深度挖掘試題的價值
——以廣東省2024屆高考調研測試第9題為例

李 虎

(珠海市第一中學平沙校區,廣東 珠海 519055)

高考,以情境為載體,體現基礎性、應用性、綜合性和創新性.對于綜合性試題的解決,需要知識、方法和能力的綜合.只有做到勤思考、深思考,才能最大限度挖掘問題情境的價值,達到學科育人的效果.下面擷取廣東省2024屆普通高中畢業班第一次調研考試物理試題第9題進行說明.

1 對題目的解析與反思

例題.如圖1所示,O為兩個同心圓的圓心,大圓的兩條相互垂直的直徑兩端分別固定著等量的負電荷和等量的正電荷,并與小圓交于a、b、c、d4個點,則

圖1 示意圖

(A)a、b兩點的電勢大小相等.

(B)O點的電場強度為0.

(C)a、c兩點的場強方向相同.

(D)b、d兩點的場強大小相等.

解析:電場為4個點電荷的電場的疊加,特殊性在于4個點電荷的電荷量大小相等,兩個帶正電、兩個帶負電,且分布具有對稱性.根據解題的需要,可以分解為兩對等量同種點電荷或等量異種點電荷的電場.

對于選項(A),疊加電場可分解為左上方、右下方兩對等量異種點電荷和左下方、右上方兩對等量異種點電荷.根據“等量異種點電荷連線的中垂線為等勢面且電勢為0”可以把電場空間分成4個區域,如圖2所示,標記為4個象限,象限①內電勢為正,象限②內電勢為負,象限③內電勢為正,象限④內電勢為負.根據電勢是標量且正負表示高低的屬性,可以判斷出:a、b兩點的電勢一負一正,電勢大小不可能相等,故選項(A)錯誤.

圖2 示意圖

對于選項(B)(C)(D),疊加電場可分解為豎直方向上的一對等量正點電荷電場和水平方向上一對等量負點電荷的電場的疊加.根據“等量同種點電荷連線中點的場強為0”可以判斷出:O點的電場強度為0,故選項(B)正確.對于豎直方向上的一對等量正點電荷的電場中,a點的場強水平向左,b點的場強豎直向下,c點的場強水平向右,d點的場強豎直向上;對于水平方向上的一對等量負點電荷的電場中,a點的場強水平向左,b點的場強豎直向下,c點的場強水平向右,d點的場強豎直向上.根據場強疊加原理可知,a點的場強水平向左,c點的場強水平向右,a、c兩點的場強方向相反,故選項(C)錯誤.考慮對稱性,可知b、d兩點的場強雖然方向相反但是大小相等,故選項(D)正確.

反思:通過定性分析,問題基本得到解決,但缺失定量推理論證又覺得意猶未盡!不禁遐想:能否定量推導出a、b、c、d4個點的場強大小和電勢的表達式呢?對于高考復習,不僅要綜合學科內和學科間的知識,也要進行適當的拓展,在解決問題的過程中生成新知識.

2 基于問題解決的引申拓展教學設計

拓展:問題驅動思考,通過設計一系列問題,將學生的思維引向深處.

2.1 定量探究場強

任務1:設大圓的半徑為R,小圓的半徑為r,請推導a、b、c、d各點的場強大小的表達式并指明方向.

如圖3所示,基于點電荷場強公式和矢量求和推導過程如下

圖3 示意圖

小結:a、b、c、d場強大小相等.

2.2 定量探究電勢

任務2:設大圓的半徑為R,小圓的半徑為r,請推導a、b、c、d各點的電勢的表達式.

在新課程高中物理選擇性必修1中,學生已經建立了電磁學中諸如電場強度、電勢能、電勢等基本概念和點電荷的場強公式等基本公式,也掌握了電場疊加原理、靜電力做功與電勢能變化關系等基本原理,但對點電荷的電勢公式及電勢疊加原理卻少有介紹.有種觀點認為,高考不要求,因此在高三復習中沒有引入的必要性.但是筆者認為,其作為電磁學理論的一部分,有必要在高三物理總復習中向學生提及,引導學生進行討論研究,對將來學習理工科的大學課程將會起到指引的作用.基于學生的已有知識,借助一定的方法,合乎邏輯地推導出點電荷的電勢公式.教學設計如下.

(1) 高三學生已具備的相關知識.

① 靜電力做功的特點:靜電力做功與路徑無關,只與起點和終點的位置有關.

② 靜電力做功與電勢能變化的關系:靜電力做的功等于電勢能的減少量.

WAB=-ΔEp=EpA-EpB.

③ 電勢能的定義:電荷在某點的電勢能,等于把它從這點移動到零電勢能位置時靜電力做的功.

⑤ 零電勢點的選取:在物理學的理論研究中常取離場源電荷無窮遠處的電勢為0.

⑥ 微積分初步:高三學生已具備了微積分的相關知識,會應用積分計算變力做功.

(2) 推導點電荷的電勢公式.

① 構建模型:如圖4所示,在場源電荷Q的電場中,相距r的位置引入一試探電荷q.

2000年以來，黔東南州積極貫徹國家關于鼓勵民間資本參與水土保持生態建設的相關政策及精神，引導、扶持、鼓勵民間資本參與開發性治理，加速了項目區水土流失、石漠化治理速度及群眾脫貧致富步伐，較好地破解了地方財力不足對水土保持生態建設制約的難題。2000年以來，黔東南州民間投資43 454.13萬元，治理水土流失面積174.67km2，分別占全州水土流失治理總投資和總面積的27.58%、5.80%。

圖4 電荷分布示意圖

② 推理論證:將試探電荷從該點沿徑向移動到無窮遠處,電場力做功(變力做功,力對位移的積分)

③ 電勢疊加原理.

由場強疊加原理不難證明電勢的疊加原理:n個點電荷在某點產生的電勢等于每個點電荷單獨存在時在該點產生的電勢的代數和.

下面回到任務2的解決中來:

小結:a與c電勢相同,b與d電勢相同.

3 遷移應用

檢測學生對新知識的掌握情況,必須要經歷一個情境化和去情境化的過程,要在具體的問題情境中進行遷移訓練.

應用1:如圖5所示,固定于同一條豎直線上的A、B是兩個帶等量異種電荷的點電荷,電荷量分別為+Q和-Q,A、B相距為2d.MN是豎直放置的光滑絕緣細桿,另有一個穿過細桿的帶電小球P,質量為m、電荷量為+q(可視為點電荷,不影響電場的分布).現將小球P從與點電荷A等高的C處由靜止開始釋放,小球P向下運動到距C點距離為d的O點時,速度為v.已知MN與A、B之間的距離為d,靜電力常量為k,重力加速度為g.可知

圖5 示意圖

(B) 由等量異種電荷電場分布的特點知UCO=UDO.

解析:對小球P向下運動到距C點距離為d的O點過程,由動能定理,得

(1)

解得

(2)

選項(A)錯誤.

由點電荷的電勢公式及電勢疊加原理,得

(3)

(4)

可知

φC=-φD.

(5)

由電勢差與電勢的關系,得

UCO=UOD=-UDO.

(6)

選項(B)錯誤.

在O點,對小球P由牛頓第二定律,得

(7)

解得

(8)

選項(C)錯誤.

對小球P從O點運動到D點過程,由動能定理,得

(9)

聯立式(1)(6)(9)解得

(10)

選項(D)正確.

點評:該題是某高三一輪復習資料中的例題,如果不介紹點電荷的電勢公式和電勢疊加原理,那么學生將會對選項(B)的理解產生障礙.實踐證明,高三學生是可以順利接受并理解點電荷的電勢公式和電勢疊加原理的,對提高學生的分析綜合能力是大有裨益的,對促進學生思維的發展和能力的提高也是很有幫助的.在未來的高考中,這些與大學普通物理課程聯系緊密的知識很有可能以信息題的形式出現在試卷上,如果學生平時沒有接受過類似的訓練,在高考中面臨陌生的物理情景而產生的心理壓力是巨大的.反之,如果學生備考中接受過這樣的訓練,那么便能游刃有余,信手拈來.

圖6 示意圖

圖7 電荷分布圖

在問題解決中,對于動態生成的問題,基于科學方法重新設計問題鏈,以問題驅動的形式,既生成了新知識,又促進了問題的解決,不知不覺中經歷了一次思維方法的訓練,更掌握了一種處理物理問題的方法.唯有如此,試題的價值才能得以凸顯,才能實現從“解題”向“解決問題”轉變的考試目標.