一種基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的離網(wǎng)DOA估計算法

張 宇，景鑫磊，蔣忠進

（東南大學(xué)毫米波全國重點實驗室，江蘇南京 210096）

0 引 言

基于傳感器陣列的信號源定位一直都是雷達探測和無線通信領(lǐng)域研究的重點［1-3］。MUSIC 方法作為最經(jīng)典的波達方向（DOA）估計算法直到現(xiàn)在仍然被廣泛應(yīng)用，但這種子空間類方法需要大量快拍數(shù)的支持，且當(dāng)信號為相干信號時無法做到準確估計信號源的方位［4-5］。隨著壓縮感知理論的發(fā)展，利用信號源的稀疏性進行信號源定位成為了更為有效的方法［6］，相關(guān)的DOA 估計算法也得到了重視和發(fā)展。例如L1-SVD 算法［7］、OMP 算法［8］以及稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)（Sparse Bayesian Learning,SBL）算法［9］等。

L1-SVD 算法和OMP 算法利用信號源的稀疏性［10］，在源參數(shù)估計的角度范圍內(nèi)進行網(wǎng)格劃分，通過二階錐規(guī)劃求解信號源的DOA 估計問題。該類算法的局限性是需要假定信號源方向恰好落在已經(jīng)劃分好的網(wǎng)格上。文獻［11］證明了，L1 范數(shù)最小化能在單測量向量（Single Measurement Vector, SMV）情況下進行稀疏信號的恢復(fù)，且在多測量向量（Multiple Measurement Vector, MMV）情況下基于多快拍觀測數(shù)據(jù)能明顯提高稀疏信號恢復(fù)的精度。由于真實的信號源方向不一定在方位離散網(wǎng)格上，這類方法會帶來較大的網(wǎng)格失配和建模誤差，從而降低源方位估計的準確性。

SBL 算法是另一種壓縮感知類的參數(shù)重構(gòu)算法，該算法基于貝葉斯推斷原理得到信號源參數(shù)的最大后驗概率并將其用于DOA 估計［12］。SBL 與其他算法相比存在一定優(yōu)勢。首先，L1 范數(shù)最小化用于參數(shù)精確重構(gòu)需要滿足RIP等特定條件［13］。而SBL 是一種統(tǒng)計優(yōu)化類算法，不用受到這些條件的約束。然后，SBL 算法的魯棒性良好，當(dāng)觀測信號為相干信號時仍能保證良好的參數(shù)重構(gòu)性能［14-15］。除此之外，針對數(shù)據(jù)特征不同的各種觀測信號，SBL算法可以選擇不同的先驗分布來描述其概率分布［16-17］。

文獻［18］提出一種離網(wǎng)稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)（OGSBL）算法。該算法對轉(zhuǎn)向矢量進行一階泰勒展開，有效地減少了建模誤差，緩解了網(wǎng)格失配問題。然而該算法在非理想測向環(huán)境，即低信噪比、低快拍數(shù)的情況下性能有所下降。為了解決這個問題，文獻［19］利用噪聲子空間和過完備基矩陣之間的關(guān)系，改變源信號的平均功率以增強解的稀疏性，提高了估計精度。文獻［20］研究了一種離網(wǎng)DOA 估計的根稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)（RSBL）方法。該方法首先在角度域建立粗糙的離散網(wǎng)格，然后利用期望最大化（EM）算法在細化網(wǎng)格的同時進行參數(shù)重構(gòu)，直至重構(gòu)結(jié)果收斂，有效降低了建模誤差。文獻［21］研究了MIMO 雷達系統(tǒng)中的DOA 估計問題。提出了一種離網(wǎng)SBLMC 算法，使估計精度得到明顯提升，但計算復(fù)雜度偏高。

本文提出了一種基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的改進離網(wǎng)DOA 估計算法，以解決離網(wǎng)SBL 算法在低信噪比、低快拍下的性能下降問題，此處稱之為MOGSBL（modified off-grid SBL）算法。本算法將信號源方位區(qū)間進行離散化，得到方位離散網(wǎng)格。為陣列接收信號建立稀疏貝葉斯模型，將網(wǎng)格節(jié)點修正量設(shè)為模型超參數(shù)。采用期望最大化（Expectation Maximization, EM）算法迭代更新網(wǎng)格節(jié)點修正量，使更新后的網(wǎng)格節(jié)點更接近真實源信號方位。數(shù)值實驗證明，該算法在低信噪比、低快拍下能明顯提升DOA估計性能。

1 離網(wǎng)DOA估計模型

假定K個遠場窄帶信號sk(t),k= 1,2,…,K入射到M元均勻線陣列上，入射角θ=[θ1,θ2,…,θK]T，載波信號波長為λ，陣元間距d=λ∕2，則t時刻的陣列輸出可表示為

其中t=1,…,T，T為快拍數(shù)，x(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T，s(t)=[s1(t),s2(t),…,sK(t)]，T遵循均值為0、方差為σ2k的復(fù)高斯分布。A(θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θK)]為陣列流型矩陣，為第k個信號的轉(zhuǎn)向矢量且，n(t)=[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T為噪聲。噪聲在不同時刻相互統(tǒng)計獨立，且遵循均值為0、方差為的復(fù)高斯分布。各陣元間的噪聲互不相關(guān)，且與源信號不相關(guān)。

假設(shè)源信號和噪聲信號都為平穩(wěn)信號，則輸出向量x(t) 的協(xié)方差矩陣可表示為

采樣過程中會出現(xiàn)近似誤差，文獻［22］說明了矢量化協(xié)方差矩陣帶來的近似誤差遵循漸進復(fù)高斯分布：

2 離網(wǎng)稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)

2.1 稀疏貝葉斯模型

由式（4），有

式中Δ= diag(δ)。超參數(shù)δn可被建模為伽馬分布，即

本文中，向量δ中的元素全部初始化為1，向量β中的元素全部初始化為0，ρ作為一個小的正約束超參數(shù)一般設(shè)置為0.01。

2.2 貝葉斯推理

式中，

EM 算法分為E 步和M 步。重復(fù)進行這兩步，直到精度達到要求或迭代次數(shù)達到最大為止。在E步中，我們希望找到函數(shù)的下界或求解期望值：

在M 步中，超參數(shù)的估計值可以通過求解優(yōu)化問題的最大下界值來更新。即

則超參數(shù)矢量δ的第n個元素更新值為［14］

2.3 網(wǎng)格更新

傳統(tǒng)SBL 方法對真實源方位進行線性逼近。但在更新超參數(shù)β時并沒有處理線性逼近造成的建模誤差，在低信噪比、低快拍數(shù)下有效信息減少。傳統(tǒng)方法降低誤差、提升性能的方式是依靠增加離散網(wǎng)格節(jié)點數(shù)，這大大增加了計算量，不利于實際應(yīng)用，也難以適用于非理想測向環(huán)境中。本文為了解決這個問題，提出一種新的網(wǎng)格更新方法。將網(wǎng)格點位置視為可變參數(shù)，并將網(wǎng)格節(jié)點修正量設(shè)為模型超參數(shù)。推導(dǎo)了超參數(shù)β的更新算法，采用期望最大化算法迭代更新網(wǎng)格節(jié)點修正量，使更新后的網(wǎng)格點更接近真實源信號方位。

忽略式（14）函數(shù)中與β無關(guān)的獨立項，式子可改寫為

為了增加向量β的稀疏性以改善算法在低信噪比、低快拍下的DOA 估計性能，將矩陣Σ重寫為。其中?表示矩陣Σ的前N階方陣，γ是N行1 列的矢量，γ0表示矩陣Σ的主對角線上最后一個元素。式（17）的第二項可以改寫為

將式（18）和（19）替換式（17）中，可以得到

式中，

最后將式（20）對β求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為零，有

當(dāng)P可逆時，

否則，矢量β的第n個元素更新值為

迭代終止條件為

或達到最大迭代次數(shù)時停止迭代，其中δnew表示更新后的矢量δ，δold表示上一次更新的矢量δ，τ為收斂判決門限。

迭代結(jié)束以后，得到更新后的網(wǎng)格點如下：

2.4 算法步驟

綜上所述，基于本文的MOGSBL算法進行DOA估計的步驟如下：

1）對陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進行向量化運算，得到列數(shù)據(jù)向量?。

2）初始化參數(shù)δ，β，設(shè)置收斂條件。

3）由式（12）、（13）、（16）、（23）、（24），迭代更新μ、Σ和δ、β；由迭代終止條件判斷迭代進程是否繼續(xù)，若滿足條件則退出迭代，若不滿足則重復(fù)第3步。

4）由式（26）計算θ?，通過θ?中非零元素的索引得到源信號的來波方向。

3 數(shù)值模擬

本文為了驗證MOGSBL 算法的效果，進行了大量的數(shù)值仿真實驗，并將MOGSBL 算法與L1-SVD 算法、OGSBL 算法和RSBL 算法進行比較。實驗所用的測試陣列為10 陣元的均勻直線陣列，信號源方向測試范圍是-90°～90°，將方向測試范圍內(nèi)的離散網(wǎng)格間距初始化為1°，即網(wǎng)格離散節(jié)點數(shù)為181。實驗中計算機運行環(huán)境為：CPU2.9 GHz，內(nèi)存16 GHz，MATLAB R2018a。

3.1 DOA估計分辨率

本實驗將入射信號的信噪比分別設(shè)置為0，10，20 dB，快拍數(shù)為100，300，500，共9 種不同情況。為了比較不同算法的DOA 估計分辨率，并考慮真實信號源方向偏離初始化離散網(wǎng)格的情況，將方向設(shè)置為-50.25°，-45.31°，0.64°。4 種算法作DOA估計的部分結(jié)果展示如圖1所示。

圖1 對3個信號源進行DOA估計的部分結(jié)果

由圖1 可見，L1-SVD 和OGSBL 算法分辨率較低，無法有效分辨出角度差為5°左右的兩個信號源，RSBL 算法只有在高快拍數(shù)時才可以分辨。相比之下，MOGSBL 算法即便在低信噪比、低快拍數(shù)的情況下，也可以分辨出這兩個相距很近的信號源。此外，隨著信噪比的提高和快拍數(shù)的增加，MOGSBL算法的DOA估計效果也得到改善。

事實上，L1-SVD 和OGSBL 算法由于其較大的建模誤差導(dǎo)致算法的分辨率很低。RSBL 算法避免了建模誤差的問題，其參數(shù)先驗需要強制模型具有較強的稀疏性，過強的噪聲會破壞稀疏性導(dǎo)致分辨率降低。而MOGSBL 算法使用新的網(wǎng)格更新方法，減小了建模誤差。增強向量β的稀疏性使算法受噪聲影響較小，從而使得其在非理想測向環(huán)境下的分辨率高于其他3種算法。

能否很好地區(qū)分-50.25°和-45.31°這兩個相距很近的信號源，是DOA 算法分辨率高低的體現(xiàn)。本文重復(fù)蒙特卡洛實驗200次，以統(tǒng)計不同信噪比和不同快拍數(shù)下4 種算法的分辨率水平，統(tǒng)計結(jié)果如表1 所示。表中給出某種DOA 算法成功區(qū)分-50.25°和-45.31°信號源的概率，如果概率值為零，則表示成功區(qū)分次數(shù)為0。

表1 4種算法成功區(qū)分信號源概率對比

由表1 可知，MOGSBL 算法在不同信噪比和不同快拍數(shù)下區(qū)分相距很近信號源的成功率高于其他3種算法，說明MOGSBL 算法在角度分辨率方面具有明顯的優(yōu)勢。

3.2 均方根誤差

本實驗利用均方根誤差（RMSE）來比較不同算法的DOA估計精度，RMSE定義為

式中，L表示蒙特卡洛實驗的次數(shù)，本文中L=200，是第l次蒙特卡洛實驗中第k個信號源方向的估計值。

為了研究信噪比與RMSE 的關(guān)系，并對比4 種算法的離網(wǎng)DOA 估計性能，本實驗將真實信號源方向設(shè)置為-40.35°，0.52°，40.13°，即3個信號源方向均偏離初始化網(wǎng)格節(jié)點?？炫臄?shù)為100，信噪比從-5 dB 到20 dB 變化。4 種算法在不同信噪比下的RMSE對比如圖2所示。

圖2 不同信噪比下的RMSE對比

由圖2 可見，隨著信噪比的增大，4 種算法的RMSE 均逐漸減小。但MOGSBL 算法的估計精度明顯高于L1-SVD 算法、OGSBL 算法和RSBL 算法。且OGSBL 算法、RSBL 算法好于L1-SVD 算法。由此可見，在非理想測向環(huán)境下，離網(wǎng)稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)算法具有明顯的優(yōu)勢。

為了研究快拍數(shù)對RMSE的影響，本實驗保持3 個真實信號源方向不變。信噪比為0 dB，快拍數(shù)從150到500變化，4種算法在不同快拍數(shù)下RMSE的對比如圖3所示。

圖3 不同快拍數(shù)下的RMSE對比

由圖3可見，L1-SVD算法的RMSE受快拍數(shù)的影響最大，而OGSBL 算法、RSBL 算法和MOGSBL算法受快拍數(shù)的影響較小。相比于另外3種算法，MOGSBL 算法在任意快拍數(shù)時都具有更高的DOA估計精度。除此之外，OGSBL 算法、RSBL 算法的DOA估計精度明顯好于L1-SVD算法。

3.3 離散網(wǎng)格劃分對DOA估計性能的影響

除了信噪比和快拍數(shù)以外，初始化的離散網(wǎng)格間距也對DOA 估計精度有很大影響。離散網(wǎng)格間距初始化以后，方向測試范圍的離散節(jié)點數(shù)目就被確定，且網(wǎng)格間距越小，網(wǎng)格節(jié)點數(shù)越大。細密的離散網(wǎng)格可以提高DOA 估計精度，但DOA 估計的計算量會增加。

為了研究網(wǎng)格節(jié)點數(shù)目與RMSE之間的關(guān)系，本實驗設(shè)置信噪比為0 dB，快拍數(shù)為150，不同網(wǎng)格節(jié)點數(shù)目下4 種算法的均方根誤差對比如圖4所示。

圖4 不同網(wǎng)格節(jié)點數(shù)下的RMSE對比

由圖4可知，隨著網(wǎng)格節(jié)點數(shù)的增加，4種算法DOA 估計的RMSE 都會逐步降低。相比之下，MOGSBL 算法的RMSE 低于OGSBL 算法、RSBL 算法和L1-SVD算法，而RSBL算法優(yōu)于OGSBL算法，OGSBL算法又優(yōu)于L1-SVD算法。

為了研究網(wǎng)格節(jié)點數(shù)目與計算時間之間的關(guān)系，本文在保持各種實驗條件不變的情況下，統(tǒng)計不同離散網(wǎng)格節(jié)點數(shù)下4 種算法的計算時間對比如圖5所示。

圖5 不同網(wǎng)格節(jié)點數(shù)下的計算時間對比

由圖5可知，隨著網(wǎng)格節(jié)點數(shù)的增加，4種算法DOA 估計的計算時間都會逐步增加。其中，MOGSBL 算法在任意離散網(wǎng)格節(jié)點數(shù)下的計算時間均低于OGSBL、RSBL和L1-SVD算法，而L1-SVD算法耗時明顯高于3種離網(wǎng)SBL算法。

4種算法的計算時間列舉如表2所示。

表2 不同網(wǎng)格節(jié)點數(shù)下的計算時間對比s

由表2 可見，離散網(wǎng)格節(jié)點數(shù)越大，本文MOGSBL 算法在計算時間上的優(yōu)勢越大。當(dāng)網(wǎng)格節(jié)點數(shù)為181 時，MOGSBL 算法耗時約為RSBL 算法的68%，約為OGSBL 算法的49%，約為L1-SVD算法的31%。

4 結(jié)束語

本文研究了一種改進的離網(wǎng)稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)算法，即MOGSBL 算法，用于信號源DOA 估計。為了檢驗MOGSBL 算法的性能，本文進行了大量的數(shù)值實驗，并將MOGSBL 算法的DOA 估計結(jié)果與RSBL 算法、OGSBL 算法和L1-SVD 算法進行對比。在角度分辨率的對比實驗中發(fā)現(xiàn)，在不同信噪比和不同快拍數(shù)時，OGSBL 算法和L1-SVD 算法均無法分辨角度差為5°左右的兩個信號源，在高快拍數(shù)時RSBL 才可以分辨，而MOGSBL 算法則能清晰予以分辨。隨著信噪比和快拍數(shù)的增加，4 種算法的RMSE 均逐漸減小，但MOGSBL 算法的RMSE 明顯低于RSBL 算法、OGSBL 算法和L1-SVD 算法，且RSBL 算法優(yōu)于OGSBL 算法，OGSBL 算法優(yōu)于L1-SVD 算法。實驗還分析了方向測試范圍的離散網(wǎng)格節(jié)點數(shù)對DOA 估計的影響，發(fā)現(xiàn)細密的離散網(wǎng)格可以提高DOA 估計精度，但DOA 估計的計算量會增加。且在任意網(wǎng)格節(jié)點數(shù)時，相比于RSBL 算法、OGSBL 算法和L1-SVD 算法，本文的MOGSBL算法均具有最低的RMSE和最短的計算時間。