.

在遞推式兩邊同時(shí)減去12或54，

即an+1－12=6（an－12）16－8an，

an+1－54

=12（an－54）16－8an，

所以an+1－12an+1－54=12an－12an－54，

從而an－12an－54=12n－1a1－12a1－54=－42n，

所以an=5+2n－14+2n.

對(duì)于求此類一次齊次分式數(shù)列通項(xiàng)，方法1不管有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)還是兩個(gè)不同不動(dòng)點(diǎn)都可以，但方法2要求更苛刻一些，它要求有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn).

結(jié)語(yǔ)

數(shù)列很能鍛煉學(xué)生的思維，它有一定的技巧，不動(dòng)點(diǎn)“妙”解數(shù)列（特別是分式數(shù)列）通項(xiàng)就是這樣的一種技巧，我們要一看到求數(shù)列通項(xiàng)就看看“不動(dòng)點(diǎn)法”可不可以用，靈活運(yùn)用它.其實(shí)不動(dòng)點(diǎn)還可以解決更多的數(shù)列通項(xiàng)的題，大家如果有興趣可以更深入地探究，只要大膽嘗試，就會(huì)有發(fā)現(xiàn).千變?nèi)f化的遞推關(guān)系，“不動(dòng)”點(diǎn)以靜制動(dòng)，點(diǎn)到路“通”，“妙”解分式數(shù)列.

參考文獻(xiàn)：

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