對平行線中“拐點”問題的探索與思考

文／江蘇省太倉市沙溪鎮岳王學校 劉夏天

在學習平行線相關性質時，我發現有一類題目經常出現。在平行線之間或者外部添加一個“拐點”，將這個點與兩條平行線上的點連接，會出現很多角，這些角區別于我們所學的同位角、內錯角與同旁內角，但它們之間又有一定的潛在關系。因此，我想將這些關系整理下來，與大家分享。

類型1 已知，如圖1，AB//ED，求∠ABC、∠BCD、∠CDE三個角之間的數量關系。

圖1

該類型與上一篇文章《平行線中的魔法》的問題1 是一樣的。拐點C在兩條平行線之間，我們可以過點C，構造AB、ED的平行線CF，如圖2，使∠BCD分成∠BCF與∠FCD，隨后可以發現∠BCF、∠FCD分別與∠ABC、∠CDE是內錯角的關系，利用平行線的性質，可以得到∠BCD=∠BCF+∠FCD=∠ABC+∠CDE。

圖2

類型2 已知，如圖3，AB//ED，求∠ABC、∠BCD、∠CDE三個角之間的數量關系。

圖3

該類型中，拐點C也在兩條平行線之間，但點B、C、D之間的位置關系與類型1 稍微有些不同，我們仍然可以用類型1的方法，過點C構造平行線FC，如圖4，但此時∠BCF、∠FCD分別與∠ABC、∠CDE是同旁內角的關系，可以得到∠BCF+ ∠ABC=180°，∠FCD+ ∠CDE=180°。因 此，∠ABC+ ∠BCD+ ∠CDE=∠ABC+∠BCF+∠FCD+∠CDE=180°+180°=360°。

圖4

類型3 已知，如圖5，AB//ED，求∠ABC、∠BCD、∠CDE三個角之間的數量關系。

圖5

該類型中，拐點C在兩條平行線之外，當然，我們也可以用類型1 與類型2的方法，作平行線來解決，但我認為有更簡單的方法。此圖形中有一個現成的三角形，不妨設AB與CD的交點為點F，利用平行線的性質，可得∠CDE=∠CFA，而∠CFA又 是△CFB的 外 角，可 以 得 到∠CFA= ∠ABC+ ∠BCD，因 此，∠CDE=∠ABC+∠BCD。

以上三個類型的基本題型，就是我通過對平行線中“拐點”問題的探索與思考后，整理出來的。經過這番整理與總結，我感覺自己對這類題目有了更深的理解。

教 師 點 評

在學習幾何的過程中，對問題進行總結與提煉，并歸納成基本題型，是對大家抽象思維和概括能力的鍛煉，也能讓大家在做題時有更靈活的思維。期待同學們能夠在練習的過程中發現更多的基本圖形，并能夠自我創新，對基本題型進行改編，進一步提升數學素養。