計數原理單元測試卷（B卷）

■河南省長葛市第一高級中學 張旭要

一、單選題(本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。)

1.將4個6和2個8隨機排成一行,則2個8不相鄰的情況有( )。

A.480種 B.240種

C.15種 D.10種

2.在某城市中,A,B兩地有如圖1 所示的方格形道路網,甲隨機沿道路網選擇一條最短路徑,從A地出發去往B地,途經C地,則不同的路線有( )。

圖1

A.90 種 B.105 種

C.260種 D.315 種

3.甲、乙、丙、丁4 個學校將分別組織部分學生開展研學活動,現有A,B,C,D,E這5個研學基地供選擇,每個學校只選擇一個基地,則4個學校中至少有3個學校所選研學基地不相同的選擇種數為( )。

A.420 B.460 C.480 D.520

4.甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照,要求甲必須站在中間兩個位置之一,且乙、丙2人相鄰,則不同的排隊方法共有( )。

A.24種 B.48種

C.72種 D.96種

5.某學校為增進學生體質,擬舉辦長跑比賽,該學校高一年級共有20 個班級,現將22個參賽名額分配給這20 個班級,每班至少1 個參賽名額,則不同的分配方法有( )。

A.210種 B.200種

C.150種 D.100種

6.將甲、乙等5 位同學分別保送到北京大學、上海交通大學、浙江大學3 所大學就讀,則每所大學至少保送1 人的不同保送方案有( )。

A.240種 B.180種

C.150種 D.540種

7.(3x-2)(x-1)6的展開式中x3的系數為( )。

A.85 B.5 C.-5 D.-85

8.某學校準備開設4門勞動課程:“蔬菜種植”“綠植修剪”“糕點制作”“電動自行車修理”。開課之前,要安排4男2女共6名教師參加這4 門勞動課程的技術培訓,要求每一項培訓都要有教師參加,每位教師只能參加其中一門培訓,其中“蔬菜種植”必須安排2位教師,“電動自行車修理”不安排女教師,“糕點制作”不安排男教師,則不同的安排方法有( )。

A.132種 B.112種

C.96種 D.84種

二、多選題(本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。全部選對的得5 分,部分選對的得2分,有選錯的得0分。)

9.2023年國外某智庫發布尖端技術研究國家競爭力排名,在極超音速和水下無人機等23個領域中,有19個領域中國處于領先地位。某科技博主從這19個領域中選取了A,B,C,D,E,F這6個領域,準備在2024年10月1—6日對公眾進行介紹,每天隨機介紹其中一個領域,且每個領域只在其中一天介紹,則( )。

A.A,B在后3 天介紹的方法種數為144

B.C,D相隔一天介紹的方法種數為96

C.E不在第一天,F不在最后一天介紹的方法種數為504

D.A在B,C之前介紹的概率為

10.若(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且a0+a1+a2+…+an-1+an=126,則下列結論正確的是( )。

A.n=6

B.a1+a2+a3+…+an-1=119

C.(1+2x)n的展開式中二項式系數的和為729

D.a1+2a2+3a3+…+nan=321

A.所有項的二項式系數之和為32

B.所有項的系數之和為0

C.常數項為-20

D.系數最大的項為第3項

12.若一個三位數中十位上的數字比百位上的數字和個位上的數字都大,則稱這個數為“凸數”。如231、354等都是“凸數”。若用1,2,3,4,5這5個數字組成無重復數字的三位數,則( )。

A.組成的三位數的個數為30

B.在組成的三位數中,奇數的個數為36

C.在組成的三位數中,“凸數”的個數為24

D.在組成的三位數中,“凸數”的個數為20

三、填空題(本大題共4 小題,每小題5分,共20分。)

13.現有5 名同學從北京、上海、深圳三個路線中選擇一個路線進行研學活動,每個路線至少1人,至多2人,其中甲同學不選深圳路線,則不同的路線選擇方法共有____種。(用數字作答)

15.某校高二(1)班要舉辦一場晚會,有2個 歌 唱、2 個 舞 蹈、1 個 小 品、1 個 相 聲 共6個節目,要求2個歌唱不相鄰演出,且2個舞蹈不相鄰演出,則這6 個節目共有_____種不同的演出順序。

16.(x2+y+3)6中x4y的系數為____。(用數字作答)

四、解答題(本大題共6 小題,共70 分,解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)

(1)求展開式中二項式系數最大的項;(2)求展開式中系數最大的項。

19.(本小題12 分)為弘揚我國古代的“六藝”文化,某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設“禮”“樂”“射”“御”“書”“數”六門體驗課程。

(1)若體驗課連續開設六周,每周一門,求其中“射”不排在第一周,“數”不排在最后一周,求所有可能的排法種數;

(2)甲、乙、丙、丁、戊五名教師在教這六門課程,每名教師至少任教一門課程,求其中甲不任教“數”的課程安排方案種數。

20.(本小題12分)按下列要求分配6本不同的書,求各有多少種不同的分配方法。

(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;

(2)甲、乙、丙三人中,一人得1 本,一人得2本,一人得3本;

(3)平均分成三份,每份2本;

(4)平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本;

(5)分成三份,1份4本,另外兩份每份1本;

(6)甲、乙、丙三人中,一人得4 本,另外兩人每人得一本。

21.(本小 題12 分)設(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,n≥4,n∈N*。已知=2a2a4。

(1)求n的值;

(2)若(1+ 3)n=a+b3,其中a,b∈N*,求a2-3b2的值。

22.(本小題12分)現有0,1,2,3,4,5這6個數字。

(1)可組成多少個沒有重復數字的偶數?

(2)在組成沒有重復數字的五位數中,按從小到大排21 350是第幾個數字?