變限積分函數導數運算的應用研究

祝 福

(商丘職業技術學院 基礎部,河南 商丘 476100)

在高等數學教材中,變限積分函數是牛頓-萊布尼茲公式的理論基礎,是求導和極限問題中的高頻知識點,也是研究生入學考試中經常考查的函數之一.用變限積分定義函數是一種全新的表示函數的方法,變限積分函數是我們表示函數的一種新的重要工具[1].然而,大學教材在變限積分的應用方面論述很少或分散在教材中不同部分,使學生無法一窺全貌,從而無法深刻理解并最終消化掌握這一重要函數.本文通過舉例把變限積分函數的求導問題進行總結和歸納以解決上述問題.

證明對于[a,b]上任一確定的點x,x+Δx∈[a,b]

再由x的任意性可知:Φ(x)是f(x)在[a,b]上的一個原函數.

此定理聯通了導數和定積分這兩個從表面上看似不相干的概念之間的內在聯系,同時也說明了連續函數必有原函數這一基本結論,并以積分的形式給出了f(x)的一個原函數.

該定理還可以做一些推廣,具體結論如下:

1 變限積分函數的3種變形

學習高等數學課程以及后期學習概率論課程時,尤其在實際解題過程中,甚至考研考博時還會遇到這個情況,即變限積分函數的變形,如果仍單純按照基本定理和推論去解題則會得出錯誤的結果.對變上限積分函數求導時,首先要弄清是對哪個變量求導,把變上限積分函數的自變量與積分變量區分開來.變上限函數的自變量是上限變量,因此對變上限函數的求導,就是對上限變量的求導,與積分變量無關,但有時被積表達式內含有上限變量的情況,應把上限變量從被積表達式內提到積分號外,然后再進行求導[1].常見的類型有以下3種,即積分號下含有x的3種求導處理方式:

變形1被積函數中含有x和積分變量t的函數的乘積的形式,因為積分變量為t,此中的x可視為常數,可以提到積分號外面,利用函數的乘法求導公式進行計算,變形公式如下:

變形2被積函數中含有關于x的函數和關于積分變量t的函數的和差,可以利用積分的性質,轉化為兩個積分的和或差的形式,再利用變形1式進行計算,變形公式如下:

變形3被積函數中x和t不能直接分離的,一般可以利用第二換元法,注意換元時上下限也要進行相應的變換,變形公式如下:

綜上,不僅有了基本的定理和求導計算公式,而且對于應用更加廣泛的3種變形的情況也清楚了其求導的原理,這對于我們在利用變形積分函數做求導運算時提供了更加便利的工具,也會使得計算更加簡便、快捷.

2 變限積分函數變形求導公式的應用

分析：積分的上下限均是函數變量,滿足推論3的條件.

解：由推論3可得:

解：由洛必達法則,分子分母分別求導可得:

分析：由所給的方程可知,左邊是變上限積分函數,利用推論1可以求出其導函數.右邊的變限積分函數里同時含有x,t,利用變形1可得其導函數.

又對方程化簡變形可得,

方程兩端分別對x求導,利用前述結論可得:

(1)

分析：由被積函數的形式可知其符合變形3的情形,可利用換元的方法,將其轉換為變形2的情形,由此可以得出結果[5].

解：由條件可令u=2x-t,則可得t=2x-u,dt=-du,此時原式左邊積分可變為:

整理可得:

所以,當x=1時,得:

分析：此為含有變限函數的極限問題,一般可以利用洛必達法則進行處理.通過觀察,我們可以采用變形3先換元,再用洛必達法則進行計算.

3 結論

通過對變限積分函數求導的幾種題型的分析,不難發現,變現積分函數是一類及其重要的特殊函數,在應用上具有很強的綜合性.該知識點把高等數學中的有關微積分的許多知識進行了有效鏈接,從而更好地幫助學生掌握有關極限的計算和導數定義、隱函數求導及積分的性質等知識點.這對學生學習后續的諸如概率統計及考研、考博等都有一定的幫助.在遇到此類問題時,可以從變限積分函數的角度去考慮,并通過引入變限積分函數這一重要工具,從而可以更好地幫助我們解決此類問題.