省級(jí)統(tǒng)一命題背景下初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的思考與實(shí)踐

王紅權(quán)|浙江省杭州市基礎(chǔ)教育研究室

初中學(xué)業(yè)水平考試省級(jí)統(tǒng)一命題需要依據(jù)義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)，堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向、知識(shí)與能力并重的基本原則，以必備知識(shí)為載體，著重考查核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力.省級(jí)統(tǒng)一命題意味著評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)一，即依標(biāo)命題，這對(duì)教師和學(xué)生都提出了挑戰(zhàn).正如《中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于深化教育教學(xué)改革全面提高義務(wù)教育質(zhì)量的意見(jiàn)》中指出的那樣，需要切實(shí)“引導(dǎo)教師深入理解學(xué)科特點(diǎn)、知識(shí)結(jié)構(gòu)、思想方法”，進(jìn)一步理解課程標(biāo)準(zhǔn)，理解“教—學(xué)—評(píng)”一致性的內(nèi)涵.因此，當(dāng)務(wù)之急是著力改變復(fù)習(xí)教學(xué)的基本模式，如“羅列知識(shí)點(diǎn)（美其名曰“畫(huà)思維導(dǎo)圖、知識(shí)結(jié)構(gòu)圖”）+分析題型套路+刷題”的模式等，使課堂教學(xué)從“教師中心”“知識(shí)中心”轉(zhuǎn)變?yōu)椤昂诵乃仞B(yǎng)導(dǎo)向”，著力構(gòu)建以提升能力、發(fā)展素養(yǎng)為錨點(diǎn)的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂教學(xué)新范式.

一、梳理·運(yùn)用：構(gòu)建聯(lián)系，提升能力

提升能力、內(nèi)化素養(yǎng)，既是復(fù)習(xí)（本文所指的復(fù)習(xí)是學(xué)段末的綜合復(fù)習(xí)）的途徑，也是復(fù)習(xí)的目的.復(fù)習(xí)時(shí)，教師既要系統(tǒng)梳理知識(shí)，使學(xué)生“溫故知新”，也要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題，做到“融會(huì)貫通”.也就是說(shuō)，復(fù)習(xí)教學(xué)既要引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，更要讓學(xué)生透徹理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).

（一）梳理的目的是建立知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)

當(dāng)下復(fù)習(xí)課教學(xué)中流行的梳理，只停留在基礎(chǔ)知識(shí)的羅列層級(jí)，常見(jiàn)的形式是知識(shí)列表、填空或思維導(dǎo)圖等，雖也能呈現(xiàn)出一定的結(jié)構(gòu)特征，但這種結(jié)構(gòu)比較松散，追求的只是知識(shí)的覆蓋.這種梳理方式只適用于章新課結(jié)束的復(fù)習(xí)，即在章新課結(jié)束時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)梳理使所學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)化，明晰該章的學(xué)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn).而中考前總復(fù)習(xí)中的梳理，應(yīng)該是梳理知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)以及它們是如何關(guān)聯(lián)的.實(shí)際上，關(guān)聯(lián)兩個(gè)或多個(gè)不同知識(shí)的紐帶，往往是它們最為核心的部分，因此通過(guò)梳理，既可以實(shí)現(xiàn)透徹理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的目的，也能使知識(shí)具有整體性和良好的結(jié)構(gòu).

情形一：在復(fù)習(xí)A 知識(shí)（知識(shí)群）時(shí)，建立知識(shí)A 與知識(shí)B 或者場(chǎng)景C 之間的聯(lián)系.例如，特殊三角形與場(chǎng)景的關(guān)聯(lián)有：（1）矩形的兩條對(duì)角線把矩形分割成4個(gè)直角三角形和4個(gè)等腰三角形；（2）正方形的兩條對(duì)角線把正方形分割成4 個(gè)等腰直角三角形；（3）菱形的兩條對(duì)角線把菱形分割成4個(gè)等腰三角形和4個(gè)直角三角形；（4）垂徑定理就是等腰三角形與圓（場(chǎng)景）結(jié)合的結(jié)果；等等.特殊三角形與知識(shí)的關(guān)聯(lián)有：（1）與一般三角形的關(guān)聯(lián)（如“投影”）；（2）與特殊三角形的關(guān)聯(lián)（如“黃金比”）；等等.特殊三角形與場(chǎng)景和知識(shí)的關(guān)聯(lián)如圖1所示.

圖1 特殊三角形與場(chǎng)景和知識(shí)的關(guān)聯(lián)

通過(guò)場(chǎng)景關(guān)聯(lián)，學(xué)生能熟悉知識(shí)A在場(chǎng)景B中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系（特殊性質(zhì)），增加學(xué)習(xí)體驗(yàn)，積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，為未來(lái)解題提供熟悉的環(huán)境和有用的經(jīng)驗(yàn).通過(guò)知識(shí)關(guān)聯(lián)，學(xué)生能更為深刻地理解對(duì)象的性質(zhì).如直角三角形與一般三角形的關(guān)聯(lián)，其結(jié)果“a2－b2＝x2－y2”反映的是：通過(guò)投影的方法可以把一個(gè)二維結(jié)構(gòu)“a2－b2”轉(zhuǎn)化為一維結(jié)構(gòu)“x2－y2”.因此，可以通過(guò)實(shí)數(shù)運(yùn)算解決問(wèn)題.

情形二：在復(fù)習(xí)A 知識(shí)（知識(shí)群）時(shí)，可以建立與A 相關(guān)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).透過(guò)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，容易發(fā)現(xiàn)單元的重點(diǎn)和難點(diǎn)，從而凝練出統(tǒng)攝單元的一般觀念.例如，梳理“方程”單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)（如圖2所示）可知，統(tǒng)攝該單元的一般觀念是消元和降冪思想.這個(gè)一般觀念傳遞的是一種認(rèn)知信念：不論是多元問(wèn)題還是高次問(wèn)題，都可以化歸為“一元”或者“一次”的問(wèn)題來(lái)解決.它也意味著一種行動(dòng)指南：多元問(wèn)題需要消元，高次問(wèn)題需要降冪.同時(shí)，它又體現(xiàn)為一種知識(shí)系統(tǒng)：方程是按照一定的序（“元”和“次”）構(gòu)建起來(lái)的一個(gè)有序結(jié)構(gòu).因此，它還蘊(yùn)含著一種思維視野：從一元到多元、從一次到高次、從特殊到一般.由此，我們就可對(duì)一元二次方程的不同解法形成理性的價(jià)值判斷：配方法的價(jià)值在于導(dǎo)出求根公式；求根公式為求解一元二次方程提供一般方法；而因式分解法則是一種解決問(wèn)題的思想方法［1］.

圖2 “方程”單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)

情形三：在復(fù)習(xí)A 知識(shí)（知識(shí)群）時(shí)，關(guān)鍵在于建立知識(shí)A與場(chǎng)景B之間的聯(lián)系.確立關(guān)聯(lián)知識(shí)A 和場(chǎng)景B 的紐帶是關(guān)鍵，也就是說(shuō)，知識(shí)A 和場(chǎng)景B 之所以關(guān)聯(lián)是需要有“牽線者”的.一般而言，這個(gè)“牽線者”一定是揭示知識(shí)A和場(chǎng)景B的最為核心的部分，譬如等腰三角形的“三線合一”和圓的“直徑對(duì)直角”，有時(shí)候二者關(guān)聯(lián)后“生成”的新的基本圖形也至關(guān)重要.例如，課題“等腰三角形遇見(jiàn)圓”，關(guān)鍵在于等腰三角形是如何“遇見(jiàn)”圓的.也就是說(shuō)，這個(gè)“牽線者”是誰(shuí)、是如何“牽線”的等問(wèn)題，是關(guān)聯(lián)等腰三角形（知識(shí)）和圓（場(chǎng)景）的關(guān)鍵.如圖3 所示，△ABC是等腰三角形（AB＝AC），由左側(cè)虛線框中的圖形可知：①中的輔助線AD就是關(guān)聯(lián)等腰三角形和圓的紐帶，它既是等腰三角形的“合一”三線，也是圓的“直徑對(duì)直角”的直角邊；②中由線段DE能生成新的等腰三角形EDC；③中角平分線AD和等腰三角形在場(chǎng)景內(nèi)關(guān)聯(lián)，形成充要條件“BD＝DC?∠BAD＝∠CAD”，事實(shí)上，還有更為深刻的結(jié)論“AB·AC＝AE·AD；BD2＝DE·DA”；等等.

圖3 “等腰三角形遇見(jiàn)圓”新課與復(fù)習(xí)課對(duì)比

情形四：對(duì)試題進(jìn)行關(guān)聯(lián)、統(tǒng)整和結(jié)構(gòu)化研究.

題1：在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，求證：AB2－AC2＝BD2－DC2.

題2：四邊形ABDC的對(duì)角線AD⊥BC于點(diǎn)E，求證：AB2－AC2＝DB2－DC2.

題3：點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，求證：PA2＋PC2＝PB2＋PD2.

題4：點(diǎn)D是等腰直角三角形ABC的斜邊BC上一點(diǎn)，求證：BD2＋DC2＝2DA2.

題5：點(diǎn)D是等腰三角形ABC的底邊BC上一點(diǎn)，求證：AB2－AD2＝BD·DC.

對(duì)這5 道題作分析，可以整理為如圖4 所示的結(jié)構(gòu)圖，下面具體分析.把題1 作為一個(gè)基本結(jié)論，則題2 只要兩次利用題1 結(jié)論（AB2－AC2＝BE2－EC2；BD2－DC2＝BE2－EC2）即可求證.

圖4 各問(wèn)題整合結(jié)構(gòu)圖

題3 只需要過(guò)點(diǎn)P作兩條垂直于邊的線段EG和FH，四邊形EFGH滿足題2的條件，因此EH2＋FG2＝EF2＋HG2.顯然，EH＝PA，EF＝PB，F(xiàn)G＝PC，GH＝PD，所以題3得證.

題4 有三種證明方法：一是將等腰直角三角形ABC補(bǔ)全為正方形ABEC，則根據(jù)題3結(jié)論，有BD2＋DC2＝DA2＋DE2，顯然，DE＝DA；二是受題3 啟發(fā)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，即圖4-5 的方法，則BD2＋DC2＝2（DE2＋DF2）＝2DA2；三是將4-6 作為基本圖形，由題5 的結(jié)論推出，因?yàn)锳B2－AD2整理即得.

（二）運(yùn)用的關(guān)鍵是在新場(chǎng)景中解決問(wèn)題

復(fù)習(xí)的目的是提升學(xué)生綜合解決問(wèn)題的能力，表征為學(xué)習(xí)遷移.學(xué)習(xí)遷移是已經(jīng)獲得的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)對(duì)解決其他問(wèn)題所產(chǎn)生的影響，本質(zhì)就是認(rèn)知結(jié)構(gòu)在新條件下的重新構(gòu)建，旨在使學(xué)習(xí)者形成對(duì)知識(shí)的深刻理解.因此，復(fù)習(xí)教學(xué)需要關(guān)注知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)在不同應(yīng)用場(chǎng)景中的遷移.也就是說(shuō)，復(fù)習(xí)知識(shí)A 不能僅僅在A 場(chǎng)景中應(yīng)用（這樣做固然可以提升對(duì)知識(shí)A的熟練程度，但對(duì)提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力作用不大），而必須在場(chǎng)景B、場(chǎng)景C 等不同的場(chǎng)景中應(yīng)用.學(xué)生如能在新的場(chǎng)景中用知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題，則說(shuō)明其能力已經(jīng)得到了提升.

例1［2］：在△ABC中（圖略），AC＝BC，以AB為直徑的⊙O分別交BC，AC于點(diǎn)D，E.求證：

顯然，連接等腰三角形ABC和⊙O的紐帶是線段AD，通過(guò)“三線合一”知AD平分∠BAC，因此本題的證明思路就非常清晰了.

例2：如圖5 所示，已知△ABC∽△ADE，BD⊥BC.求證

圖5

顯然，在三角形中，關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)CA2－CB2和EB2－ED2的紐帶是三角形的高線.因此，分別作△ABC和△BDE的高線CG和EH，則CA2－CB2＝AG2－BG2，EB2－ED2＝BH2－DH2.

可以證明△ADB∽△AEC，所以∠ABD＝

所以∠BCE＝∠ACG，所以

例3：（2024 年1 月杭州市拱墅區(qū)期末卷）如圖6 所示，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC平分∠BAD，連接BD交AC于點(diǎn)E.求證：AC2＝BC2＋AB·AD.

圖6

證明：由圖3-③的結(jié)論，知AB·AD＝AE·AC，BC2＝CE·CA.

因此AC2－AB·AD＝AC2－AE·AC＝CE·AC＝BC2.

所以AC2＝BC2＋AB·AD.

例4：（2024 年1 月杭州市西湖區(qū)期末卷）如圖7所示，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P為線段BC上任意一點(diǎn)（P與B，C不重合），連接AP.若AB＝m，AP＝n，請(qǐng)用含m，n的代數(shù)式表示BP·PC，并說(shuō)明理由.

圖7

解：由圖4-5 的結(jié)論，知AB2－AP2＝BP·PC，即BP·PC＝m2－n2.

不難發(fā)現(xiàn)，有了知識(shí)間的聯(lián)系分析，學(xué)生就能熟門(mén)熟路地解決問(wèn)題.這樣既能提高解題的準(zhǔn)確率，也能緩解心理焦慮.

二、單元·整合：形成結(jié)構(gòu)，發(fā)展素養(yǎng)

基于單元設(shè)計(jì)的復(fù)習(xí)教學(xué)，主要是指從模塊入手，設(shè)計(jì)超越模塊的任務(wù)，形成單元整體教學(xué)，幫助學(xué)生完善知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的真正落地.因此，一般觀念是單元整體教學(xué)的“魂”.單元整體教學(xué)的基本結(jié)構(gòu)如圖8所示.

圖8 單元整體教學(xué)的基本結(jié)構(gòu)

例如“函數(shù)”單元復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)，先要梳理出指導(dǎo)“函數(shù)”復(fù)習(xí)的一般觀念，即需要梳理“函數(shù)”教學(xué)的內(nèi)容邏輯和教學(xué)邏輯，具體如下.

其一，函數(shù)性質(zhì)的研究.函數(shù)學(xué)習(xí)的核心是研究函數(shù)的性質(zhì)，初等函數(shù)的性質(zhì)一般包括單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性、最大（小）值和周期性等，但是對(duì)稱(chēng)性等性質(zhì)都是由單調(diào)性的變化而引起的，如函數(shù)先增后減會(huì)形成最大值，周期性則是在不同的區(qū)間內(nèi)重復(fù)同樣的單調(diào)性，因此，研究函數(shù)的單調(diào)性是第一要?jiǎng)?wù).研究函數(shù)單調(diào)性的數(shù)學(xué)工具是導(dǎo)數(shù)，但初中階段未安排學(xué)習(xí)，因此需要?jiǎng)?chuàng)造直觀工具.

其二，研究工具的創(chuàng)造.數(shù)學(xué)中有一種常用的方法就是把研究對(duì)象的未知空間通過(guò)映射，投影到已知空間中，然后在已知空間中研究清楚了，再進(jìn)行逆映射，這樣就能弄清楚這個(gè)未知空間對(duì)象的性質(zhì).函數(shù)是變量y的變化規(guī)律由變量x唯一決定的數(shù)學(xué)模型，即x和y總是成對(duì)出現(xiàn)，因此空間A中的元素可以用有序的數(shù)對(duì)（x，y）表示，而該有序數(shù)對(duì)的直觀是平面直角坐標(biāo)系的一個(gè)點(diǎn)，這樣就可以把空間A中的有序數(shù)對(duì)（x，y）投影到空間B（平面直角坐標(biāo)系）中，得到函數(shù)的圖象，接下來(lái)就可以借助函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì).

其三，圖象的位置特征.在空間B 中借助平面直角坐標(biāo)系的工具創(chuàng)造了研究函數(shù)性質(zhì)的直觀工具——函數(shù)的圖象，這樣，函數(shù)的圖象就和直角坐標(biāo)系發(fā)生了關(guān)系，其中最為重要的就是圖象與坐標(biāo)軸的關(guān)系.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》對(duì)此的要求是“體會(huì)一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系”“知道二次函數(shù)和一元二次方程之間的關(guān)系”，即函數(shù)與對(duì)應(yīng)方程之間的關(guān)系，而連接二者關(guān)系的紐帶就是函數(shù)的零點(diǎn)或者說(shuō)是對(duì)應(yīng)方程的根.

其四，一般觀念的凝練.以函數(shù)的零點(diǎn)為紐帶，統(tǒng)攝函數(shù)、方程和不等式的研究，是研究函數(shù)性質(zhì)的一般觀念，例5 是一個(gè)典型的試題.

例5：設(shè)函數(shù)y＝x2＋bx＋c（b，c是實(shí)數(shù)）.已知函數(shù)y的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，m）和點(diǎn)（1，n）兩點(diǎn)（m，n是實(shí)數(shù)），設(shè)函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于（x1，0）和（x2，0）兩點(diǎn)（0＜x1＜x2＜1），求證：0＜mn

解：設(shè)y＝（x－x1）（x－x2），

所以m＝x1x2，n＝（1－x1）（1－x2），

因?yàn)?＜x1＜x2＜1，所以

如此，通過(guò)二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)＝（x－x1）（x－x2），我們就可巧妙地將函數(shù)、方程和不等式連接起來(lái).

其五，模型的應(yīng)用價(jià)值.函數(shù)是刻畫(huà)兩個(gè)變量變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，其目的是解決實(shí)際問(wèn)題，其本質(zhì)是在一般觀念指導(dǎo)下的綜合運(yùn)用.

例6：已知一艘輪船上裝有100噸貨物，輪船到達(dá)目的地后開(kāi)始卸貨.設(shè)平均卸貨速度為v（單位：噸/小時(shí)），卸完這批貨物所需的時(shí)間為t（單位：小時(shí)）.

（1）求v關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式.

（2）若要求不超過(guò)5小時(shí)卸完船上的這批貨物，那么平均每小時(shí)至少要卸貨多少?lài)崳?/p>

例6比較簡(jiǎn)單，此處不再分析.

其六，從結(jié)構(gòu)圖式到復(fù)習(xí)重點(diǎn).由上述分析可以梳理出如圖9 所示的“函數(shù)”單元結(jié)構(gòu)圖.從圖中，我們可以發(fā)現(xiàn)復(fù)習(xí)教學(xué)的兩條主線：主線1是函數(shù)（圖象，性質(zhì)）—位置特征（零點(diǎn)）—函數(shù)、方程和不等式；主線2 是函數(shù)（表達(dá)式，圖象）—性質(zhì)—應(yīng)用.復(fù)習(xí)的重點(diǎn)應(yīng)該聚焦函數(shù)、方程和不等式的綜合及函數(shù)應(yīng)用.

圖9 “函數(shù)”單元結(jié)構(gòu)圖

三、作業(yè)·設(shè)計(jì)：厘清誤區(qū)，提質(zhì)增效

（一）厘清誤區(qū)

在復(fù)習(xí)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生需要有一定量的訓(xùn)練，所以如何合理地設(shè)計(jì)訓(xùn)練系統(tǒng)至關(guān)重要.在設(shè)計(jì)作業(yè)的過(guò)程中，教師需要厘清以下三個(gè)誤區(qū).

誤區(qū)1：不區(qū)分新授課作業(yè)和復(fù)習(xí)課作業(yè)的功能.新授課的教學(xué)目標(biāo)主要是達(dá)成課標(biāo)設(shè)定的目標(biāo)，因此作業(yè)一般分為必做題和拓展題，其中必做題的主要功能是對(duì)目標(biāo)的鞏固和熟練，拓展題主要供學(xué)有余力的學(xué)生拓展學(xué)習(xí)視野，包括研究對(duì)象的歷史賡續(xù)、文化自信、拓展推廣等.復(fù)習(xí)課的作業(yè)可以分層，一般可以分為基礎(chǔ)題和能力題：基礎(chǔ)題用來(lái)鞏固，屬于必做題；能力題用來(lái)提高，可以作為選做題.

誤區(qū)2：不區(qū)分自編作業(yè)和現(xiàn)成練習(xí)冊(cè)的價(jià)值.教學(xué)調(diào)研表明，自編作業(yè)有一定的針對(duì)性和實(shí)時(shí)性，但常常不夠系統(tǒng)、難度偏大.現(xiàn)成的練習(xí)冊(cè)一般是考題的分類(lèi)整理，選題有一定的代表性，但針對(duì)性和目標(biāo)意識(shí)比較欠缺.因此，復(fù)習(xí)作業(yè)需要整合，以基礎(chǔ)題促進(jìn)知識(shí)的熟練，以能力題促進(jìn)能力的提升.

誤區(qū)3：不區(qū)分復(fù)習(xí)課訓(xùn)練系統(tǒng)和課后作業(yè)的差別.在“三位一體”復(fù)習(xí)課訓(xùn)練系統(tǒng)的構(gòu)建中，前測(cè)、課堂檢測(cè)和課后作業(yè)的協(xié)調(diào)、互補(bǔ)是作業(yè)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵，要體現(xiàn)“教—學(xué)—評(píng)”一致性.前測(cè)決定復(fù)習(xí)教學(xué)的起點(diǎn)；課堂檢測(cè)決定教學(xué)的節(jié)奏和方向；課后作業(yè)是課堂教學(xué)的延伸，起到鞏固、評(píng)價(jià)（自評(píng)和他評(píng)）和提升能力的作用.

（二）訓(xùn)練系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

基于復(fù)習(xí)的目的和教學(xué)實(shí)際，復(fù)習(xí)教學(xué)的練習(xí)不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為只有課后作業(yè)，而要系統(tǒng)設(shè)計(jì)，形成一套完整的訓(xùn)練系統(tǒng)，如包括前測(cè)、課堂教學(xué)檢測(cè)、課后作業(yè)、單元檢測(cè)等.

將有效的訓(xùn)練系統(tǒng)與多元的評(píng)價(jià)相結(jié)合，可推動(dòng)學(xué)生高效學(xué)習(xí)，使學(xué)校教育高質(zhì)量發(fā)展.