抽象函數“三性”的辨析

甘肅省蘭州市秦川鎮蘭州新區高級中學(730311) 沈茂沛

奇偶性,周期性,對稱性是抽象函數的重要性質,是高考的高頻考點,更是能力考點.三性質的相互融合考題讓學生望而卻步,為了讓學生容易理解掌握三性質,并能靈活應用三性質,下面就以奇偶性,周期性,對稱性的原始性質模型(或定義)為問題分析的出發點,進一步分析性質的變式以及性質的相互融合應用.

1 奇偶性,周期性,對稱性的性質模型

奇偶性:?x∈D,都有f(-x)=f(x)?f(x)為偶函數.?x∈D,都有f(-x)=-f(x)?f(x)為奇函數.

周期性:?x∈D,都有f(x+a)=f(x)?f(x)的周期T=a.

對稱性:i.?x∈D,都有f(a+x)=f(a-x)?當任意點(a+x,y)滿足f(x)時,必有點(a-x,y)滿足f(x)?f(x)關于直線x=a對稱.

ii.?x∈D,都有f(a+x)=-f(a-x)?當任意點(a+x,y)滿足f(x)時,必有點(a-x,-y)滿足f(x)?f(x)關于點(a,0)中心對稱.

(其他變式的周期模型,對稱模型都是上述模型的變式.)

2 常見周期性質模型與“x ∈R,f(a-x)=±f(x)”模型的辨析

常見周期性質模型:f(x+a)=f(x)?f(x) 的周期T=a,f(x+a)=-f(x)?f(x) 的周期T=2a.由x∈R,f(a-x)=±f(x)能得到什么? 下面用6 個變式闡述這個模型.

變式1、由x∈R,f(x)=f(2-x)能得到什么?

分析：

是f(x)的對稱軸;或者f(x)=f(2-x)?當任意的點(x,y)滿足y=f(x)時,必有點(2-x,y)滿足y=f(x)?f(x)關于直線x=1 對稱.

變式2、由f(x)=f(2-x),且f(x)在R上的奇函數,又能得到什么?

分析：f(x)=f(2-x),f(x)是奇函數

?f(x)=f(-(x-2))=-f(x+2)

?f(x)=-f(x+2)

?f(x+2)=-f((x+2)+2)=-f(x+4)

?f(x+4)=-f(x+2)=f(x)

?f(x+4)=f((x)

?周期T=4.

變式3、由f(x)=f(2-x),且f(x)在R上的偶函數,又能得到什么?

分析：f(x)=f(2-x),f(x)是偶函數

?f(x+2)=f(2-(x+2))?f(x+2)=f(-x)=f(x)

?周期T=2.

變式4、由x∈R,f(x)=-f(2-x),能得到什么?

分析：由f(x)=-f(2-x)?當任意的點(x,y)滿足y=f(x)時,必有點(2-x,-y)滿足y=f(x)?f(x)關于點(1,0)中心對稱.

變式5、由f(x)=-f(2-x),且f(x)在R上的奇函數,又能得到什么?

分析：由f(x)=-f(2-x),f(x)是奇函數?f(x)=f(x-2)?f(x+2)=f(x)?周期T=2.

變式6、由f(x)=-f(2-x),且f(x)在R上的偶函數,又能得到什么?

分析：由f(x)=-f(2-x),f(x)是偶函數?f(-x)=-f(2+x)?f(x+2)=-f(x)?周期T=4.

感悟總結:模型“x∈R,f(a-x)=±f(x)”可以與函數的對稱軸,對稱中心,周期緊密相關,重點在周期.

3 常見對稱性質模型與“x ∈ R,f(x+a)=±f(x-a)”模型的辨析

常見對稱性質模型:f(a+x)=f(a-x)?x=a是f(x)的對稱軸,f(a+x)=-f(a-x)?(a,0)是f(x)的對稱中心.由x∈R,f(x+a)=±f(x-a)能得到什么? 下面用6 個變式闡述這個模型.

變式1、由x∈R,f(x+2)=f(x-2)能得到什么?

分析：

?周期T=4.

變式2、由f(x+2)=f(x-2),f(x)在R上的奇函數,又能得到什么?

分析：

f(x+2)=f(x-2)?f(x+2)=-f((2-x)

?當(x+2,y) 滿足y=f(x) 時,必有(2-x,-y) 滿足y=f(x)?f(x)關于點(2,0)對稱.

變式3、由f(x+2)=f(2-x),f(x)在R上的偶函數,又能得到什么?

分析：

f(x+2)=f(x-2)?f(x+2)=f((2-x)

?當(x+2,y) 滿足y=f(x) 時,必有點(2-x,y) 滿足y=f(x)?f(x)關于直線x=2 對稱.

變式4、由x∈R,f(x+2)=-f(x-2)能得到什么?

分析：

?周期T=8.

變式5、由f(x+2)=-f(x-2),且f(x)在R上的奇函數,又能得到什么?

分析：由f(x+2)=-f(x-2),f(x) 是奇函數?f(x+2)=f(2-x)?f(x)關于直線x=2 對稱

變式6、由f(x+2)=-f(x-2),且f(x)在R上的偶函數,又能得到什么?

分析：由f(x+2)=-f(x-2),f(x) 是偶函數?f(x+2)=-f(2-x)?f(x)關于點(2,0)中心對稱

感悟總結:模型“x∈R,f(x+a)=±f(x-a)”可以與函數的對稱軸,對稱中心,周期緊密相關,重點在對稱

通過上述兩組“6 個”變式的演繹,模型“x∈R,f(x+a)=±f(x-a)”與模型“x∈R,f(a-x)=±f(x)”將函數的奇偶性,對稱性,周期性三性質的融合做到全面的考查.