一道圓錐曲線角最大值問題的解法探究

王新新

【摘要】圓錐曲線最值問題是高考數(shù)學(xué)壓軸題的?？碱}型之一，而在解析幾何這一大類中涉及的幾何量如角、邊長、面積是求最值的常見對象.本文依據(jù)典型實例探究此類問題的解法思路.

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線；角最大值；高中數(shù)學(xué)

在求角最值類型的問題中，難點(diǎn)在于如何將角的最值轉(zhuǎn)化為研究代數(shù)式計算或者利用數(shù)形結(jié)合思想通過直觀圖形進(jìn)行求解.本文將根據(jù)一道圓錐曲線角最大值問題的典型例題探索此類題目的解題思路.

例題? 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為223，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l過橢圓C的焦點(diǎn)，且與x軸垂直時，|AB|=23.

（1）求橢圓C的方程；

（2）如圖1，設(shè)直線l過點(diǎn)（1，0）且傾斜角為鈍角，P為弦AB的中點(diǎn)，當(dāng)∠OPB最大時，求直線l的方程.

圖1

對于問題（1）易得橢圓C的方程為：x29+y2=1.問題（2）有如下幾種解法.

思路1? 轉(zhuǎn)化為斜率問題，利用正切公式

在解析幾何背景下有關(guān)角的表示問題，要注意到角本質(zhì)上是由直線相交構(gòu)成的，而與直線有關(guān)的角就是直線斜率所代表的傾斜角，對于傾斜角可以用正切公式處理，而角可以由傾斜角相加或相減得到，因此利用兩角和差的正切公式就可以表示出角的正切值大小.

解? 設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），

則直線AB的方程為y=k（x－1）（k<0）.

由A，B兩點(diǎn)在橢圓上可得

x129+y12=1，x229+y22=1.

兩式相減整理得到y(tǒng)12－y22x12－x22=－19，

即y1+y2x1+x2·y1－y2x1－x2=－19，

根據(jù)斜率的表達(dá)式此等式可化為kOPkAB= －19，

所以kOP=－19k.

設(shè)直線l，OP的傾斜角分別為α，β，

則∠OPB=α－β，tan∠OPB=tan（α－β）

=tanα－tanβ1+tanαtanβ=98k+19k

=－98－k+1－9k≤－98×23=－34.

當(dāng)且僅當(dāng)k=－13時取等號，

所以直線l的方程為y=－13（x－1）.

正切值是研究角大小最有效的三角函數(shù)形式，在運(yùn)算過程中，要注意所求角是由哪兩條直線相交構(gòu)成的，應(yīng)該如何通過角之間的轉(zhuǎn)化得出，選取不同的角運(yùn)算量一般也不相同.

思路2? 轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算

向量是解決解析幾何問題的重要工具，因為向量點(diǎn)乘公式中帶有角的余弦值形式，所以可以找到兩向量夾角即為所成角的向量，再結(jié)合題目條件代入向量的坐標(biāo)形式運(yùn)算，即可得到角的余弦值并討論大小.

解? 設(shè)直線AB的方程為y=k（x－1）（k<0），

點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），

則由A，B兩點(diǎn)在橢圓上可得

x129+y12=1，x229+y22=1.

兩式相減整理得到y(tǒng)12－y22x12－x22=－19，

即y1+y2x1+x2·y1－y2x1－x2=－19，

根據(jù)斜率的表達(dá)式此等式可化為kOPkAB=－19，

所以kOP=－19k.

易得y0=－x09k.

當(dāng)∠OPB最大時，∠OPA最小，

結(jié)合圖形可知∠OPA∈0，π2.

由PA=12BA，

cos∠OPA=|PO·PA||PO‖PA|=|PO·BA||PO‖BA|

=|x0+ky0|1+k2·x02+y02

=8911+k2·1+181k2

=891+181k2+k2+181≤45，

當(dāng)且僅當(dāng)k=－13時取等號，

所以直線l的方程為y=－13（x－1）.

在討論時要先確定角的大致范圍，理清余弦函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的變化趨勢，其次在得到最值后要對取等條件進(jìn)行回代，對角的范圍進(jìn)行檢驗.

思路3? 利用點(diǎn)到直線的距離公式，并結(jié)合正弦值討論

點(diǎn)到直線的距離公式：對于平面上一點(diǎn)（x0，y0），其到直線l：Ax+By+C=0（其中A，B不同時為零）的距離d=|Ax0+By0+C|A2+B2.通過將角對應(yīng)的邊的長度表示出來，再結(jié)合其斜邊的長度表達(dá)式，就可以得到角的正弦值.對于正弦值的大小進(jìn)行討論即可.

解? 當(dāng)∠OPB最大時，∠OPA最小，

由圖形可知∠OPA∈0，π2.

要使∠OPA最小，在此范圍內(nèi)，可以轉(zhuǎn)化為sin∠OPA最小.

設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），

直線AB的方程為y=k（x－1）（k<0），

與x29+y2=1聯(lián)立，

可得（9k2+1）x2－18k2x+9k2－9=0，

所以x1+x2=18k29k2+1，

y1+y2=k（x1+x2－2）=－2k9k2+1，

得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為（9k29k2+1，－k9k2+1）.

由原點(diǎn)到直線l的距離d=－kk2+1，

則點(diǎn)O到點(diǎn)P的距離可表示為

|OP|=（9k29k2+1）2+（－k9k2+1）2

=－k81k2+19k2+1，

對于∠OPA的正弦形式可得

sin∠OPA=d|OP|=9k2+1（k2+1）（81k2+1）

=81k4+18k2+181k4+82k2+1，

對此式進(jìn)行變換得1－64k281k4+82k2+1=1－6481k2+1k2+82≥35.

當(dāng)且僅當(dāng)k=－13時等號成立，所以直線l的方程為y=－13（x－1）.

在討論角的大小之前要先確定角的范圍，在對正弦值表達(dá)式進(jìn)行化簡的過程中要利用齊次構(gòu)造思想，將其轉(zhuǎn)化為可以使用基本不等式的形式，再進(jìn)行運(yùn)算即可.

結(jié)語

以上三種方法從三個層面解決了這道圓錐曲線角最大值問題，核心就在于如何將難以通過計算研究的角的大小轉(zhuǎn)換為代數(shù)的運(yùn)算.其次無論是三角函數(shù)的哪一種表示方法，都要注意對角的范圍進(jìn)行討論，這樣才能避免錯解漏解的情況.