導數選擇題的常用解題策略

■安徽省阜陽第一中學 趙 慧

在高考試卷中,選擇題占有相當大的比例,而有關導數的選擇題一般有一定的綜合性與深度,對知識與素養要求較高。因此,做好導數選擇題對取得高分尤為必要。

解導數選擇題的基本原則是準確、迅速。在解答時,應結合導數知識本身的特點,盡量減少書寫過程,靈活、快速地得出答案。下面是解導數選擇題的常用策略。

一、按部就班,常規處理

例1(2022年新高考Ⅰ卷)(多選)已知函數f(x)=x3-x+1,則( )。

A.f(x)有兩個極值點

B.f(x)有三個零點

C.點(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心

D.直線y=2x是曲線y=f(x)的切線

對于選項C,驗證知f(-x)+f(x)=2成立,于是選項C正確。

令g(x)=x3-x,g(x)是奇函數,關于點(0,0)對稱。而y=g(x)的圖像向上平移一個單位長度得到y=f(x)的圖像,所以y=f(x)關于點(0,1)對稱。

令f'(x)=2,得x=±1。當x=1 時,切線為y=2x-1;當x=-1時,切線為y=2x+3。選項D 錯誤。

故選AC。

評注:大部分選擇題會使用此策略。

二、數形結合,直觀快捷

例2(2021年新高考Ⅰ卷)若過點(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線,則( )。

A.eb＜aB.ea＜b

C.0＜a＜ebD.0＜b＜ea

解 析:如圖1,作出函數y=ex的圖像。

圖1

函數y=ex的圖像與x軸把坐標平面分成如圖1 的三個區域。

當點(a,b)位于區域1時,作不出切線;

當點(a,b)位于區域2 時,可作兩條切線;

當點(a,b)位于區域3 時,可作一條切線。

選 D。

評注:此題數形結合明顯比常規做法快捷。

三、構造函數,妙用結論

評注:選擇題只求結果,不考過程,解題時應用積累的結論可節省時間。

四、選取對數,簡化運算

例4若 任 意x,a∈(0,+ ∞),eax+2ab≥a2x,則b的取值范圍為( )。

解析:不等式eax+2ab≥a2x,兩邊取對數得ax+2ab≥lna2+lnx,即ax-lnx+2ba-2lna≥0。

評注:數學中取對數可降低運算級別,達到簡化運算的效果。

五、局部入手,先分后合

評注:解題有時需先研究局部,再進行整合,以達到化整為零,各個擊破的目的。

六、換元、同構,化難為易

故選B。

例7已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna,g(x)=(1-e)x,若ef(x)≥g(x),則a的取值范圍為( )。

解析:ef(x)≥g(x)可化為ex+lna+e(x+lna)≥elnx+elnx。令φ(x)=ex+ex,即φ(x+lna)≥φ(lnx)。而φ(x)單調遞增,所以x+lna≥lnx,即lna≥lnxx。易得h(x)=lnx-x的最大值為-1,于是lna≥-1,解得。故選B。

評注:解題時通過換元,構建同構式,可化繁為簡,使問題得到較快解決。