從2023年高考談滑塊木板模型問題備考建議
——以2023年山東高考卷壓軸題為例

王金兵

(江蘇省南通市天星湖中學,江蘇 南通 226010)

滑塊-木板模型涉及多個物體多個過程,知識綜合性強,涉及相對運動、臨界力、極值問題、摩擦力的分析、摩擦生熱、動量以及往返運動,是高考物理的難點,有助于實現對人才的選拔,體現試卷的區分度,頻現于高考試卷中.分析2023年高考試卷發現有5省在壓軸題中考了此模型,考查了力與運動,功與能綜合分析能力,對動量守恒定律、功能關系、能量守恒定律的應用做了較全面的考查.本文對2023年5省高考壓軸題中滑塊-木板模型的考查情境進行分析,以2023年山東卷壓軸題為例進行解析,歸類總結,拓展提升,并對后期高三復習提出啟示.

1 2023年滑塊-木板模型高考考情分析

對2023年高考試卷分析發現,全國有5個省份的試卷對滑塊-木板模型進行了考查,分別是山東卷18題、遼寧卷15題、湖南卷15題、海南卷18題、全國乙卷12題.

共同之處:都考查了力學的牛頓運動規律、能量規律(動能定理或能量守恒)、動量規律(動量守恒定律或動量定理),都涉及到多過程運動、碰撞等.

不同之處:從模型建構上分析,海南、湖南、山東3省卷模型是圓弧,遼寧、山東卷直接運用板塊(遼寧卷是板塊上下疊放、山東卷是平行放置).而全國乙卷相對其他4卷有較大的不同:將水平運動改為豎直運動,充分體現了命題的創新意圖.海南、遼寧、山東3卷都在右側設置擋板.詳情如表1所示.

表1 2023年全國5套高考卷中滑塊-木板模型考查情況

2 2023年滑塊木板模型例題分析

例1(2023年山東高考物理卷第18題).如圖1所示,物塊A和木板B置于水平地面上,固定光滑弧形軌道末端與B的上表面所在平面相切,豎直擋板P固定在地面上.作用在A上的水平外力使A與B以相同速度v0向右做勻速直線運動.當B的左端經過軌道末端時,從弧形軌道某處無初速度下滑的滑塊C恰好到達最低點,并以水平速度v滑上B的上表面,同時撤掉外力,此時B右端與P板的距離為s.已知v0=1 m/s,v=4 m/s,mA=mC=1 kg,mB=2 kg,A與地面間無摩擦,B與地面間動摩擦因數μ1=0.1,C與B間動摩擦因數μ2=0.5,B足夠長,使得C不會從B上滑下.B與P、A的碰撞均為彈性碰撞,不計碰撞時間,取重力加速度大小g=10 m/s2.

圖1 示意圖

(1) 求C下滑的高度H;

(2) 與P碰撞前,若B與C能達到共速,且A、B未發生碰撞,求s的范圍;

(3) 若s=0.48 m,求B與P碰撞前,摩擦力對C做的功W;

(4) 若s=0.48 m,自C滑上B開始至A、B、C 3個物體都達到平衡狀態,求這3個物體總動量的變化量Δp的大小.

設計意圖:本題通過創設滑塊-木板情境來考查動能定理、牛頓第二定律、運動學公式、彈性碰撞、動量守恒等規律,是一道力學綜合題.過程多、對象多、情境多,有利于考查學生的思維能力,達到選拔人才的目的,提高試卷的區分度.通過對物體的下滑過程分析來考查動能定理.通過滑塊C在木板B上的滑動來考查牛頓運動定律和運動學公式.通過碰撞之后B與A的相互作用,來考查動量守恒、彈性碰撞.需要考生對每個階段的過程認真分析,弄清受力情況以及相對運動,各個突破,分析清楚,每個小過程難度并不大,能夠有效對學生的思維能力、情境分析能力進行考查,從而實現對考生物理學科關鍵能力的考查目標,提升核心素養.

分析:(1) 物塊C下滑過程,根據動能定理求解下滑高度.

(2) 與P碰撞前,若B與C能達到共速,且A、B未發生碰撞,則s最小.B與C剛好共速瞬間恰好與P碰撞,s最大.A、B發生碰撞瞬間,B與P發生碰撞;滑塊C滑上B時,C的速度大于B的速度,C做勻減速直線運動,B做勻加速直線運動,B、C共速后,一起做勻減速直線運動,根據牛頓第二定律求解加速度,根據運動學公式列式求解即可.

(3) B與P碰撞時,滑塊C與木板B沒有共速,根據運動學公式求解時間和C的位移,根據做功公式求解摩擦力對C做功.

(4) B與P碰撞前,B做勻加速運動,C做勻減速運動.發生彈性碰撞后,B以原速率反彈,B向左做勻減速運動,C向右做勻加速運動,B與A做相向運動.A與B相遇時發生彈性碰撞,根據動量守恒定律和機械能守恒定律求解碰撞后A和B的速度,進而判斷A、B、C的運動情況,當3個物體都達到平衡狀態時,A做勻速直線運動,B和C靜止,根據動量公式列式求解即可.

(2) 滑塊C剛滑上B時,C受到水平向左的摩擦力,f2=μ2mCg.

木板B受到C的摩擦力水平向右,

f2′=μ2mCg.

B受到地面的摩擦力水平向左,

f1=μ1(mC+mB)g.

所以滑塊C的加速度為

木板B的加速度為

設經過時間t1,B和C共速,有

4-5×t1=1+1×t1,代入數據解得t1=0.5 s.

木板B的位移為

共同的速度為

v共1=(1+1×0.5)m/s=1.5 m/s.

此后B和C共同減速,加速度大小為

此時B的位移為

綜上可知滿足條件的s范圍為

0.625 m≤s≤1.707 m.

滑塊C在這段時間的位移為

所以摩擦力對C做的功為

W=-f2sC=-μ2mCgsC=-6 J.

(4) 因為木板B足夠長,最后的狀態一定會是C與B靜止,物塊A向左勻速運動.木板B向右運動0.48 m時,有vB0=(1+1×0.4) m/s=1.4 m/s,vC0=(4-5×0.4) m/s=2 m/s,sA=(1×0.4) m=0.4 m.

此時A、B之間的距離為

s=0.48 m-0.4 m=0.08 m.

整個過程動量的變化量為Δp=p末-p初=-9.02 kg·m/s,即大小為9.02 kg·m/s.

3.1 拉力水平作用于木塊或木板

(1) 水平拉力作用在滑塊上.

如圖2所示,水平拉力作用在滑塊上,共同靜止的條件為F<μ2(m1+m2)g,Ff1=F.

圖2 示意圖

共同加速條件為

(2)水平拉力作用在木板上.

如圖3所示,水平拉力作用在木板上,共同靜止的條件為F<μ2(m1+m2)g,Ff1=0.

圖3 示意圖

共同加速條件為a2≤a1max,m1最大加速度為a1max=μ1g.

μ2(m1+m2)g

分離條件為a2>a1max=μ1g,即

F>(μ1+μ2)(m1+m2)g.

3.2 木塊有較大的初速度帶著木板運動(無水平外力)

情形1(如圖4所示):μ2(m1+m2)g≤μ1m1g.

圖4 示意圖

情形2(如圖5所示):μ2(m1+m2)g>μ1m1g.

圖5 示意圖

情境1:木板不動,m1以加速度a1=μ1g做勻減速直線運動,直到速度減為0.

3.3 不同非水平外力沿不同方向作用在木板或滑塊上

此類問題涉及到臨界問題,需要列出拉力F的函數表達式,然后運用數學知識討論F的極值(設木板剛好相對地面滑動時的臨界拉力為F1,木板與滑塊剛好相對運動時的臨界拉力為F2).當拉力F≤F1時,系統處于靜止狀態;當拉力滿足條件F1F2時,滑塊和木板發生了相對運動,且兩者均做加速運動,物塊加速度增加得更快.因篇幅所限,此處不再贅述.

4.1 科學建模 選好對象 用好規律

如圖6所示,先通過閱讀題目情境進行模型建構,確定滑塊-木板模型.對滑塊和木板分別進行受力分析,明確它們的運動狀態.判斷兩者是否存在相對運動,從運動學條件和力學條件兩個方面考慮滑塊和木板發生相對運動的臨界條件.運動學方面,如果兩者不能相對靜止或者不能具有共同的加速度,則發生相對運動.力學方面,用整體法算出共同加速度,然后對其中一個物體進行隔離算出摩擦力,比較所求的摩擦力和最大靜摩擦力的關系.如果摩擦力大于最大靜摩擦力,則兩者發生相對滑動,否則兩者相對靜止.依據牛頓第二定律,在受力分析的前提下,求出各自的加速度.從位移關系或者速度關系方面對滑塊和木板進行分析,列出方程,聯立方程組求解,求出滑塊和木板相對地面的位移,畫出位移關系圖.假如兩者能夠達到共同速度,根據運動學公式或者動量觀點求出時間,分析滑塊離開木板的臨界條件,當木板的長度一定時,滑塊恰好到達木板的邊緣,且兩者剛好相對靜止,這是滑塊離開木板的臨界條件.

圖6 滑塊-木板模型建構

4.2 整合試題 變式拓展 提升效率

滑塊-木板模型可以從多方面進行變式拓展,例如運動平面的拓展、運動對象的拓展、碰撞方向方面的拓展.在運動平面方面:2023年山東卷壓軸題是在水平面上的物塊、木板之間的相互作用問題;2023年湖南卷壓軸題是在圓弧上滑塊的運動問題,涉及到動量守恒問題以及重力勢能的變化,另外小球在凹槽所在的橢圓上,又考查了數學知識中的橢圓方程,體現學科跨界融合,有利于選拔理科思維能力強的人才.運動對象方面:山東卷壓軸題是兩個滑塊與木板之間的作用,可以增加彈簧,討論滑塊與彈簧的相互作用;2023年遼寧卷第15題對此進行了考查,增加了對彈簧壓縮,從而涉及到彈性勢能問題以及彈簧彈力變化問題.碰撞方向方面:山東卷是在水平方向上,可以拓展到豎直方向的相互作用;2023全國乙卷12題就研究在豎直方向的碰撞問題,情境讓人耳目一新,但實質仍然是滑塊-木板模型.從2023年考查的情況分析,教師可在高三復習時對典型試題進行有效整合,巧妙進行變式訓練,多方面進行拓展.通過一種情境創設相關情境的一系列問題,盡可能多地進行新情境的創設,讓考生在拿到高考卷時不會因為新情境的生疏而怯場.

4.3 突破難點 弄清關系 水到渠成

難點在于首先要判斷滑塊和木板之間是否存在相對運動.可以先假設滑塊和木板相對靜止,用整體法和隔離法求出加速度和它們之間的靜摩擦力;然后把靜摩擦力與最大靜摩擦力進行比較,如果所求的摩擦力小于或等于最大靜摩擦力,那么滑塊和木板將相對靜止,否則滑塊和木板就會有相對運動.相對靜止的兩個物體具有相同的速度,根據木板的長度以及所求的滑塊和木板的位移關系,畫出位移情景圖.必要時可以借助v-t圖像進行輔助判斷.滑塊和木板兩者的速度相等,是發生運動狀態變化的重要臨界條件.滑塊-木板模型是物理學中的重要模型之一.兩者的動摩擦因數、質量、位移等關系將影響兩者的運動情況.另外所受的外力大小與方向、作用的對象等多個因素將影響運動情境.在不同的條件下,滑塊-木板運動的狀態可能不同.在復習時必須要在弄清題目的基礎上再下筆,磨刀不誤砍柴工.把握以上關鍵要點才能水到渠成.

滑塊木板模型是高考命題的熱點問題,也是高三平時教學中的難點和重點.在高三復習時,要引導學生學會分析兩者速度關系、位移關系.抓好臨界力,運用數學上的極值問題進行相關討論.畫出有關位移圖像和速度圖像來輔助解題,把握好相關的技巧與方法,達到事半功倍的效果.