例談“因動點產生的最值問題”的求解策略

廣東省江門市新會區睦洲中學(529143) 黃秀煥

初中數學最值問題涉及的情境靈活多變,考查的知識點靈活多樣.其中因動點產生的最值問題,除了題型復雜、知識點多外,更主要是能很好考查一個人運用方程思想、數學建模思想、函數思想、轉化思想、分類討論法、數形結合法等的能力.幾何動點問題主要是以幾何知識為載體,突出了對幾何基本圖形掌握情況的考查、數學邏輯思維能力和數學表達能力的考查.題型上變化多端,常常以數與形、代數計算與幾何證明、相似三角形的判定與性質、畫圖分析與列方程求解、勾股定理與函數、圓和三角相結合的綜合性試題,所以因動點產生的最值問題常常會作為中考的熱點壓軸問題.本人結合授課經驗及近年來的中考試題,圍繞不同題型總結幾種常用的求“因動點產生的最值問題”的求解方法,給學生留下深刻印象,從而使數學課堂更為積極有效,學生也能深入探究、觸類旁通、舉一反三,體驗探究帶來的快樂.

1 單動點引出的求解線段和最小值

例1 如圖1,正方形ABCD的面積為12,ΔABE是等邊三角形,點E在正方形ABCD內,在對角線AC上有一點P,使PD+PE的和最小,則這個最小值是____.

圖1

解析:根據正方形的對稱性,連接BP,如圖1’,得PD=PB,∴PD+PE=PB+PE;又∵正方形ABCD的面積為12,∴AB=∵ΔABE是等邊三角形,∴BE=當P點運動到P′點位置的時候,如圖1’’,即PB+PE=BE,此時,PD+PE的值最小,最小值=BE=

變式1:如圖2,AB是⊙O的直徑,AB=10,點C在⊙O上,∠CAB=30°,點D為弧BC的中點,點P在直徑AB上運動,則PC+PD的最小值是____.

圖2

解析:根據圓的軸對稱性:取點D關于AB的對稱點D′,如圖2’,得PD=PD′;又因為在同圓或等圓中,等弧所對的圓心角相等求出∠COD′=90°,連接CD′交AB于P′,連接P′D′,當P點運動到P′點位置時,如圖2’’,此時PC+PD=CD′,∴PC+PD的最小值=

變式2:如圖3,在ΔABC中,AB=5,AC=4,sinA=,BD⊥AC交AC于點D.點P為線段BD上的動點,則PC+PB的最小值為____.

圖3

圖4

2 兩動點引出的求線段和最小值

例2 如圖5,已知正方形ABCD的邊長為2,點E,F分別是BC,CD邊上的動點,且滿足BE=CF.則AE+AF的最小值為____.

圖5

解析:連接DE,如圖5’,根據題意簡單可證AF=DE,在AB的延長線上取A點關于BC的對稱點G點,則AE=GE,連接EG、DG,當點E運動到DG與BC的相交位置時,如圖5’’,AE+AF=DE+EG=DG,∵正方形ABCD的邊長為2,∴AD=2,AG=4,即AE+AF的最小值

例3 如圖6,∠AOB=45°,角內有點P,P0=10,在角的兩邊上兩點Q,R(均不同于O點),則ΔPQR的周長的最小值為____.

圖6

解析:動線段(或定點)應居于動點軌跡的兩側,本題的三條動線段PQ、PR、QR在OA、OB的內側.所以本題的關鍵是把定線段變換到動點軌跡的兩側,從而把三條動線段PQ、PR、QR轉化為連接兩點之間的路徑.如圖6’,把點P分別沿OA、OB作對稱點P′′、P′,ΔPQR的周長轉化為P′′Q′+Q′R′+R′P′,這三條線段的和正是連接兩個定點P′′、P′之間的路徑,從而轉化為P′′、P′兩點之間的最短距徑P′′P′,∵軸對稱,∠AOB=45°,∴∠P′′PP′=90°,OP′=OP=10,∴P′′P′=即ΔPQR的周長最小值為

3 折疊引出的求解線段的最小值

例4 如圖7,在矩形ABCD中,E為AB的中點,P為BC邊上的任意一點,把ΔPBE沿PE折疊,得到ΔPFE,連接CF.若AB=10,BC=12,則CF的最小值為____.

圖7

解析:由題意可知:∵ΔPBE沿PE折疊,∴EF=BE=AB=5;隨著不同的折疊,F點的軌跡是以E點為圓心,BE為半徑的圓中的一部分,如圖7’;所以求CF的最小值,立刻被轉化為圓外一點跟圓上的點的距離中,最小距離是多少;連接CE交⊙E于F′,當點F與點F′重合時,如圖7’’,此時CF的值最小,CF=CE-EF=

變式1:如圖8,在矩形ABCD中,已知AB=3,BC=4,點P是BC邊上一動點(點P不與B,C重合),連接AP,作點B關于直線AP的對稱點M,則線段MC的最小值為( ).

圖8

解析:本題M點的軌跡是以A點為圓心,AB為半徑的圓的一部分,∴MC最小=AC-AM=故選A.

變式2:如圖9,拋物線y=-x2+x+6交x軸于A、B兩點(A在B的左側),交y軸于點C,點D是線段AC的中點,點P是線段AB上一個動點,ΔAPD沿DP折疊得ΔA′PD,則線段A′B的最小值是____.

圖9

解析:這是一道二次函數中的三角形折疊問題,要解決這個問題,我們先利用二次函數的解析式求出函數與坐標軸的交點坐標A(-2,0),B(3,0),C(0,6),∴AB=5,AC=通過折疊可知,A′點的運動軌跡是以D點為圓心,AD的長為半徑的圓的一部分,如圖9’,過點D作DM⊥AB于M,連接BD交⊙D于K,根據三角形的中位線定理,DM==3,OM=OA=1,∴BM=4,∴BD=5,當A′點與K點重合,如圖9’’,此時,A′B的值最小,A′B=BD-DA′=5-

4 通過動點軌跡,找到特殊位置,求解線段最小值

例5 如圖10,有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑,一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠,等待與老鼠距離最小時撲捉.把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內的線或點,模型如圖,∠ABC=90°,點M,N分別在射線BA,BC上,MN長度始終保持不變,MN=4,E為MN的中點,點D到BA,BC的距離分別為4 和2.在此滑動過程中,貓與老鼠的距離DE的最小值為____.

圖10

解析:根據題意點E的軌跡是在以點B為圓心,BE為半徑的是圓上;連接BD交⊙B于E′(如圖10’),當E點與E′重合時(如圖10’’),DE的值最小,DE最小值=BD-BE=

例6 如圖11,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點E是AD上的動點(不與端點重合),在矩形ABCD內找點F,使得EF⊥AD,且滿足AF2=AE·AD,則線段BF的最小值是____.

圖11

解析:根據題意連接DF,∵AF2=AE·AD,∠EAF=∠FAD,∴ΔAEF～ΔAFD,∴∠AFD=∠AEF=90°,∴隨著E點的運動,點F的軌跡是以AD為直徑的半圓O上,如圖11’,點O是AD的中點,連接OB交⊙O于F′,當點F運動到點F′的位置時,如圖11’’,此時BF的值最小,BF=OB-OF=

例7 如圖12,在邊長為6 的正方形ABCD中,P是邊AD的中點,E是邊AB上的一個動點(不與A重合),以線段AE為邊的正方形內作等邊ΔAEF,M是邊EF的中點,連接PM,則在點E運動過程中,PM的最小值是____.

圖12

解析:在等邊ΔAEF中,M是邊EF的中點,根據等腰三角形的三線合一定理,可以求出∠MAE=30°,隨著E點的運動,M點的運動軌跡是M點在射線AN上,所以求PM的最小值被轉化為求直線外一點到直線的距離;如圖12’,過點P作PM′⊥AN于M′,當M點與M′點重合時,如圖12’’,此時PM的值最小.求PM的值就被轉化為:在RtΔAPM中,利用銳角三角函數或者勾股定理都可以求出PM=

以上是我初中幾何教學中的幾點粗見.總之,我們要根據情況仔細分析,要大膽嘗試、善于總結、勇于思考方能巧用輔助線,妙解幾何題.