借助化歸思想，解答數學難題

喻成剛

【摘要】在高中數學解題教學中，學生會遇到一些難題，對學生學習效率有著較大的影響.為了提高課堂教學效率，教師應當注重數學思想的引入.化歸思想作為重要的數學思想，引入高中數學課堂，能夠提高課堂教學效率.同時，化歸思想有利于學生數學難題的解答，幫助學生掌握數學解題方法，進一步強化學生思維能力.本文分析數學難題解題中化歸思想的應用策略.

【關鍵詞】高中數學；化歸思想；解題策略

化歸思想即轉化與歸結思想，是重要的數學思想與方法，核心是對未解決的問題進行轉化.在高中數學解題中，無論是難還是易，常常會用到化歸思想，如空間轉化平面、多元轉化少元、高次轉化低次、復雜轉化簡單、一般轉化特殊以及隱性轉化顯性等，通過這樣化繁為簡，有效解決數學難題.

1? 空間轉化為平面

例1? 如圖1（a）所示，S－ABC是正三棱錐，∠ASB=40°，M是SB上的點，N是SC上的點，如果SA=3，求解AM+MN+NA的最小值.

解析? M是SB上的點，N是SC上的點，AM，MN，NA在三棱錐的表面，是空間內收尾相接的折線，如果將三棱錐的側面沿著SA展開，將三個側面展開在同一個平面內，如圖1（b）所示，當AM、MN、NA成一條直線時，AM+MN+NA的值最小，根據余弦定理求解出最小值是33.

圖1

2? 高次轉化為低次

例2? 已知函數f（x）=ax3+bx2－3x，當x=±1時，函數取極值，討論f（1）與f（－1）哪個為極大值，哪個為極小值.

解? 根據函數f（x）=ax3+bx2－3x，

所以f′（x）=3ax2+2bx－3，

根據題意得f′（1）=f′（－1），

所以3a+2b－3=0，3a－2b－3=0，

所以a=1，b=0，所以f（x）=x3－3x，

f′（x）=3x2－3=3（x+1）（x－1），

令f′（x）=0，所以x=±1.

若x∈（－∞，－1）∪（1，+∞），則f′（x）＞0，所以f（x）在（－∞，－1）∪（1，+∞）是增函數.

若x∈（－1，1），f′（x）＜0，所以f（x）在（－1，1）上是減函數.

所以，f（－1）=2是極大值，f（1）=－2是極小值.

3? 復雜轉化為簡單

例3? 對于所有實數x，不等式x2log24（a+1）a+2xlog22aa+1+log2（a+1）24a2＞0恒成立，求a的取值范圍.

解? 設t=log22aa+1，

所以log24（a+1）a=3－t，log2（a+1）24a2=－2t，

所以原不等式可以轉化為（3－t）x2+2tx－2t＞0恒成立，

因為對于所有實數x，不等式恒成立，

所以3－t＞0，Δ=4t2－4（3－t）＜0，

求解得出t＜0，

即log22aa+1＜0，

所以0＜2aa+1＜1，

得出0＜a＜1.

4? 一般轉化為特殊

例4? 已知x，y∈R+，是否存在常數c使得不等式x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y恒成立？試證明.

解析? 在解此題時，可以利用一般轉化為特殊的方式，考慮不等式等號成立的情況，令x=y，所以得出23≤c≤23，所以c=23.

首先證明x2x+y+yx+2y≤23，

因為x，y∈R+，所以只需要證明3x（x+2y）+3y（2x+y）≤2（2x+y）（x+2y），

得出x2+y2－2xy≥0，

即（x－y）2≥0恒成立.

同理可以證明23≤xx+2y+y2x+y，

所以存在常數c=23使得不等式x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y恒成立.

5? 隱性轉化為顯性

例5? 解不等式|x2－10x+26－x2－2x+2|＜2.

解? 原不等式可以轉化為

y=1，|（x－5）2+y2－（x－1）2+y2|＜2，

解得y=1，（x－3）2－y23＜1，

所以3－233＜x＜3+233.

6? 多元轉化為少元

例6? 在銳角△ABC中，如果cosA=cosαsinβ，cosB=cosβsinγ，cosC=cosrsina，求證：tanαtanβtanλ=1.

證明? 在△ABC中，A+B+C=180°，

所以cos（A+B）=－cosC，

cosAcosB－sinAsinB=－cosC.

所以（cosAcosB+cosC）2=sin2Asin2B，

所以cos2A+cos2B+cos2C=1－2cosAcosBcosC，

代入已知條件，得出α、β、γ的關系：

cos2αsin2β+cos2βsin2γ+cos2γsin2α=1－2cosαcosβcosγsinαsinβsinγ，

兩邊同時除以cos2αcos2βcos2γ得出：

tan2βsec2γ+tan2γsec2α+ tan2αsec2β= sec2asec2βsec2γ－2tanαtanβtanγ，

因為sec2γ=1+tan2γ，

sec2β=1+tan2β，

sec2α=1+tan2α，

代換可以得出（tanαtanβtanγ－1）2=0，

所以tanαtanβtanγ=1.

7? 結語

在高中數學難題解題中，利用化歸思想，將復雜、困難問題轉化成簡單熟悉的問題.在化歸思想應用時，應當避免硬套公式，需要靈活利用，仔細閱讀題目，對題目條件和結論進行分析.同時，教師需要讓學生做好日常學習積累，歸納總結化歸思想應用方法，提高學生的難題解題能力.

參考文獻：

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