基于多導體回路法的AT 供電方式長回路電容計算方法研究

鄧云川，魯小兵

0 引言

電荷是空間電場產生的源，電流（移動電荷）則是空間磁場產生的根本，多導體傳輸線系統空間電場描述的完備性和準確性取決于是否能夠準確反映空間諸多電荷中任一電荷位置和大小變化對電場描述結果的影響[1-3]。目前普遍采用以參考導體為基礎進行多導體傳輸線系統空間電場描述的方法，參考導體和主導體的選擇具有一定的隨機性，基本空間電場單元缺乏與電荷相聯系的嚴格物理意義，因此，對于基本空間電場單元的電場描述并不能直接反映空間諸多電荷中任一電荷位置和大小變化的影響，降低了多導體傳輸線系統空間電場描述的完備性和準確性。

為了實現諸如牽引供電系統的多導體傳輸線系統空間電場的準確描述，本文提出將復雜多導體傳輸線系統中的導體按照傳輸和回流功能進行分類，再由參與傳輸和回流的不同導體兩兩構建回路，以物理意義上與電荷唯一對應的回路作為基本空間電場單元，開展多導體傳輸線系統空間電場描述，即多導體回路法。

在電源系統提供穩定電勢且不考慮外部其他系統在本系統中產生電磁場的情況下，多導體傳輸線系統中各回路電荷具有唯一性，參與構成回路的兩導體（傳輸導體和回流導體）所承載的回路電荷相等、極性相反。需強調的是，回路電荷與導體上總電荷并不是一個概念，一個導體可以參與多個回路的構成，因此，導體上總電荷等于參與構建回路的電荷之和。以回路為基本單元，能夠實現空間電場描述的完備性和準確性。多導體回路法同樣適用于多導體傳輸線系統空間磁場分析，基于多導體回路法，本文對牽引網阻抗計算、空間電磁場分布、牽引網綜合載流能力、鋼軌電位和電流分布、帶回流線直接供電方式綜合電容計算等進行深入研究。電容作為電能傳輸系統重要的電氣參數，是電能傳輸系統空間電場描述的基本參數，也是開展系統暫態過電壓、諧振等問題分析和研究的基礎[4-9]。本文在前期工作基礎上，分別從電流方向角度出發、以接觸網為傳輸導體和以負荷電流角度出發、以接觸網及正饋線為傳輸導體2 種不同方案，構建AT供電方式回路，列寫各回路自電位系數和互電位系數方程，進而得出基于多導體回路法的電位系數矩陣，并根據長回路電位關系完成電荷分布精確計算，進而推導出AT 供電方式長回路等效電容。

1 AT 供電方式

1.1 AT 供電方式牽引網結構

AT 供電方式（自耦變壓器供電方式）牽引網結構如圖1 所示。自耦變壓器（Auto-Transformer）是一種電力變壓器，AT 供電方式在供電區間內通常每間隔10～15 km 設置1 臺自耦變壓器，將其中性點與鋼軌相連且并聯于牽引網中，使得牽引網的供電電壓提高1 倍，可有效提高供電能力，減少沿線設置的牽引變電所數量，減少電氣化鐵路外部電源的工程投資。

圖1 AT 供電方式的牽引網結構

AT 供電方式下的導體網絡由與電力機車受電弓接觸的T 線（包括接觸線JW 和承力索CW）、FW 線（正饋線）、R（鋼軌）以及與R 直接聯系的E（大地）、PW 線（保護線）、EW 線（貫通綜合地線）等導體構成，其中T 線與牽引變壓器和區間自耦變壓器的正極性端子連接，FW 線與牽引變壓器和區間自耦變壓器的負極性端子連接，R、E、PW 線、EW 線等相互連接并與牽引變壓器和區間自耦變壓器的N（中性點）連接。AT 供電方式下由于回路中T線和FW線的牽引負荷電流大小基本相等且方向相反，因而減小對沿線通信線路的干擾，具有較好的防干擾效果。設置PW 線的目的是避免將接觸網支柱的接地裝置直接與R 相連，從而提高信號系統軌道電路工作的可靠性，同時由于PW線與R 并聯，對經R 回流的電流起到了分流作用，因此可有效抑制鋼軌電位。為了緩解因電力機車過電分相時短時斷電而導致減速，減少牽引網電壓損失和電能損失，減小線路阻抗延長供電距離，降低對鐵路沿線通信線路的干擾，我國高速及重載鐵路牽引供電系統大量采用AT 供電方式。需要進一步說明的是，我國高速鐵路還設置了EW 線（貫通綜合地線），為高速鐵路各個系統提供了一個統一的“地”，用以實現各系統的等電位，以解決各系統之間的電磁兼容問題。

1.2 AT 供電方式回路組成

對于多導體傳輸線系統，其傳輸導體和回流導體可分別由多個導體構成。如圖1 所示，對于牽引供電系統AT 供電方式，存在3 類導體：由接觸線JW 和承力索CW 構成的接觸網導體，由正饋線FW構成的磁場導體和由鋼軌R、大地E、保護線PW、貫通綜合地線EW 構成的電場導體。通常由于接觸網電流與電場導體和磁場導體電流方向相反，因此從電流方向考慮，可以以接觸網為傳輸導體，以鋼軌R、大地E、保護線PW、貫通綜合地線EW 為電場回流導體，正饋線為磁場轉換回流導體構建相應回路；當然，由于接觸網電流與正饋線電流數量之和等于負荷電流，因此，從負荷角度考慮，也可以以接觸網和正饋線這兩類導體為傳輸導體，以鋼軌R、大地E、保護線PW、貫通綜合地線EW 為回流導體，構建相應回路，開展相關研究和計算。此時，需要特別強調和注意的是，接觸網電流和正饋線電流方向相反。

1.3 AT 供電方式長回路和段中回路

對于AT 供電方式，通常稱相鄰2 臺AT 變壓器之間的區段為一個AT 段。圖2 所示為負荷位于AT 牽引供電系統第2 個AT 段內某一位置處的電流分布。圖2 中，系統由2 個AT 段構成（其中1 個AT段由牽引變壓器和區間AT 所構成），當牽引負荷位于第2 個AT 段時，在簡化分析和計算模型中認為第1 個AT 段中的電流僅在接觸網和正饋線中流動，通常稱該AT 段為長回路。但實際情況是：此時電場導體中仍然存在部分電流，這主要由傳輸導體與磁場轉換導體以電場回流導體為軸心空間位置的不對稱、傳輸導體和磁場回流導體參數不一致造成。對于牽引負荷所處的第2 個AT 段，從端口網絡的角度出發，牽引負荷所在位置為一個雙端口雙邊供電網絡，對牽引負荷進行供電的電源來自前后兩個方向。對于長回路和段中回路中的電流分布，本文給出簡化計算式：

圖2 負荷位于第2 個AT 段內某一位置處電流分布

式中：IT為第1 個AT 段長回路電流；IT1為第2 個AT 段牽引變電所方向接觸網電流；IT2為第2 個AT段分區所方向接觸網電流；IF為第2 個AT 段正饋線電流；IR1為第2 個AT 段牽引變電所方向鋼軌電流；IR2為第2 個AT 段分區所方向鋼軌電流；I為牽引負荷電流；X為負荷與第1 個AT 間的距離；D為第2 個AT 段長度。

2 AT 供電方式長回路等效電容計算

2.1 系統構成及回路構建

2.1.1 從電流方向角度構建回路

設置有貫通地線并采用AT 供電方式牽引網的系統結構見圖3。

圖3 采用AT 供電方式的牽引供電系統橫截面示意圖

從電流方向角度構建回路，則接觸線和承力索為傳輸導體，鋼軌1、鋼軌2、保護線、貫通地線和大地為電場回流導體，正饋線為磁場回流導體，因此該牽引網系統為2 傳輸導體6 回流導體的多回路傳輸系統，如圖4 所示。

圖4 AT 供電方式系統回路構成1

如圖5 所示，傳輸導體接觸線與電場回流導體（鋼軌1、鋼軌2、保護線、貫通地線和大地）之間分別構成回路1～回路5，前4 個回路中兩導體之間的距離依次為d1～d4；傳輸導體接觸線與磁場回流導體正饋線之間構成回路6，兩導體之間的距離為d6；傳輸導體承力索與電場回流導體（鋼軌1、鋼軌2、保護線、貫通地線和大地）之間分別構成回路7～回路11，這5 個回路中前4 個回路中兩導體之間的距離依次為d7～d10；傳輸導體承力索線與磁場回流導體正饋線之間構成回路12，兩導體之間的距離為d12。接觸線、承力索、鋼軌1、鋼軌2、保護線、貫通地線和正饋線的半徑依次為r1～r7。承力索與接觸線、鋼軌1 與鋼軌2、鋼軌1 與保護線、鋼軌1 與貫通地線、鋼軌2 與保護線、鋼軌2 與貫通地線、保護線與貫通地線之間的距離分別為l12、l34、l35、l36、l45、l46、l56。

圖5 AT 供電方式牽引網的傳輸與架空回流導體1

2.1.2 從負荷角度構建回路

若從負荷角度構建圖3 所示的牽引網回路，則其中接觸線和承力索以及正饋線為傳輸導體，鋼軌1、鋼軌2、保護線、貫通地線和大地為回流導體，因此該牽引網系統為3 傳輸導體5 回流導體的多回路傳輸系統，如圖6 所示。

圖6 AT 供電方式系統回路構成2

如圖7 所示，傳輸導體接觸線與回流導體（鋼軌1、鋼軌2、保護線、貫通地線和大地）之間分別構成回路1～回路5，前4 個回路中兩導體之間的距離依次為d1～d4；傳輸導體承力索與回流導體（鋼軌1、鋼軌2、保護線、貫通地線和大地）之間分別構成回路6～回路10，前4 個回路中兩導體之間的距離依次為d6～d9；傳輸導體正饋線與回流導體（鋼軌1、鋼軌2、保護線、貫通地線和大地）之間分別構成回路11～回路15，前4 個回路中兩導體之間的距離依次為d11～d14。接觸線、承力索、正饋線、鋼軌1、鋼軌2、保護線、貫通地線的半徑分別為r1～r7。接觸線與承力索、接觸線與正饋線、承力索與正饋線之間的距離分別為l12、l13、l23，鋼軌1 與鋼軌2、鋼軌1 與保護線、鋼軌1 與貫通地線、鋼軌2 與保護線、鋼軌2 與貫通地線、保護線與貫通地線之間的距離分別為l45、l46、l47、l56、l57、l67。

圖7 AT 供電方式牽引網的傳輸與架空回流導體2

2.2 各回路電位系數計算

2.2.1 從電流方向角度構建回路電位系數計算

根據從電流方向角度所構建的回路系統，基于空間電場分析，推導回路內自電位系數和回路間互電位系數，進而構建電位系數矩陣[10-12]。

（1）自電位系數。

以回路1 為例說明非大地回流回路的自電位系數。記pii為回路i內的自電位系數。在回路1中，假設接觸線攜帶單位長度電荷q1（C/m），則鋼軌1 攜帶單位長度電荷為-q1（C/m），二者共同構成基本空間電場單元，按照構成回路的兩導體間電位計算式可得回路1 內的自電位系數p0101為

式中：ε為回路空間介電常數。

因此，結合圖4 和圖5 所示的回路編號和導體空間位置關系編號，可得回路1～回路4、回路6內的自電位系數pii（i= 01, 02, 03, 04, 06）為

為保持格式統一，等式左邊角標i由兩位組成，即回路1～9 前加0，回路10 不變，等式右邊角標i為回路編號，后文同樣處理。

回路7～回路10、回路12 內的自電位系數pii（i= 07, 08, 09, 10, 12）為

以回路5 為例說明大地回流回路的自電位系數。回路5（即接觸線與大地構成的大地回流回路）中的自電位系數p0505為

式中：Dg為大地等值深度。Dg計算使用最廣泛的Carson 公式[13]，即，其中：ρ為大地電阻率，Ω?m；f為頻率，Hz。

同理，可得回路11 中的自電位系數p1111為

（2）互電位系數。

記pij為回路i和回路j之間的互電位系數，pij=pji。以回路1 和回路8 為例說明非大地回流回路之間的互電位系數。

在回路1（即接觸線與鋼軌1 組成的回路）中，假設接觸線攜帶單位長度電荷為q1（C/m），則鋼軌1 攜帶單位長度電荷為-q1（C/m），此時接觸線在回路8（即承力索與鋼軌2 組成的回路）中產生的電勢Vc0108為

鋼軌1 在回路8 中產生的電勢Vh0108為

則回路1 在回路8 中產生的電勢VZ0108為

由此，可得到回路1 在回路8 之間的單位長度互電位系數p0108為

以回路1 和回路2 的互電位系數p0102為例，非大地回流回路之間共傳輸導體時互電位系數為

以回路1 和回路7 的互電位系數p0107為例，非大地回流回路之間共回流導體時互電位系數為

以回路1 和回路11 的互電位系數p0111為例，非大地回流回路與大地回流回路之間互電位系數為

以回路1 和回路5 的互電位系數推導結果p0105為例，非大地回流回路與大地回流回路之間共傳輸回路時互電位系數為

以回路5 和回路11 的互電位系數推導結果p0511為例，大地回流回路之間的互電位系數為

2.2.2 從負荷角度構建回路電位系數計算

根據以負荷角度出發所構建的回路系統，基于空間電場分析，推導回路內自電位系數和回路間互電位系數，進而構建電位系數矩陣。

（1）自電位系數。

以回路1 為例說明非大地回流回路的自電位系數。記pii為回路i內的自電位系數。在回路1中，假設接觸線攜帶單位長度電荷q1（C/m），則鋼軌1 攜帶單位長度電荷為-q1（C/m），二者共同構成基本空間電場單元，按照構成回路的兩導體間電位計算式可得回路1 內的自電位系數p0101為

結合圖4 和圖5所示的回路編號和導體空間位置關系編號，可得回路1～回路4 自電位系數pii（i= 01, 02, 03, 04）為

回路6～回路9 內的自電位系數pii（i= 06, 07,08, 09）為

同理，回路11～回路14 內的自電位系數pii（i= 11, 12, 13, 14）為

以回路5 為例，回路5（即接觸線與大地構成的大地回流回路）中的自電位系數p0505為

同理，可得回路10 和15 中的自電位系數為

（2）互電位系數。

記pij為回路i和回路j之間的互電位系數，pij=pji。以回路1 和回路7 為例說明非大地回流回路之間的互電位系數。

在回路1（即接觸線與鋼軌1 組成的回路）中，假設接觸線攜帶單位長度電荷為q1（C/m），則鋼軌1 攜帶單位長度電荷為-q1（C/m），此時接觸線在回路7（即承力索與鋼軌2 組成的回路）中產生的電勢Vc0107為

鋼軌1 在回路7 中產生的電勢Vh0107為

則回路1 在回路7 中產生的電勢VZ0107為

由此，可得到回路1 在回路7 之間的單位長度互電位系數p0107為

以回路1 和回路2 的互電位系數p0102為例，非大地回流回路之間共傳輸導體時互電位系數為

以回路1 和回路6 的互電位系數p0106為例，非大地回流回路之間共回流導體時互電位系數為

以回路1 和回路10 的互電位系數p0110為例，非大地回流回路與大地回流回路之間互電位系數為

以回路1 和回路5 的互電位系數推導結果p0105為例，非大地回流回路與大地回流回路之間共傳輸回路時的互電位系數為

以回路5 和回路10 的互電位系數推導結果p0510為例，大地回流回路之間的互電位系數為

2.3 各回路單位長度電容矩陣計算

通過上述步驟，即可得到n= 12 維回路電位系數矩陣P，其中，pii為回路i的自電位系數，pij為回路i和回路j之間的互電位系數，pij=pji。求解電位系數矩陣的逆矩陣即可得到各回路單位長度電容矩陣C=P-1，即

式中：INV(*)表示矩陣*的逆。

3 AT 供電方式長回路單位長度電容計算

對于AT 供電方式長回路單位長度電容，可以按照空載工況進行分析和計算。由于AT 供電方式導體數量較多，存在電場回流回路和磁場回流回路，為了方便計算，采用簡化模型開展相關分析推導。

3.1 從電流方向角度構建回路模型分析

簡化模型結構由傳輸導體、電場回流導體、磁場轉換導體構成，為由單個導體構成的3 導體空間，如圖8 所示，系統為1 傳輸2 回流傳輸線系統，假定電場回流回路（回路編號1）電荷為q1，磁場回流回路（回路編號2）電荷為q2。

圖8 AT 牽引供電系統等值電路

由于自耦變壓器變比為1∶1，磁場轉換回流回路電壓為電場回流回路電壓的2 倍，列寫空間單位長度各個回路的電位系數-電壓矩陣方程為

假設V1=“1”，則根據式（32）可得此時各回路電荷為

此時可求解電場回路和磁場回路電容為

假設k1、k2為2 個回路的電荷分配系數，顯然，k1=q1/ (q1+q2)，k2=q2/ (q1+q2)。

若如圖8 所示回路中的導體主要參數如表1 所示，則根據以上方法計算得到的電荷分布和單位長度電容計算結果如表2 所示，根據電荷分布比例情況，得到簡化模型電荷分布如圖9 所示。

表1 導體主要參數

表2 電荷分布和單位長度電容計算結果

圖9 簡化模型電荷分布

3.2 從負荷角度構建回路模型分析

簡化模型結構由接觸網導體、回流導體、正饋線導體構成，為由單個導體構成的3 導體空間，如圖10 所示，系統為2 傳輸1 回流傳輸線系統，假定負荷電荷為q，則接觸網傳輸導體回路（回路編號1）電荷為q1，正饋線傳輸導體回路（回路編號2）電荷為-q2。

圖10 AT 牽引供電系統等值電路

由于自耦變壓器變比為1∶1，接觸網傳輸導體回路電壓和正饋線傳輸導體回路電壓相等，相位相反，因此，列寫空間單位長度各個回路的電位系數-電壓矩陣方程為

假設V1=“1”，則根據式（36）可得此時各回路電荷為

此時求解接觸網傳輸導體回路和正饋線傳輸導體回路電容為

假設k1、k2為2 個回路的電荷分配系數，顯然，k1=q1/ (q1+q2)，k2=q2/ (q1+q2)。

若如圖10 所示回路中的導體主要參數如表3所示，則根據以上方法計算得到的電荷分布和單位長度電容計算結果如表4 所示，根據電荷分布比例情況，得到簡化模型電荷分布如圖11 所示。

表3 導體主要參數

表4 電荷分布和單位長度電容計算結果

圖11 簡化模型電荷分布

4 實際算例

4.1 基礎數據

本節通過實際算例說明上文提出的基于多導體回路法的AT 供電方式長回路電容計算方法。圖12所示為單線AT供電方式牽引網的橫截面示意圖和各導體時間的相對距離，導線的主要參數如表5所示。

表5 導體主要參數（以軌面中心為坐標原點）

圖12 單線AT供電方式牽引網橫截面示意圖（單位：mm）

4.2 從電流方向角度構建回路計算結果

以圖12 和表5 給出的基本參數為基準，從電流角度構建回路得到的計算結果如表6～表9 和圖13 所示，其中表6 為AT 供電方式牽引網各回路單位長度電位系數計算結果，表7 和表8 分別為各回路及導體電荷分布情況，表9 為牽引網各回路單位長度電容計算結果，圖13 為電荷分布示意圖。

表6 AT 供電方式牽引網各回路單位長度電位系數計算結果 1011/km

表7 各回路及導體電荷分布情況

表8 各回路及導體電荷分布情況

表9 AT 供電方式牽引網各回路單位長度電容計算結果 10-12 F/km

圖13 電荷分布示意圖

4.3 從負荷角度構建回路計算結果

從負荷角度構建回路計算結果如表10～表13和圖14 所示，其中表10 為AT 供電方式牽引網各回路單位長度電位系數計算結果，表11 和表12 為各回路及導體電荷分布情況，表13 為牽引網各回路單位長度電容計算結果，圖14 為電荷分布示意圖。

表10 AT 供電方式牽引網各回路單位長度電位系數計算結果 1011/km

表11 各回路及導體電荷分布情況

表12 各回路及導體電荷分布情況

圖14 電荷分布示意圖

5 結語

本文提出一種基于多導體回路法的以接觸網和正饋線為傳輸導體的電氣化鐵路AT 供電方式牽引網長回路電容計算方法，該方法有2 種構建回路方式：一種方式是從電流方向角度構建回路，將接觸網中接觸線和承力索作為傳輸導體，其余導體為回流導體，按照電場回流回路和磁場轉換回路構成回路；另一種方式是從負荷角度構建回路，將接觸線、承力索以及正饋線作為傳輸導體，其余導體作為回流導體構成回路。構建系統回路后，對各回路進行編號，然后計算各回路的自電位系數和互電位系數，得到各回路單位長度電容矩陣，最后通過回路電容矩陣與回路電位的關系計算各回路中的電荷分布，進而得到牽引網單位長度電場回流回路和磁場轉換回路電容以及兩回路并聯的綜合電容。