華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510630) 黃雅萱 梁鈺清

廣州市白云區(qū)白云實(shí)驗(yàn)學(xué)校(510080) 黃詩韻

1 先行組織者

先行組織者由奧蘇伯爾提出,是學(xué)習(xí)新知識材料時呈現(xiàn)一種起組織作用、抽象概括程度較高的材料;是把新內(nèi)容與學(xué)生已有的知識聯(lián)系起來,幫助學(xué)生組織要學(xué)習(xí)的材料.先行組織者分為陳述性與比較性,陳述性組織者主要通過定義和概括進(jìn)行,用于較陌生的學(xué)習(xí)材料,即向?qū)W生呈現(xiàn)概括性水平高于新知的材料,讓學(xué)生獲得同化新知識的框架.比較性組織者主要通過類推進(jìn)行,用于較熟悉的學(xué)習(xí)材料中,即當(dāng)學(xué)生面對新的學(xué)習(xí)任務(wù)時,倘若其認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已經(jīng)具有了可以利用的同化新知識的適當(dāng)觀念,但原有觀念不清晰或不穩(wěn)定,學(xué)生難以應(yīng)用,或者他們對新舊知識之間的關(guān)系辨別不清,則可以設(shè)計一個揭示新舊知識異同的比較性組織者.通過在數(shù)學(xué)課堂中呈現(xiàn)比較性先行組織材料,能夠?qū)W(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的某類知識與新知識進(jìn)行類推,增強(qiáng)新舊知識之間的可辨別性,幫助學(xué)生明晰新舊知識的關(guān)系[1].

2 先行組織者在教學(xué)中的應(yīng)用案例

2.1 運(yùn)用先行組織者策略的內(nèi)容解析

兩條平行線之間的距離的定義以及性質(zhì)在教材中是由平行四邊形的性質(zhì)引出,選自人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》八年級下冊的18.1 節(jié).

點(diǎn)到直線的距離(以下簡稱點(diǎn)線距離)是一個定點(diǎn)與在一條直線上的動點(diǎn)之間的距離問題,兩條平行線之間的距離(以下簡稱線線距離)是平行線間兩個動點(diǎn)之間的距離問題——即點(diǎn)線距離和線線距離的本質(zhì)是兩點(diǎn)之間的距離(以下簡稱點(diǎn)點(diǎn)距離).換言之,點(diǎn)點(diǎn)距離是點(diǎn)線距離、線線距離的“比較性先行組織材料”.課例創(chuàng)設(shè)“鄉(xiāng)村振興”主題情境,在情境中以問題串引導(dǎo)學(xué)生明確三種距離本質(zhì)上都是點(diǎn)點(diǎn)距離,搭建先行組織者與新知材料的關(guān)系(見圖1).最后,動點(diǎn)間距離的最值問題是新學(xué)習(xí)材料的一個直接應(yīng)用,要求學(xué)生扎實(shí)掌握新知識的特征,并明晰新學(xué)習(xí)材料的本質(zhì)后,從題目條件中抽象出新學(xué)習(xí)材料的特征結(jié)構(gòu),從而轉(zhuǎn)化問題,進(jìn)行求解.

圖1 先行組織者策略運(yùn)用思路

2.2 教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn)分析

(1)理解線線距離的概念;了解線線距離和點(diǎn)點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)線的距離的聯(lián)系;

(2)通過從先行組織材料中得到新知的方式培養(yǎng)學(xué)生遷移的能力,在經(jīng)歷將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程中體會轉(zhuǎn)化思想;在利用線線距離的知識解決最值問題中發(fā)展推理能力;

(3)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決鄉(xiāng)村振興問題,激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極性,產(chǎn)生利用知識回報鄉(xiāng)村的積極想法.從解決數(shù)學(xué)問題的過程中,感悟數(shù)學(xué)來源于生活、運(yùn)用于生活.

“距離”是初中數(shù)學(xué)中重要的知識,在最短路徑等最值問題中具有重要的價值,且作為初高中銜接的一個重要內(nèi)容,扎實(shí)掌握距離的相關(guān)知識對于高中距離的進(jìn)一步學(xué)習(xí)具有重要鋪墊作用.在學(xué)習(xí)“線線距離”時,學(xué)生對于距離的學(xué)習(xí)過去了一年,且是結(jié)合平行四邊形給出線線距離的概念,對學(xué)生的知識遷移能力要求較高.為此,依托先行組織者策略整合教材內(nèi)容,讓學(xué)生理解平行線間距離是教學(xué)重點(diǎn)之一,同時,線線距離的應(yīng)用——動點(diǎn)間距離最值問題是本節(jié)教學(xué)的另一個重難點(diǎn),以多個變式引導(dǎo)學(xué)生探究如何分析條件轉(zhuǎn)化最值問題,培養(yǎng)學(xué)生解決一類最值問題的能力,啟發(fā)思維.

2.3 教學(xué)片斷

(1)情境引入,初探新知

情境創(chuàng)設(shè):為響應(yīng)鄉(xiāng)村振興的號召,干部深入基層運(yùn)用專業(yè)知識支援鄉(xiāng)村發(fā)展.2022 年修建了旅游公路,其中旅游公路與田地垂直而建.為充分利用村里的土地,提高經(jīng)濟(jì)效益,干部和村長敲定種植出品馬鈴薯和油菜等農(nóng)產(chǎn)品.但是馬鈴薯和油菜是需水量較大的農(nóng)作物,還需要引渠灌溉.農(nóng)田附近有一條河流,此河流恰與旅游公路垂直(如圖1).為節(jié)約成本,如何修建水渠才能最短? 你能幫助德美村解決這個問題嗎?

問題1:河流和農(nóng)田有何種位置關(guān)系?

師生活動:教師用手勢比劃河岸及農(nóng)田與旅游公路的關(guān)系,學(xué)生觀察教師動作、結(jié)合情境,回答農(nóng)田與河流都與旅游公路垂直,可以將農(nóng)田與河流看作一組平行線(如圖2).

圖1

追問:同學(xué)們可以將“如何修建水渠才能最短”這一實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題嗎?

生1:在一組平行線之間連線,其中哪一條最短? (如圖3)

圖3

設(shè)計意圖《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)要讓學(xué)生經(jīng)歷現(xiàn)實(shí)情境的水平數(shù)學(xué)化[2],本環(huán)節(jié)以鄉(xiāng)村振興為背景創(chuàng)設(shè)情境,一方面引出數(shù)學(xué)問題,學(xué)生提高水平數(shù)學(xué)化能力,另一方面滲透振興鄉(xiāng)村的思想,加強(qiáng)學(xué)生的德育教育.

(2)知識串聯(lián),同化建構(gòu)

師生活動:教師用手勢比劃兩條平行線上不同位置,語言強(qiáng)調(diào)在兩條平行線上任意取1 點(diǎn)連線,學(xué)生觀察教師動作,感受“在一組平行線之間連線,其中哪一條最短? ”這一問題的本質(zhì)是“在平行線上的兩動點(diǎn)間連線,哪條線最短? ”

問題2:如圖4,三種連線方式,哪種連線方式長度最短?

圖4

生2:方案③最短,因?yàn)閮牲c(diǎn)之間,線段最短.

問題3:平行線上有無數(shù)個點(diǎn),分別選取哪兩點(diǎn)連線段,才能使線段最短呢?

學(xué)生思考并未回答問題.

追問:同時考慮兩條平行線上的2 個動點(diǎn)很困難,可否先固定其中一點(diǎn)呢? 如圖5,在直線m上選定一點(diǎn)P,請在直線n上確定一點(diǎn),使得兩點(diǎn)連線最短.

圖5

學(xué)生活動:學(xué)生發(fā)現(xiàn)這是點(diǎn)到直線的最短距離問題,所以過點(diǎn)P作關(guān)于直線n的垂線段,此時點(diǎn)P到直線n的距離最短(如圖6).

圖6

追問:如圖7,在直線m再取一點(diǎn)E,向直線n作垂線段,那么PQ=EF嗎? 如何證明?

圖7

師生活動:大部分學(xué)生猜測PQ=EF,接下來教師引導(dǎo)學(xué)生利用平行四邊形的判定與性質(zhì)定理完成證明.

追問:我們利用兩條垂線段平行的條件,利用平行四邊形的判定及性質(zhì)定理證明了在兩條平行線間,垂線段互相平行且相等.那么在兩條平行線間,任意一組平行線段長度相等嗎?

學(xué)生集體回答相等,運(yùn)用同樣的方法可以證明.

師:通過以上的證明,我們知道平行線間任意一組平行線段長度相等.那么在無數(shù)組長度相等的平行線段中,哪一組線段最短呢?

生3:垂線段是最短的,因?yàn)樵谄叫芯€上任意選一點(diǎn),向另一條平行線作垂線段最短.

師:沒錯! 在無數(shù)組長度相等的平行線段中,垂線段最短.

設(shè)計意圖通過手勢與語言強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生感受線線距離的本質(zhì)是平行線間兩個動點(diǎn)之間的距離問題,再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生將兩個動點(diǎn)點(diǎn)間的距離問題轉(zhuǎn)化為一個定點(diǎn)與在一條直線上的動點(diǎn)之間的距離問題——在此過程中,呈現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距離和點(diǎn)線距離這一比較性先行組織材料,循序漸進(jìn)引導(dǎo)學(xué)生在比較性先行組織材料(點(diǎn)點(diǎn)距離、點(diǎn)線距離)與新知(線線距離)之間建立遷移橋梁,有助于學(xué)生明晰線線距離與點(diǎn)點(diǎn)距離、點(diǎn)線距離的關(guān)系.

(3)知識生成,鞏固升華

教師活動:根據(jù)以上探究過程,教師闡述兩條平行線間的距離的定義.

定義:兩條平行線中,一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離,叫做兩條平行線之間的距離.

師生活動:根據(jù)環(huán)節(jié)三得到的結(jié)論,教師引導(dǎo)學(xué)生表述平行線間距離處處相等的性質(zhì)及命題.

命題1:兩條直線平行,那么一條直線上所有的點(diǎn)到另一條直線的距離都相等.

命題2:兩條直線平行,一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的距離,為兩條平行線之間的最短距離.

問題4:請同學(xué)們利用數(shù)學(xué)知識,設(shè)計一個建渠方案.

學(xué)生們回答在河岸上取若干灌水點(diǎn),向農(nóng)田作垂直于農(nóng)田水渠.

師生活動:回顧建造水渠中問題轉(zhuǎn)化的過程,歸納點(diǎn)點(diǎn)距離、點(diǎn)線距離與線線距離的關(guān)系,如圖8.

圖8

圖9

設(shè)計意圖基于前三個環(huán)節(jié)的鋪墊,學(xué)生基于“點(diǎn)點(diǎn)距離”、“點(diǎn)線距離”等比較性先行組織材料,經(jīng)歷了知識的同化與建構(gòu),此環(huán)節(jié)總結(jié)習(xí)得的定義及命題、闡述點(diǎn)點(diǎn)距離、點(diǎn)線距離和線線距離的關(guān)系,加深對平行線之間距離的意義的理解,達(dá)到教學(xué)目標(biāo),突破教學(xué)重難點(diǎn).

(4)知識應(yīng)用,拾級而上

以本道例題作為變式的基礎(chǔ),該題是線線距離的定義和性質(zhì)的直接應(yīng)用,學(xué)生初步感知線線距離在最值問題中的應(yīng)用.

變式1:如圖10,在RtΔABC中,∠B=90°,AB=4,BC＞AB,點(diǎn)D在BC上,四邊形ADCE是以AC為對角線的平行四邊形,求DE的最小值.

圖10

此題以平行四邊形提供一組平行線,已知D點(diǎn)是動點(diǎn),題目條件以AC為對角線構(gòu)造平行四邊形,隱含著的E點(diǎn)是平行線上的一個動點(diǎn),即通過構(gòu)造圖形給出一個隱含條件,教師引導(dǎo)學(xué)生外顯隱形條件后直接利用性質(zhì)解題.

變式2:如圖11,在菱形ABCD中,AB=4,點(diǎn)P、M、N分別是BC、AC、AB邊上的動點(diǎn),求PM+MN的最小值.

圖11

首先運(yùn)用“將軍飲馬”將線段和最值轉(zhuǎn)化為一條線段的最值,由于菱形的性質(zhì),轉(zhuǎn)化后,線段兩端點(diǎn)恰在菱形的一組平行對邊上,通過一次轉(zhuǎn)化,一個隱含條件將問題轉(zhuǎn)化為平行線上動點(diǎn)間距離最值問題,從而利用性質(zhì)解題.

變式3:如圖12,在RtΔABC中,∠C=90°,AB=點(diǎn)E、F分別是線段BC、AC上一動點(diǎn),運(yùn)動過程中保持FA=FD、ED=EB,G為AD中點(diǎn),求EF的最小值.

圖12

圖13

首先分析題目,由FA=FD、ED=EB得到兩個等腰三角形,根據(jù)“三線合一”,過E點(diǎn)作AB的垂線,這是第一次轉(zhuǎn)化,也是兩條平行線的隱含條件——兩條垂線平行,兩條運(yùn)動的平行線始終是由兩動點(diǎn)E,F引出,這是動態(tài)中蘊(yùn)含的靜態(tài)轉(zhuǎn)化,最后將問題轉(zhuǎn)化為兩條運(yùn)動的平行線間的最短距離問題,通過“三線合一”再次轉(zhuǎn)化,得到最短距離與AB的關(guān)系.

變式4:如圖,等腰直角三角形ABC的斜邊BC的中點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,D(6,0),G點(diǎn)是OD上的一個動點(diǎn),已知SΔABD=18,AC平分∠OAD,若P點(diǎn)是一個與A點(diǎn)縱坐標(biāo)相等的動點(diǎn),求PG的最小值.

本題首先根據(jù)P點(diǎn)與A點(diǎn)縱坐標(biāo)相同,連接PA可得PA//OD,由此將PG最值轉(zhuǎn)化為平行線間最短距離,接著,如何求解兩平行線間的距離呢? 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)由等腰直角三角形和角平分線可以推出∠CAD=∠ACB,由“內(nèi)錯角相等,兩直線平行”得BC//AD.教師再引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)平行線間距離處處相等的性質(zhì),進(jìn)行等面積轉(zhuǎn)化,得到SΔABD=SΔAOD,由此結(jié)合D點(diǎn)坐標(biāo)可以求得A到OD的距離,即為平行線AP與OD間的距離.

設(shè)計意圖距離最短問題是初中幾何中常見的幾何類型,這些問題最終都會轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間,線段最短”或“垂線段最短”.特別的,平行線上兩動點(diǎn)之間距離最短問題是其中一類重要的題型,也是本課例的教學(xué)重點(diǎn)之一.本環(huán)節(jié)旨在以多個變式層層遞進(jìn),不斷減少顯性條件,增強(qiáng)綜合性,強(qiáng)化學(xué)生從條件中識別出平行線上動點(diǎn)間距離問題的能力,提高學(xué)生解決此類最值問題的能力.

3 教學(xué)反思

3.1 符合認(rèn)知規(guī)律,突破教學(xué)難點(diǎn)

奧蘇伯爾說:“影響學(xué)習(xí)的唯一的最重要的因素是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么.”本課例中以先行組織者為教學(xué)策略、以鄉(xiāng)村振興為教育背景,進(jìn)行“平行線間的距離”的教學(xué);并以例題為基礎(chǔ),精心編制層層遞進(jìn)的變式,讓學(xué)生鞏固習(xí)得的“新材料”,培養(yǎng)學(xué)生解決最值問題的能力.課例采取的先行組織者策略,以比較性先行組織材料類推新知,關(guān)聯(lián)知識,促進(jìn)學(xué)生的遷移,符合學(xué)生從舊知到新知的認(rèn)知遷移過程,突破了三種距離問題關(guān)系難以明確的教學(xué)難點(diǎn),也克服了學(xué)生長久未接觸距離問題而生疏的認(rèn)知困難.

3.2 增強(qiáng)解決距離最值問題能力

本課例的教學(xué)重點(diǎn)之一是線線距離的最值問題探究,四個變式,不斷減少顯性條件,添加知識點(diǎn),變式2 到變式4 分別利用將軍飲馬、等腰三角形、坐標(biāo)系三個其他知識進(jìn)行轉(zhuǎn)化,最后一個變式更是利用平行線間距離處處相等的性質(zhì)進(jìn)行求解.學(xué)生通過不同條件下尋找平行線上兩動點(diǎn)距離的幾何模式,不斷強(qiáng)化識別該類模式的能力,增強(qiáng)一類最值問題的解題能力,在課后距離最值問題的作業(yè)中完成情況良好,學(xué)生反應(yīng)本節(jié)變式的探究讓其腦海中擁有了平行線上動點(diǎn)距離模式,在課后練習(xí)中能夠從不同幾何背景中較快地尋找該模式解決問題.