基于“生成學習”理論的數學解題教學
——以2023年全國數學新高考Ⅰ卷第6題為例

蔣偉杰

(象山中學,浙江 象山 315700)

在傳統數學解題教學中,教師往往給出自己精心準備的教學內容和教學設計,很少和學生的已有經驗相結合,導致學生的主觀能動性沒有發揮出來,對新知識的認識不夠全面.因此,重塑數學解題教學的理念、改進數學解題教學的方式是當下亟須開展的.生成學習理論下的數學解題教學重視學生的思維活動與經驗基礎,引導學生根據已有經驗,自主構建知識體系,優化學生的認知加工過程,提升學生的綜合思維能力.

1 生成學習理論的內涵

1.1 生成學習

“生成學習”又稱為生成性學習,是指加州大學的維特羅克提出的學生學習生成過程(generative process)模式.生成學習理論最基本的觀點是學習發生于學習者對新信息進行適當認知加工的過程.它的形成有兩個前提條件:第一,人們生成對所知覺事物的意義,與其之前的知識經驗相結合;第二,人腦會主動篩選一些有用信息,建構對輸入信息的理解,并從中得到結論.簡單來說就是人們總是傾向于利用頭腦中長時間的記憶,提取與新獲取的信息相關的事實,對其進行適當地加工,建構新獲取信息與已有經驗之間的聯系,使得新獲取的信息有具體的意義.在生成學習的過程中,學生不是知識的被動接受者,而是能夠發揮主觀能動性進行學習的個體.同時,在生成學習的過程中,已學習的知識也有著重要的價值,學生傾向于借助已有的認知學習新知識,因此,學習成果不僅依賴于外界因素的作用,學生的已有知識也在一定程度上影響著學習成果.

1.2 生成教學

“生成學習”既包括學習者的生成學習,也包括教師對學習者的學習做一個生成教學指導.該學習模式不僅可以指導學生如何學習,也可以用于指導教師的教學過程.維特羅克認為學生的學習首先是一個內在的建構和生成的過程,因此,教師最重要的作用不是組織和表述知識,而是對學生內部的意義生成過程的有效引導[1].從短期的教學效果來看,教師要引導學生建構課堂所學知識各部分之間的關系,以及建構課堂所學知識和已有學習經驗之間的聯系.從長期的教學目的來看,教師要培養學生學習上的主動性和能動性,引導學生掌握具體的認知策略,這對學生學習方式的轉變具有重要的指導作用.

2 生成學習理論對數學解題教學的意義

2.1 善用已有經驗,避免思維定式

生成學習發生的一個前提條件是與其之前的知識經驗相結合.《普通高中數學課程標準(2017年版)》明確將數學基本活動經驗納入課程目標并指出,通過高中數學課程的學習,學生能獲得進一步學習以及未來所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗[2].事實上,已有知識經驗是把雙刃劍,具有正向引導和負向引導的雙重作用:一方面,學生根據已有的經驗,選擇熟悉的解題方向,在思路的形成上沒有太多的障礙,為后續的學習奠定了較好的認知基礎;另一方面,思路會被已有經驗所限制,很難跳出固有思維獲取新的解題思路,從而形成思維定式,不利于學生挖掘新的解題方法和接受新的思想方法.簡而言之,解題教學中,既要合理運用已有經驗,思維又不能陷入其中.

2.2 構建思維網圖,培養知識體系

生成學習理論下,學習者能夠將知識進行融會貫通,不僅能夠熟練運用所學知識,還能將知識進行遷移,建構基于已有知識的框架體系.所謂知識體系,是把大量不同的知識點系統、有序、指向性明確地組合成某種類型的知識架構.教師在教學中,經常會得到學生的反饋:平常作業都會做,但是一到考試就答不出來了.其中的一個原因是學生沒有形成知識體系,只是掌握了碎片化、零散化的知識,這樣的學習不是生成式的,而是被動接受式的,導致在考試中解決綜合性較強的問題時,不能對知識進行合理的遷移.雖然在短時間內能夠記住更多的知識,但是這些知識難以長久地儲存,其學習還是停留在對新接受知識的簡單套用,與生成學習還有很大一段距離.為了使學生能夠較好地理解所學知識,需要進一步構建該信息的意義,即引導學生將思維過程中的知識和方法進行回顧,幫助學生建立已有知識的框架體系,提高學生的思維水平.

2.3 注重思維引導,合理聯想啟發

生成學習理論下的“生成教學”也對教師提出了更高的要求.教師上課的落腳點不是把知識點講清楚,而是要引導學生建構各個知識點之間的關聯.對教師而言,在教學中積累的大量經驗,會讓其有更多的應試技巧,這些技巧會導致教師在課堂中獨掌“話語權”.這樣的課堂,教學效果可能是立竿見影的,學生可以較好地解決這堂課的課后習題,因為這堂課的知識點教師已經講得很清楚了,但是不利于培養學生的能動性和主動性,學生沒有形成一套自己的知識體系,這樣的必然后果是學生“一聽就會,一考就錯”.

3 教學實踐案例

根據生成學習理論和學生的認知現狀,筆者以2023年全國數學新高考Ⅰ卷第6題為例,進行教學活動設計.

3.1 關聯學生舊知,喚醒經驗原則

例1過點(0,-2)與圓x2+y2-4x-1=0相切的兩條直線夾角為α,則sinα的值為

( )

(2023年全國數學新高考Ⅰ卷第6題)

課堂上有十余位學生的解答過程是:設直線方程為y=kx-2,由于圓心到直線的距離等于半徑,即

生成式學習發生的一個必要前提是學生嘗試用已經學習過的知識經驗解決新遇到的問題.雖然結果是錯的,但是教師不要急著否定學生或者馬上灌輸自己的想法.這是在教學中經常會遇到的情況:學生先入為主,根據獲取的新信息,在腦海中提取所需的內容,提取的內容雖然與新獲取的信息比較相近,但是學生并不會仔細考慮提取的內容是否真的適合用來解決這道題目,此時學生犯了典型的“經驗主義”錯誤.

作為教師,要引導學生分析上述解法的優點和存在的問題,組織學生進行小組討論,提出合理的解決策略.學生提出的具體策略如下.

策略1看到直線與圓相切,除了要想到“d=r”,也要想到垂直和一組全等三角形.

策略2處理解析幾何問題,避免用代數無腦運算.

策略3要有前瞻性,判斷建立的方程是否容易求解、表達式的運算是否能夠優化.

策略4注重數形結合,代數問題可以從幾何的層面直觀理解,幾何問題也可以從代數的角度具體呈現.

……

首先,學生提出的策略并不一定都是對的,教師要“取其精華,去其糟粕”,總結幾條合理的策略;其次,策略不一定適合所有學生,學生需要結合自己的實際情況,建構新獲取信息與已有經驗之間的聯系,對新獲取的信息進行適當加工,使其有具體的意義.生成學習就是不斷建構的過程,如果能夠把正在學習的內容和學生已有的相關知識經驗聯系起來,可以幫助學生獲得對新知識的深入理解.

3.2 創設教學情境,構建知識體系

生成學習的落腳點不是解決一道題,而是要培養學生構建知識體系的能力.因此,數學解題課堂設計要立意高遠,著手點要低,知識點指向要明確,即對所學內容進行再認識、再建構,用一條線索把散落各處的舊知識像珍珠一樣串起來.教師可以對例1進行如下變形,讓學生在不同的情境中體會數學思想產生和形成的過程.

變式1若P是直線y=-x-3上的動點,過點P與圓x2+y2-4x-1=0相切的兩條直線的夾角為α,當α最大時,sinα的值為______.

變式2已知A,B是兩個定點,P是直線上的動點,當點P運動到何處時,sin∠APB有最大值?

變式3設點A(1,0),B(4,0),點P為圓x2+y2-4x-1=0上的一個動點,則sin∠APB的最大值為______.

圖1

在生成學習理論指導下,3個變式均以“相切時的夾角最值”為線索,著力構建本堂課的難點:“一動點兩定點”模型,即A,B是兩個定點,P是直線上的動點,求當點P運動到何處時∠APB有最大值(如圖1).該模型在知識點上串聯了“直線與圓的位置關系、三角函數中的二倍角、兩角差的正切公式”等,在思想方法上串聯了“數形結合、動態問題靜態化、代數問題幾何化”等,致力于幫助學生構建解決一類幾何問題的知識體系.在現階段的學習模式下,為了鞏固某個知識點,學生會進行大量重復的機械運算,容易忽視各個題目內在的聯系.教師要引導學生建構本堂課所學知識各部分之間的關系,以及建構本堂課所學知識和已有學習經驗之間的聯系.

如果時間允許的話,教師在課堂上也可以組織學生以同桌為單位,在例1的基礎上進行變式訓練.想要得到一道合理的變式題,對學生的要求較高,需要整合不同單元的知識點,厘清知識間的內在聯系,此過程可以鼓勵學生大膽創新,開拓思維.

3.3 在問題解決中提升數學思維水平

數學解題教學不能僅停留在“就題論題”的層面.實踐證明,重復地大量做題不僅容易導致教學碎片化,學生無法形成系統的認知,而且容易陷入“題海”,無法自拔[3].數學問題的形式不會一成不變,幾何圖形也不會一模一樣,因此,在解題教學中,不能要求學生對模型進行死記硬背,而要學會分析模型如何建構、思想方法如何生成的過程,能夠對生成學習的過程進行遷移,把所學的知識遷移到新的環境和挑戰中,經歷問題解決的過程.

例如,課后學生命制了一道這樣的題目:

這是以直線與圓為背景命制的題目,解題用到的知識是圓與圓的位置關系.基于對例1的思考,學生重構了題目情境,培養了創新精神,在命題和解題的過程中,學生會主動篩選一些有用信息,建構自己對題目的理解,這個過程就相當于生成學習中的認知加工過程.

總之,生成學習理論下數學解題教學的關鍵在于聯系學生的已有經驗,引導學生構建知識體系.生成教學要求教師用合理的聯想和啟發的方法,使學生的思維活動跳出“就題論題,就知識點論知識點”的層面,上升到解決問題的結構化和系統化的層面,實現解題教學的更高層次目標.