平行線中的魔法

文／江蘇省太倉市第一中學 陳明子

提到幾何，相信大家都不陌生。有時，我們掌握一個幾何模型，就可以解決很多與這個模型有關的問題，這也體現了數學的互通性。最近，我做了幾道習題，發現平行線中就有這樣的魔法。

問題1 如圖1，已知AB//CD，求∠A、∠C、∠AEC的數量關系。

圖1

問題2 如圖2，已知AB//CD，求∠B、∠BEF、∠EFG、∠DGF、∠D的數 量關系。

圖2

這兩道題是有共性的，我都是通過作平行線的方式來解決的。對于問題1，我過點E，作EF//AB，如圖3。

圖3

∵AB//CD，

∴AB//CD//EF。

∴∠1=∠A，∠2=∠C。

∴∠AEC=∠1+∠2=∠A+∠C。

對于問題2，我作EH//AB，IF//EH，GJ//CD，如圖4。

圖4

圖5

∵AB//CD，∴EH//GJ。

∴AB//CD//EH//IF//GJ。

∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8。

∵∠BEF=∠3+∠2，∠DGF=∠6+∠7，

又∵∠EFG=∠4+∠5，

∴∠B+∠EFG+∠D=∠BEF+∠DGF。

解了這兩道題之后，我不禁產生一個疑問：如果平行線間的拐點繼續增多，還能利用作平行線的方法來解決類似的題嗎？于是，我思考起下面這個問題。

問題3 已知a//b，求∠Q1，∠Q2，…，∠Qn與∠P1，∠P2，…，∠Pn-1的數量關系（n≥3）。

我又用了作平行線的方法，作了（2n-3）條平行線，還真解決了這道題。

解：如圖6，過點P1、Q2、P2、Q3、…、Pn-1，分別作a的平行線，得到l1、h1、l2、h2、…、hn-2、ln-1。

圖6

∵a//b，

∴a//l1//h1//…//ln-1//b。

∴∠1=∠2，∠3=∠4，…，∠（4n-3）=∠（4n-4）。

∴∠Q1+∠Q2+…+∠Qn=∠P1+∠P2+…+∠Pn-1。

通過解答這三道幾何題，我收獲許多，領略到了平行線中的魔法。所以，小伙伴們做數學題時，要學會舉一反三，這樣可能會有意想不到的收獲哦。

教 師 點 評

這是學完“平面圖形的認識（二）”后，小作者對“豬蹄”模型的所想所悟。初識幾何，小作者能在構建模型的基礎上，擴充，探索，領悟，舉一反三，獲得一般性的結論，培養了數學思維，強化了數學語言，展現了非同一般的數學能力。這也激勵同學們，在學習數學的過程中，要學會分析問題，學會從特殊到一般對問題進行更深層次的思考，從而享受學習數學的樂趣。