淺析排列組合中分組分配問題的解題策略

■成都經濟技術開發區實驗中學校 杜海洋

排列組合問題是高考數學中的必考題型,題型多變,解題方法也多種多樣。其中分組分配問題是排列組合中的一類綜合性問題,也是排列組合中的難點,兩者之間既有區別又有聯系,稍不留意就會引發混淆。為了解決這一棘手問題,下面將結合幾個例題談一談解答分組分配問題的策略。

一、分組問題

1.完全均勻分組

例16 本不同的書,按下列要求分配,求各有多少種不同的分法:

(1)分給甲、乙、丙三人,每人2本;

(2)分為三份,每份2本。

解析:(1)將6本不同的書分給甲、乙、丙三人,每人2本,可以分為三步完成:第一步,先從6本書中選2本給甲,有C26種選法;第二步,從剩余的4本中選2本給乙,有C24種選法;第三步,最后剩余的2本給丙,有C22種選法。由分步乘法計數原理知,共有=15×6×1=90(種)不同的分法。

2.部分均勻分組

例22023 年亞運會在杭州舉辦期間,將6 位志愿者分成四組,其中兩組各2人,另兩組各1人,分赴亞運會的4個不同場館服務,不同的分配方案的種數為( )。

A.4 320 B.1 080

C.180 D.90

解析:將6位志愿者分成四組,其中兩組各2人,另兩組各1人,有=45(種)方法,進而將其分配到4個不同場館,有A44=24(種)方法。由分步計數原理可得,不同的分配方案有45×24=1 080(種)。選B。

點評:該問題屬于先平均分組(堆)再分配的問題,先將6位志愿者分成四組,其中兩組各2人,另兩組各1人,再將其分配到4個不同場館即可。在分組過程中,要注意分組重復的情況,理解中分母的意義。

3.完全非均勻分組

例3要把9本不同的課外書分給甲、乙、丙3名同學,如果要求一人得4 本,一人得3本,一人得2本,則不同的分法共有多少種?

解析:要完成分配任務,可以分為兩步:第一步,將9本書按照4本、3本、2本分為三組,有種方法;第二步,將分好的3組書分別給3個人,有A33種方法。

點評:完全均勻分組和部分均勻分組在計數過程中易出現重復現象,注意計算公式的應用。重復的次數是均勻分組的階乘數,即若有m組元素個數相等,則分組時應除以m!。關于分組問題,有完全均勻分組、完全非均勻分組和部分均勻分組三種:①完全均勻分組,每組元素的個數都相等;②部分均勻分組,應注意不要重復;③完全非均勻分組,這種分組不考慮重復情況。無論分成幾組,應注意只要有一些組中元素的個數相等,就存在均分現象,解決這類問題必須按照均勻分組的公式來解決。

例4將6本不同的書分給甲、乙、丙、丁4 個人,每人至少一本的不同分法共有____種。

解析:先把6本不同的書分成4組,再分給4個人,但該題易出錯的地方有兩個:一是分組考慮不全造成漏解,分組方式有2種,即3,1,1,1與2,2,1,1;二是2,2,1,1分組時,忽視均勻分組問題造成增解。

把6本不同的書分成4 組,每組至少一本的分法有2種。

二、分配問題

1.相同元素的分配問題

相同元素的分配問題,常用“隔板法”,即將n個相同的元素分成m份(n,m為正整數),每份至少一個元素,可以用m-1 塊隔板,插入n個元素排成一排形成的n-1個空隙中,共有種方法。

例5方程x1+x2+x3+x4=12的正整數解共有( )組。

A.165 B.120 C.38 D.35

解析:如圖1,將12個完全相同的球排成一排,在它們之間形成的11個空隙中任選3個插入3塊隔板,把球分成四組,每一種分法所得球的數目依次是x1、x2、x3、x4,顯然滿足x1+x2+x3+x4=12,故(x1,x2,x3,x4)是方程x1+x2+x3+x4=12的一組解。反之,方程x1+x2+x3+x4=12的每一組解都對應著一種在12個球中插入隔板的方式,故方程x1+x2+x3+x4=12的正整數解的數為165,選A。

點評:相同元素分配問題的常見處理策略如下。

①隔板法:將放有小球的盒子緊挨著成一排放置,便可看作排成一排的小球的空隙中插入了若干隔板,相鄰兩塊隔板形成一個“盒”。每一種插入隔板的方法對應著小球放入盒子的一種方法,此法稱為隔板法。隔板法專門解決相同元素的分配問題。

②將n個相同的元素分給m個不同的對象(n≥m),每個對象至少分得一個元素,有Cm-1n-1種方法。可描述為在n-1個空中插入m-1塊隔板。

③將n個相同的元素分給m個不同的對象(n≥m),有Cm-1n+m-1種方法。 可轉化為將n+m個相同的元素分給m個不同的對象(n≥m),每個對象至少分得一個元素,有Cm-1n+m-1種方法。即在n+m-1 個空中插入m-1塊隔板。

2.不同元素的分配問題

不同元素的分配問題,一般利用分步乘法計數原理,先分組,后分配。

例6將4名大學生分配到3個鄉村去支教,每個鄉村至少1名大學生,則不同的分配方案有____種。

解析:(方法一)分兩步完成:第一步,將4名大學生按2,1,1 分成三組,其分法有種;

第二步,將分好的三組大學生分配到3個鄉村,其分法有A33種。

(方法二)根據題意知必有2名大學生去同一個村,從4名大學生中任選2名捆綁在一起,故有C24A33=36(種)方案。

總之,解答排列組合問題的關鍵在于判斷問題屬于不均分問題、整體均分問題,還是部分均分問題。有關“分組與分配”的問題還有很多內容,上述的研究僅僅是冰山一角,希望能為同學們的數學學習提供幫助。