利用二級(jí)結(jié)論 優(yōu)解橢圓小題
——2023年高考數(shù)學(xué)甲卷理科第12題解法探究

■甘肅省張掖市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 王新宏

圓錐曲線試題是高考數(shù)學(xué)的必考試題,是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。大部分同學(xué)對(duì)其有畏懼心理,找不到解決的突破口。2023年高考數(shù)學(xué)甲卷理科第12題是一道橢圓壓軸小題,它以橢圓焦點(diǎn)三角形為背景,考查橢圓的定義、余弦定理、焦點(diǎn)三角形等知識(shí),題干簡(jiǎn)潔,設(shè)問直接,內(nèi)涵豐富。本題入手比較容易,方法比較多,考查同學(xué)們理性思維與數(shù)學(xué)探究能力,體現(xiàn)了邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。解決本題的關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合,即可考慮用余弦定理,也可考慮焦半徑公式、焦點(diǎn)三角形面積公式、中線的向量公式、中線定理、極化恒等式等相關(guān)二級(jí)結(jié)論迅速求解。試題凝聚了命題專家的心血與智慧,簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單,為不同能力水平的同學(xué)提供了相應(yīng)的思考空間,是一道獨(dú)具匠心的好題。

1.試題呈現(xiàn)

2023年高考數(shù)學(xué)甲卷理科第12題:

如圖1 所示,設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),F1,F2為橢圓C=1 的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在 橢 圓C上,cos ∠F1PF2=,則|OP|=( )。

圖1

2.解法探究

解法1:(挖出兩角互補(bǔ)這個(gè)隱含條件)

由橢圓方程知a2=9,b2=6。

因?yàn)閏2=a2-b2,所以a=3,c= 3,e=

在△PF1F2中,由余弦定理得:

點(diǎn)評(píng):解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)∠POF1+∠POF2=π,cos ∠POF1=-cos ∠POF2這樣的隱含條件,它往往能幫助整個(gè)題目的順利求解。

解法2:(借焦半徑之力)

解法3:(與焦點(diǎn)三角形面積公式結(jié)合)

證明過程:如圖2 所示,設(shè)P(x,y),由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosα。①

圖2

由橢圓的定義得:

|PF1|+|PF2|=2a。②

則 ②2- ① 得:|PF1|· |PF2| =

解法4:(與中線的向量公式結(jié)合)

點(diǎn)評(píng):如圖3所 示,若AD為△ABC邊BC的中 線,則,中線的向量公式在高考中也備受青睞。

圖3

圖4

解法5:(與中線定理結(jié)合)

由題意知|PF1|+|PF2|=2a=6。①

|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2= |F1F2|2,即|PF1|2+

聯(lián)立①②,解得|PF1|2+|PF2|2=21。

解法6:(與極化恒等式結(jié)合)

極化恒等式在處理與中線有關(guān)的數(shù)量積時(shí),往往會(huì)出奇制勝,事半功倍。

3.鞏固練習(xí)

(2)(2019年全國(guó)Ⅰ卷文科第12題)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-1,0),F2(1,0),過F2的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),如果|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則橢圓C的方程為( )。

4.小結(jié)與啟示

從以上內(nèi)容可以看出,對(duì)于解析幾何小題,一般不直接考慮設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)運(yùn)算,而是先畫草圖,接著充分考慮圖形的幾何性質(zhì)特征與圓錐曲線定義,以及相關(guān)的二級(jí)結(jié)論,這樣往往更能幫助同學(xué)們看清圖形元素間內(nèi)在的聯(lián)系,挖掘問題本質(zhì),簡(jiǎn)化解題過程,減少運(yùn)算量,提高解題的效率,快速準(zhǔn)確解題。

對(duì)高考真題進(jìn)行適當(dāng)?shù)难芯?不但可以明確高考重難點(diǎn),把握高考方向,避免學(xué)習(xí)的隨意性、盲目性,而且可以有效訓(xùn)練同學(xué)們的思維能力,培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí),提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。