立體幾何中動點軌跡常見問題及解題策略

郝以靜

【摘要】動點軌跡是一個重要的主題.它涉及許多幾何概念，如點、線、面、平行和垂直等.解決動點軌跡問題需要深入理解這些概念，并能夠熟練運用各種解題策略.以下是立體幾何中動點軌跡的常見問題和相應的解題策略.

【關鍵詞】立體幾何；動點軌跡；高中數學

立體幾何中的動點軌跡問題是一類較為復雜的題目，是對學生計算能力、空間思維等核心素養的綜合考查，因而常常出現在高考試題中.為幫助學生建立相關問題的解題思路，本文結合實際問題，對常見軌跡問題進行分類辨析，以提高學生的解題效率.

1? 由動點保持定距（或等距）求軌跡

在這類題型中，通常為空間中一動點，距離兩直線或是面距離相等.此時學生可以通過建立空間坐標系，確定各點的坐標，而后根據等量關系結合點到線、面的距離公式進行列式，便可得到動點的軌跡方程.

例1? 正方體ABCD－A1B1C1D1，棱長為1，P為底面ABCD內一動點，若P到棱AB，A1D1距離相等，其軌跡為（? ）

（A）圓.????? （B）橢圓.

（C）直線.? （D）雙曲線.

圖1

解析? 如圖1，過P做PE⊥AB于點E，

過P做PF⊥AD于點F，

過F做FG∥AA1交A1D1于點G，連接PG；

可知PE=PG，

以D為原點，DA，DC，DD1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

設P（x，y，0），由PE=PG，

可得|1－x|=y2+12，即（x－1）2－y2=1，

故點P的軌跡為雙曲線，答案為（D）.

點評? 解答本題的重點在根據P是到棱AB，A1D1的距離相等的點這一信息，建立空間坐標系，而后用兩點間距離公式進行列式整理，進而便可得到動點軌跡方程（x－1）2－y2=1.

2? 由動點保持垂直性求軌跡

在動點P與一定點A形成的直線AP與某直線l保持垂直，求動點P軌跡的問題中，學生可以將線線垂直問題，轉化為線面垂直進行解題，即過點A做平面α，使l⊥α，α與動點P所在面的交線即為其軌跡.另外，學生也可以借助法向量垂直進行分析動點軌跡問題，即通過坐標系，得到AP，而后由AP·a=0（a為直線l的方向向量），得到其運動軌跡.

例2? 正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在側面BCC1B1上運動，且始終保持AP⊥BD1，則動點P的軌跡是（ ??）.

解析? 以點D為坐標原點，DA，DC，DD1分別為x，y，z軸建立如圖2所示的空間直角坐標系，

圖2

設正方體棱長為1，

則A（1，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），P（x，1，z），

則AP=x-1，1，z，

BD1=（-1，-1，1），

因為AP⊥BD1，

所以AP·BD1=0，

即1－x－1+z=0，

解得x=z.

在空間中，x=z表示平面A1DCB1，又點P在側面BCC1B1內，顯然平面A1DCB1與側面BCC1B1的交線為線段B1C，故點P的軌跡為線段B1C.

點評? 在本題中，點P在側面BCC1B1上運動過程中始終保持AP⊥BD1，因為幾何圖形是正方體，建立空間直角坐標系較為簡單.而后確定各點坐標，依托AP⊥BD1，得到AP·BD1=0，進而求出P點的軌跡.

3? 翻折與動點求軌跡

在翻折問題中，學生一定要掌握幾何圖象翻折前后的特點，如折線同側的量，翻折前后不會發生變化；跨線的量則會發生改變等.在實際解題中，學生可以借助空間坐標系進行解答問題.

例3? 如圖3，矩形ABCD中，AB=1，AE=2，將△ABE沿BE翻折，使點A，S重合，若點S在平面BCDE上的射影在四邊形BCDE內，則動點S的軌跡長度（? ）

（A）3π18.? （B）6π18.

（C）3π9.? （D）6π9.

解析? 如圖4（1），作AM⊥BE于點M，交BC于點G，

則S在面BCDE的射影N在線段MG上.

在Rt△ABE中，AB=1，AE=2，

則BE=3，

可得AM=63，

翻折中，SM=63，則S軌跡為以點M為圓心，63為半徑的圓弧，

可得BM=33，EM=233，

△AME∽△GMB，

則MGMA=MBME=12，

則MG=66

如圖4（2），在圓M中，S0M⊥AG，S1G⊥AG，

所以點S的軌跡為弧S0S1，

且cos∠S1MG=MGMS1=12，

則∠S1MG=π3，∠S1MS0=π6，

從而可得點S的軌跡長度為π6·63=6π18.

答案為（B）

點評? 在解答本題中，首先過點A做AM⊥BE于點M，交BC于點G，同時，在翻折過程中，其垂直關系不發生改變，逐步得到平面SMG⊥平面BCDE，從而確定點S在平面BCDE上的射影位置.在此基礎之上，根據翻折特點，確定動點S的軌跡，進而求出圓心角，并求出弧長.

4結語

綜上所述，本文總結了立體幾何常見的三種動點軌跡題型，并介紹了相應解題思路.在日常學習中，學生應積極練習，以保證在考試中能夠快速解答相關問題.

參考文獻：

［1］劉海濤，謝貝貝.談立體幾何中動點軌跡問題［J］.中學生理科應試，2022（10）：13-15.

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