如何折30°角

王儉

【教學目標】①通過折紙的活動及論證的過程，找到折紙的知識理論依據，并確定折法的可行性。加深對矩形、軸對稱圖形、三角形全等、勾股定理、直角三角形等知識的理解。②學生經過不斷的嘗試與探索，培養多角度觀察的能力，探索折紙活動的規律。③在不斷嘗試與探索的過程中，培養學生的學習興趣，建立正確的數學學習觀。

【教學重點】 用長方形的紙片折出30°、60°的角，并論證折法的正確性。

【教學難點】 探索折紙活動中的數學特征和解題策略。

【教具準備】 長方形的紙片

【教學過程】

一、創設情境，導入新課（2分鐘）

你們玩過折紙嗎？都會折那些物品呢？今天我為大家帶來了常見的紙船、紙鶴、紙飛機等。折紙成了一種工藝裝點著我們的生活。大家是否想過，折紙中包含了大量的數學信息，我們竟然可以用數學知識解釋它。

（設計意圖）這樣引入是讓學生體驗折紙的價值，欣賞數學的美麗，充分激發學生的學習興趣，并與課標所倡導的“注重教學內容與現實生活的聯系”所吻合。

二、設疑導思，獨立探究（13分鐘）

提出問題一：請拿出準備好的長方形的紙，你能折出多少度的角呢？

（預設）可能折出45°90°的角，以此類推，還可以折出90°角的[12]，[14]等。也可能大家經過不斷的嘗試，將矩形的一邊（即平角）近似三等分得到了60°角，把一個直角近似三等分得到了30°，此處找同學評價折疊的可行性。因為這種折法不夠嚴謹，折出的角不夠準確，所以這種方法欠妥。但是這種操作在反復折疊中一次比一次地趨近三等分。這里蘊含著樸素的極限思想。

提出問題二：如何準確地折出30°60°的角呢？

把這個任務放手給小組交流探索，在動手實踐過程中，教師走到學生中參與交流討論，傾聽他們的想法。

三、解疑導撥，合作探究（15分鐘）

若探討不出滿意的成果，予以啟發。長方形的紙片中，除了平角就是直角，我們要折出30°，如何利用直角呢？大家自然會想到：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角為30°。我們如何構造這樣的三角形呢？啟發到此，再讓學生充分交流，這次小組或許就有了答案。

【預設方法一】為了找取兩倍關系的邊，我們將長方形對折，把寬二等分，然后將長方形的寬通過折疊改變位置作為斜邊，即通過長方形的一個頂點，將另一個頂點落在折痕處。

提出問題三：以上折出的角是不是30°，60°呢？誰能用數學方法給大家證明呢？

為了證明，我啟發學生這樣思考：哪些邊對應相等？哪些角對應相等？哪些圖形全等？很明顯，這兩個三角形關于這條折痕所在直線對稱，于是結合折疊前后圖形變化的特征得出這樣的數學圖形，我們把折紙活動轉化為一個數學問題。

【預設證明方法一】

方法一

[A][B][C][D][E][F][M][N]

∵EB=[12]AB，AB=BN

∴EB=[12]BN

在Rt△NEB中，BE=[12]BN

∴∠EBN=60°，∠MBN=30°

方法二：作NG⊥BC

[A][B][C][D][E][F][M][N] [G]

過N作NG⊥BC

∵NG=[12]AB，AB=NB

∵∠NGB=90°

∴NG=[12]BN

∴∠NBG=30°，∠MBN=30°

方法三：連接AN

[A][B][C][D][E][F][M][N]

連接AN

∵EN⊥AB且AE=EB

∴AN=BN

又∵AB=BN

∴AB=AN=BN

∴△ABN為等邊三角形

∴∠ABN=60°，∠MBN=30°

【預設方法二】? 目的是構造一條直角邊與一條斜邊，使它們成2倍關系，所以還可以將長方形連續對折兩次，其中4等分折法所建構的數學圖形是這樣的（課件動畫演示）。

[A][E][F][B][G][C][D][B′]

證明：如圖，在Rt△EFB′中

∵EF＝[12]B′F

∴∠EFB′＝60°

∴∠BFG＝60°

則∠BGF＝30°

還可以進行4等分、8等分、16等分等，其證明方法與前面類似。

（設計意圖）通過這個活動，學生們體驗到折疊是一種軸對稱圖形的變換，通過折疊，能折出中點、角平分線。在折疊過程中，抓住圖形變化的特征，抽取相應的數學圖形，從而把活動數學化。

四、鞏固深化，實踐探究（7分鐘）

為了掌握以上解決問題的策略，設置了一個學以致用，你能用我們準備好的長為12厘米，寬為5厘米的長方形的紙片，折出一個菱形嗎？

【預設折法一】? 抓住判定菱形的方法，四條邊相等的四邊形為菱形，所以構造相等的四條邊。如下折法，（課件動畫演示）就折出了一個菱形。

【預設折法二】 如圖，你能說明方案二折出的是菱形嗎？

【分析】根據折疊前后對應線段、對應角相等，已經具備了兩對邊分別相等、兩對角分別相等，我們只要說明這兩條邊相等即可（課件演示）。請比較折出的兩個菱形面積的大小。

方案一：

S菱形=S矩形-4S△AEH

=12×5-4×[12]×6×[52]≈30cm2

方案二：設BE＝x，則CE＝12-x

∴AE=[BE2+AB2]=[25+x2]

由AECF是菱形，則AE2＝CE2

∴25+x2=（12-x）2

∴x=[11924]

S菱形=S矩形-2S△ABE

=12×5-2×[12]×5×[11924]

≈35.21cm2

比較可知，方案二所折的菱形面積較大。

課堂總結：通過今天的折紙，讓學生談一談收獲。

知識方面：折紙實質為軸對稱圖形的變換，能折出很多圖形，正方形、矩形、直角三角形、梯形等，以及角平分線、垂直平分線等。我們可以利用全等三角形的性質及勾股定理，解決一些有關求角度、求長度、求面積的問題。其中最關鍵的是，結合折疊前后變化圖形的特征，抽取出相應的數學圖形。

數學思想方法方面：這節課還體現了一些思維方法，如逆向思維、從特殊到一般的歸納思想、及轉化思想，我們要善于從變化中尋找不變的量。

五、反思升華，引申探究（3分鐘）

如下圖折疊，你能判斷△AEF是什么樣的三角形嗎？

取一張矩形紙片進行折疊，具體操作過程如下。

第一步，先把矩形ABCD對折，折痕為MN，如圖（1）。

第二步，再把B點疊在折痕MN上，折痕為AE，點B在MN上的對應點為B′，得Rt△AB′E，如圖（2）。

第三步，沿EB′線折疊得折痕EF，如圖（3）。

探究：△AEF是什么三角形？證明你的結論。