排列、組合在實際問題中的應用探究

韋天君

【摘要】排列、組合問題是中職數學數理統計的重點知識，問題種類多，數量關系復雜，稍不注意就容易出錯，因此熟練掌握排列、組合的運用是學好數理統計的基礎.本文將排列、組合的知識分而論之，分析核心知識點，歸納解題方法，以期望幫助學生對排列、組合問題有更全面的了解.

【關鍵詞】排列；組合；高中數學；解題技巧

1? 排列問題的應用

中職數學的排列問題通常是常見策略針對問題，或者有限制條件的排列問題.常與分類計數原理和分步計數原理綜合運用，一般事件對應的方法種數不多，多以選擇題或填空題的形式出現，有時也作為求分布列或概率的步驟之一，在解答這類問題的時候注意分類與分步區別，運用正確的策略［1］.

1.1? 方法提煉

對于有限制條件的排列問題，解題思路如圖1.

圖1

1.2? 實例講解

例1? 設有6個數字，分別為0，1，2，3，4，5，將其隨機組成五位數，要求這個五位數中沒有重復的數字，求其組成的數字中大于40000的偶數共有多少個？

分析? 特殊情況優先安排，若問題中出現特殊“情況”，比如某些不同元素，或某些不同位置，則優先進行處理，然后排列非特殊的元素或位置.在本題所給的6個數字中，第一個特殊情況是要求比40000大，因此只能以4或5開頭；第二個特殊情況是限制條件“偶數”，決定了組成的數字末位只能為0，2，4.以此展開分析，問題便會迎刃而解.

解? 數字0，1，2，3，4，5中僅有0，2，4三個偶數，比40000大的偶數為以4開頭與以5開頭的數.

其中以4開頭的偶數又分以0結尾與以2結尾，有2A34=48個；同理，以5開頭的有3A34=72個.

因此共有48+72=120個.

2? 組合問題的應用

中職數學的組合問題多以列舉生活實例進行考查，多為選擇題和填空題，有時作為求分布列、期望、方差的解答題中的步驟之一，要求學生熟練掌握基本概念與運算方法［2］.

2.1? 方法提煉

（1）解決組合問題的幾種常見方法：正難則反、樹形圖和分類討論.

（2）組合問題的限制條件，主要是取出的元素中“含”或“不含”某些元素，在解答時可用以下兩種方法：

①=1＼*GB3＼*MERGEFORMAT直接法：分析清楚組合方式，直接列算式進行計算；

②=2＼*GB3＼*MERGEFORMAT間接法：從正向進行分析，組合方法多而雜的時候，如“至多”或“至少”類問題，則從問題的逆向進行分析，求出易計算的反面組合方法，用總的方法數減去反面組合方法數，即可得到題目要求的正面組合方法數.

（3）分組問題，有關分組的問題有不平均分組、平均分組兩種情況：

①=1＼*GB3＼*MERGEFORMAT非均勻不編號分組：n個不同元素分成m組，每組元素數目均不相同，且不考慮各組間的順序，不管是否分盡，分法種數為A=Cm1nCm2n－m1Cm3n－m1－m2…Cmmn－m1－m2－…－mm－1（其中m1，m2……mm中任何兩個元素都不相等）；

②=2＼*GB3＼*MERGEFORMAT均勻不編號分組：將n個不同元素均勻分成m組，不管是否分盡，其分法種數為AAmm（其中A=Cm1nCm2n-m1Cm3n-m1-m2…Cmmn-m1-m2-…-mm-1）［3］.

2.2? 實例講解

例2? 6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有多少種？

解? 第一步，安排甲場館的志愿者，則甲場館的安排方法有C16=6種；

第二步，安排乙場館的志愿者，則乙場館的安排方法有C25=10種；

第三步，安排丙場館的志愿者，則丙場館的安排方法有C33=1種.

所以共有6×10×1=60種不同的安排方法.

例3? 高三（1）班和（2）班分別有2個同學和4個同學獲得科技比賽的參賽資格，但是最終只能選3個人參加，且高三（1）班至少有1個同學入選，請問共有多少種不同的選法.

解? 從全部6位同學中選3人共有C36=20種選法，而其中選出的3人都是高三（2）班的選法有C34=4種，所以至少有1位高三（1）班同學入選的選法有20－4=16種.

3? 排列、組合綜合問題

排列、組合的綜合問題是中職數理統計的重點，多以選擇題、填空題的形式對學生進行考查，難度不大，多為中檔題.

3.1? 方法提煉

解排列、組合綜合問題要從“分析”“分類”“分步”的角度入手，如圖2.

圖2

3.2? 實例講解

例4? 4個大學生想要向公眾宣傳環保知識，現選定3個居民小區進行宣傳，為了提高效率，它們決定分頭行動，每個學生挑1個小區進行宣傳，每個小區至少要有1個學生去，請問共有多少種不同的安排方法？

解? 因為每個小區至少安排1名同學，所以4名同學的分組方案只能為1，1，2.

所以不同的安排方法共有

C14·C13·C22A22·A33=36種.

例5? 現有兩組數字，分別為“1，3，5，7，9”和“0，2，4，6”，從每組數字中任意取出2個數字組成四位數，要求這個四位數沒有重復數字，請問共有多少種組合方法？

解? 含有數字0的沒有重復數字的四位數共有C25·C13·A13·A33=540個；

不含數字0的沒有重復數字的四位數共有C25·C23·A44=720個，

因此一共可以組成540+720=1260個沒有重復數字的四位數.

參考文獻：

［1］劉世森.高中生排列組合學習障礙的干預研究［D］.濟南：山東師范大學，2022.

［2］張若琦.高考中排列組合問題的解法歸類研究［J］.數學學習與研究，2021（36）：150-152.

［3］楊衛.高中數學課堂排列組合教學研究［J］.數理天地（高中版），2022（22）：4-5.