計數原理單元測試卷（A卷）答案與提示

一、單選題

1.B 提示:從4名男生與3名女生中選2人,其中男女各1 人,由分步計數原理可得,不同的選派方法數為4×3=12。

2.A 提示:先將不相鄰的兩隊排除,將貴陽折耳根隊與柳州螺螄粉隊看成一個整體,與余下兩隊排列,有A33種方法,再將不相鄰的兩隊插入它們的空隙中,有A24種方法,最后貴陽折耳根隊與柳州螺螄粉隊之間的排法有A22種,故不同的站法有A33A24A22=144(種)。

3.A 提示:由組合數性質知,C7n+C8n=,故

解得n=14。

4.D 提示:(解法一)用間接方法,從這7個點中任選2 個點作直線,一共有C27條,其中從共線的B,D,E,F的4個點中任選2個點,可得C24條直線。因此,所得直線的條數為

(解法二)用直接方法,①過點B,D,E,F的直線只有1條;

②過A,C,G中的任意2 個點作直線,可作3條直線;

③從B,D,E,F中任取1 個點,從A,C,G中任取1個點作直線,可作直線條數為4×3=12。

綜上,所得直線的條數為1+3+12=16。

5.C 提示:梯形的上、下底平行且不相等,如圖1所示。

圖1

若以AB為底邊,則可構成2個梯形,根據對稱性可知此類梯形有2×8=16(個)。

若以AC為底邊,則可構成1個梯形,此類梯形共有1×8=8(個)。

所以梯形總共的個數是16+8=24。

則含x2的項的系數為1·C26(-1)2-1·C36(-1)3=35。

7.C 提示:先將5個人分為3組, 每組的人數分別為3、1、1或2、2、1。

若3組的人數分別為3、1、1,則教師夫婦必在3 人的一組,則教師夫婦這組還需從剩余的3人中抽1人,此時不同的分組方法數為

若3組人數分別為2、2、1,則2人一組中有一組是教師夫婦,只需將剩余3 人分為2組,且這2組的人數分別為2、1,此時不同的分組方法數為

接下來,將所分的3 組分配給3 所不同的學校,不同的安排方案種數為(3+3)A33=6×6=36。

依次驗證選項知2 021≡1(mod10)。

二、多選題

9.BCD 提示:對于選項A,Amn=n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1),故A1020=20×19×18×…×11,A 錯誤。

對于選項D,甲、乙、丙3 名教師需分配一個班級,才能達到最優化教學效果。

故剩余5名教師可按1,2,2和1,1,3兩種情況分類,有種分配方法,故D 正確。

12.AC 提示:由題中圖知,從A地出發到B地的最短路徑包含7步,其中3步向上,4步向右,且前3步中至少有1步向上,則不同的路徑共有C13C24+C23C14+C33=31(條),故A 正確、B錯誤。

若甲途經C地,則不同的路徑共有=18(條),故C正確。

若甲途經C地,且不經過D地,則不同的路徑共有C13C13=9(條),故D 錯誤。

三、填空題

13.41 提示:a9=C99(-1)9+mC=10m-1,a10=m。

因為a9=a10,所以10m-1=m,解得m

14.2 提示:(1-ax+x2)4=[1+(x2-ax)]4,所以[1+(x2-ax)]4的展開式的通項為:

展開式共有9項,當r=0,4,8 時,展開式為有理項。

把展開式中所有的項重新排成一列,有理項都互不相鄰,即把其他的6 個無理項先任意排,再把這3個有理項插入形成的7 個空隙中,方法共有A66·A37種方法。

故有理項都互不相鄰的概率P=

16.12 提示:①當a=0時,b取集合內任一實數均有實數解,此時有4對。

②當a≠0時,一元二次方程有解則滿足Δ=4-4ab≥0,即ab≤1。

當a=-1時,b可取的值有-1、0、2、3;

當a=2時,b可取的值有-1、0;

當a=3時,b可取的值有-1、0。

共有12個實數對滿足題意。

四、解答題

17.(1)先將4名女生排在一起,有A44種排法;

甲、乙相鄰,他們之間有A22種排法。

最后將排好的甲、乙這個整體與丙分別插入原先排好的4人形成的5個空隙中,有種排法。

化簡整理得n2-3n-54=0。而n≥6,解得n=9。

所以n=9。

19.(1)由1＜log2x＜3,得log22＜log2x＜log223,故2＜x＜8。所以A={3,4,5,6,7},A∪B={3,4,5,6,7,8}。

從A∪B中取出3個不同的元素組成三位數,可以組成A36=120(個)三位數。

(2)由(1)得A={3,4,5,6,7},而且B={4,5,6,7,8}。

若從集合A中取元素3,則3不能作千位上的數字,有C35·C13·A33=180(個)滿足題意的正整數。

若不從集合A中取元素3,則有=384(個)滿足題意的正整數。

所以,滿足題意的正整數的個數為180+384=564。

解得n=6或n=-7(舍去)。

因為所有項的系數之和為1,所以(a-1)6=1,解得a=0(舍去)或a=2。

(2)展開式中存在常數項。

所以展開式中常數項為T5=(-1)4C4622x0=60。

21.(1)要組成無重復數字的四位偶數,則個位數字為2、4、6其中一個即可,可以組成C13·A35=180(個)四位偶數。

(2)要組成數字1、3、5 互不相鄰的六位數,先將2、4、6排列好,再將1、3、5插入到排列所形成的空隙中,則可以組成A33·A34=144(個)數字1、3、5互不相鄰的六位數。

(3)將六位數的數字從左到右分別記作第一位、第二位、…。

將6、4分別安排在第一位和第二位,則有C14A33=24(個)。

將6、4分別安排在第一位和第五位,則有A33=6(個)。

將6、4分別安排在第三位和第四位,則有C12A33=12(個)。

將6、4分別安排在第三位和第五位,則有A33=6(個)。

綜上,共有24+18+12+6+18+12+6+12+6+6=120(個)滿足題意的六位數。

22.(1)(a-2x)8的二項展開式的通項為Tr+1= Cr8a8-r· (- 2x)r=(-2)ra8-rCr8xr。

令r=2,得(-2)2a8-2C28=81 648。

又a＞0,故a3=27,a=3。

(2)(ⅰ)由(1)得(3-2x)8=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a8(x-1)8。

令x=2,得a0+a1+a2+…+a8=(3-2×2)8=1。①

令x=0,得a0-a1+a2-…-a7+a8=38。②

(ⅱ)令x-1=t,則x=t+1。

[3-2(t+1)]8=(1-2t)8=a0+a1t+a2t2+…+a8t8。

(1-2t)8的二項展開式的通項為Tk+1

故a0,a2,a4,a6,a8為正數,a1,a3,a5,a7為負數。

因此,|a0|+|a1|+|a2|+…+|a8|=a0-a1+a2-…+a8=38。