深度教學(xué)視域下一次課堂案例的實(shí)踐與思考
——關(guān)于一道橢圓試題研析拓展的教學(xué)實(shí)錄片段

陳偉流

(惠州市仲愷中學(xué),廣東 惠州 516229)

1 研究背景

隨著“三新”(新課標(biāo)、新教材、新高考)背景下教學(xué)改革的逐步實(shí)施及推廣,高考命題的理念已悄然從能力立意轉(zhuǎn)變?yōu)樗仞B(yǎng)導(dǎo)向.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)》)在命題原則中強(qiáng)調(diào),命題應(yīng)依據(jù)學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)和課程內(nèi)容,注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查,處理好數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與知識(shí)技能的關(guān)系,要充分考慮對(duì)教學(xué)的積極引導(dǎo)作用;在命題中,應(yīng)特別關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中思維品質(zhì)的形成,關(guān)注學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)的能力[1].

作為促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)在課堂上有效生成落地的基本指導(dǎo)思想之一,深度教學(xué)的理念在新時(shí)代教育背景下因被廣大學(xué)者關(guān)注、提倡而煥發(fā)出別樣的生命力.李松林教授曾指出,深度教學(xué)是根據(jù)學(xué)科課堂的3個(gè)基點(diǎn)(學(xué)科、學(xué)生、學(xué)習(xí))和大量的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn),觸及學(xué)科本質(zhì)、抓住學(xué)生根本和符合學(xué)習(xí)本質(zhì),最終促進(jìn)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的教學(xué)[2].結(jié)合教學(xué)實(shí)踐,筆者認(rèn)為,深度教學(xué)是以學(xué)生的學(xué)情基礎(chǔ)及已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)為出發(fā)點(diǎn),以觸及知識(shí)背景本源及注重知識(shí)整體關(guān)聯(lián)為原則,具備深度體驗(yàn)性及批判性等特征,以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)等思維品質(zhì)為結(jié)果目標(biāo)的教學(xué)理念.

以下筆者通過(guò)一道橢圓試題的課堂實(shí)錄案例,將對(duì)深度教學(xué)理念的理解與思考所得,融入試題研析、背景溯源、技術(shù)領(lǐng)路、逆向探索等課堂實(shí)踐環(huán)節(jié),以期與同仁探討交流.

2 案例呈現(xiàn)

2.1 試題研析,呈現(xiàn)問(wèn)題

1)求曲線W的方程;

圖1

2)如圖1,設(shè)點(diǎn)P為x軸上除原點(diǎn)O外的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作直線l1,l2,l1交曲線W于點(diǎn)C,D,l2交曲線W于點(diǎn)E,F,G,H分別為CD,EF的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交GH于點(diǎn)N,設(shè)CD,EF,ON的斜率分別為k1,k2,k3,求證:k3(k1+k2)為定值．

(2023年廣西壯族自治區(qū)柳州市統(tǒng)考三模試題第21題)

問(wèn)題1在設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0,0)的條件下,如何呈現(xiàn)出點(diǎn)N的坐標(biāo)以表示k3?

問(wèn)題2點(diǎn)G既是弦CD的中點(diǎn),又是直線CD,GH的交點(diǎn),如何將兩種關(guān)系與k1進(jìn)行有效整合?

評(píng)注第1)小題以數(shù)量積的形式考查軌跡方程,只需設(shè)點(diǎn)求解化簡(jiǎn)即可,屬于基礎(chǔ)題型;第2)小題以中點(diǎn)弦為切入條件,考查點(diǎn)差法、同構(gòu)法等解析幾何基本思想方法的綜合應(yīng)用,需要教師引導(dǎo)學(xué)生理解直線CD,EF在地位上的等價(jià)性,并通過(guò)線線交點(diǎn)和中點(diǎn)屬性得出直線CD,EF斜率的等價(jià)表達(dá)式,明晰斜率同構(gòu)思想的來(lái)源及作為通性通法在圓錐曲線斜率問(wèn)題上的普遍適用性.學(xué)生通過(guò)解題實(shí)踐,為后續(xù)結(jié)論的歸納及證明做好鋪墊,發(fā)展了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

即

得

2)證明顯然直線GH的斜率存在,設(shè)P(x0,0),直線GH的方程為

y=k4x+m,

即

設(shè)C(xC,yC),D(xD,yD),由點(diǎn)C,D都在橢圓上,得

(1)

(2)

式(1)-式(2),得

從而

由G為CD的中點(diǎn),得

化簡(jiǎn)得

同理可得

故k1,k2為關(guān)于k的方程

4(k4x0+m)k2+3x0k+3m=0

的兩個(gè)實(shí)根.由根與系數(shù)的關(guān)系,得

將x=x0代入直線GH的方程,得

y=k4x0+m,

從而

N(x0,k4x0+m),

即

問(wèn)題3回顧試題解答,3條直線斜率和積的定值結(jié)果與點(diǎn)P的坐標(biāo)無(wú)關(guān).若將點(diǎn)O推廣為x軸上任一定點(diǎn)(異于點(diǎn)P),其斜率和積是否仍為定值?該如何表示?

評(píng)注教師以問(wèn)題帶動(dòng)學(xué)生從解題到研題的過(guò)渡性思考,在現(xiàn)代信息技術(shù)GeoGebra軟件的支持下,以先直觀驗(yàn)證定值結(jié)果,再抽象總結(jié),歸納證明的學(xué)習(xí)方式,積累從特殊到一般、從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),從而把握試題的一般背景.

2.2 背景溯源,揭示本質(zhì)

圖2

即

因?yàn)辄c(diǎn)C(xC,yC),D(xD,yD)都在橢圓上,所以

即

由G為CD的中點(diǎn),得

從而

同理可得

可知k1,k2為關(guān)于k的方程a2(k4t+m)k2+b2tk+b2m=0的兩個(gè)實(shí)根,得

將x=t代入直線GH的方程,得

N(t,k4t+m),

從而

特別地,當(dāng)Q為原點(diǎn),即s=0時(shí),有

評(píng)注這便是試題的一般命制背景.GeoGebra軟件的猜想驗(yàn)證推動(dòng)了定理1的自然生成.學(xué)生在解題中對(duì)點(diǎn)差法、同構(gòu)法形成的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)為定理1的推理證明提供了實(shí)踐可能,使學(xué)生在此課堂環(huán)節(jié)中學(xué)有所得、學(xué)有所用、學(xué)有所悟.

問(wèn)題4基于橢圓幾何圖形的對(duì)稱(chēng)性,若將點(diǎn)P的位置改在y軸,能否通過(guò)類(lèi)比得到定理1的一個(gè)對(duì)偶命題.請(qǐng)與同學(xué)交流你的成果并在GeoGebra軟件上驗(yàn)證命題的正確性.

評(píng)注學(xué)生在定理1的學(xué)習(xí)中,通過(guò)代數(shù)方法得到結(jié)論.教師以類(lèi)比推理的基本思想啟發(fā)學(xué)生探討定理的多種變化形式,有邏輯地思考、表達(dá)并求解問(wèn)題,豐富了學(xué)生內(nèi)在思維活動(dòng)和外在學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)上的層次性,有利于形成重論據(jù)、有條理、合邏輯的思維品質(zhì)和理性精神,從而提升邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

問(wèn)題5從定理1、定理2的探索過(guò)程知:兩弦中點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn))G,H及坐標(biāo)軸上的兩定點(diǎn)P,Q(O)是決定斜率和積為定值的關(guān)鍵因素,那么這四大要素是否有其內(nèi)在的必然聯(lián)系呢?

2.3 技術(shù)領(lǐng)路,引申問(wèn)題

圖3

教師在現(xiàn)代信息技術(shù)GeoGebra軟件中,作出橢圓(如圖3)及x軸上的定點(diǎn)P(異于點(diǎn)O),過(guò)點(diǎn)P作兩相交弦CD,EF,取兩弦的中點(diǎn)分別為G,H.學(xué)生通過(guò)追蹤動(dòng)點(diǎn)G,H并觀察G,H的軌跡,歸納總結(jié)點(diǎn)G,H,P,O的內(nèi)在邏輯聯(lián)系.

問(wèn)題6立足引理視角,能否對(duì)定理1及定理2的內(nèi)容做出新解讀并表達(dá)呈現(xiàn)?

評(píng)注學(xué)生再次通過(guò)GeoGebra軟件的體驗(yàn)操作,在復(fù)雜的情境中把握四大要素的內(nèi)在關(guān)聯(lián),為提出橢圓內(nèi)接頂點(diǎn)三角形的性質(zhì)構(gòu)建了過(guò)渡性的引理命題,提升了直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng),使知識(shí)升華的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程循序進(jìn)階.

問(wèn)題7基于橢圓上一定點(diǎn)引出的雙直線斜率和積問(wèn)題,相較于傳統(tǒng)直曲聯(lián)立及斜率同構(gòu)等解法,齊次式法可以很好地規(guī)避方程聯(lián)立帶來(lái)的煩瑣運(yùn)算,能否運(yùn)用此法加以證明?請(qǐng)與同伴們交流該方法的應(yīng)用心得.

問(wèn)題8從定理3、定理4的探索知:橢圓的頂點(diǎn)、坐標(biāo)軸上的定點(diǎn)、過(guò)頂點(diǎn)的切線這三大條件是三直線斜率和積為定值的決定因素.若是改變其在條件與結(jié)論上的邏輯關(guān)系,相應(yīng)的逆命題是否仍成立?以定理3為例,能否陳述并用齊式法證明相應(yīng)的逆命題?與同伴交流你的成果并注意數(shù)學(xué)語(yǔ)言的規(guī)范表達(dá).

2.4 逆向探索,完善認(rèn)知

評(píng)注教師通過(guò)逆命題的提出,引導(dǎo)學(xué)生厘清條件與結(jié)論是“知三求一”“等價(jià)互逆”“整體封閉”的邏輯關(guān)系,以命題的多種變化形式促使學(xué)生對(duì)定理所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)及通性規(guī)律進(jìn)行思考、判斷、表達(dá)、交流,培養(yǎng)數(shù)學(xué)批判思維,提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

問(wèn)題9基于圓錐曲線知識(shí)體系的統(tǒng)一性,在圓、雙曲線及拋物線中,上述定理是否均成立?是否均有其對(duì)應(yīng)的相關(guān)逆命題?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將它們一一呈現(xiàn)?請(qǐng)同學(xué)們課后進(jìn)行類(lèi)比歸納、梳理總結(jié),并與同伴交流討論,關(guān)注在語(yǔ)言表達(dá)上的規(guī)范性及定值結(jié)果上的準(zhǔn)確性.

評(píng)注教師通過(guò)課后作業(yè)的呈現(xiàn)形式,使學(xué)生圍繞課堂主題,進(jìn)一步提出命題和模型,并以數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以表征,使得學(xué)生習(xí)得的知識(shí)成高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級(jí)的系統(tǒng),從而能用更高的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與知識(shí)體系,提升邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

3 展望思考

3.1 理解“深度教學(xué)”,服務(wù)“深度備課”

所謂深度教學(xué),并不是教師不顧知識(shí)發(fā)展、學(xué)生學(xué)情等實(shí)際情況,一味地追求教學(xué)內(nèi)容的深度、難度及廣度,而是相對(duì)于知識(shí)符號(hào)的零星識(shí)別,相對(duì)于解題技能的機(jī)械模仿,相對(duì)于點(diǎn)到為止的就題論題等淺層教學(xué)方式,更多地以知識(shí)整體關(guān)聯(lián)為主線,將教學(xué)內(nèi)容循序漸進(jìn)、螺旋上升、以點(diǎn)帶面地展開(kāi),使之構(gòu)成一個(gè)可延伸、耐推敲、有活力的有機(jī)整體,最終實(shí)現(xiàn)教師的深度備課.例如,本案例中,課堂多個(gè)環(huán)節(jié)的實(shí)施始終圍繞著3條直線的斜率和積定值問(wèn)題的核心知識(shí)點(diǎn)為整體主線統(tǒng)攬全局,并將教學(xué)內(nèi)容的每一步安排都放到課堂活動(dòng)的大系統(tǒng)中考量,主次分明,目標(biāo)清晰,結(jié)構(gòu)緊湊,合乎邏輯,而并非片面地突出或強(qiáng)調(diào)某一點(diǎn).

3.2 巧設(shè)多維“腳手架”,推進(jìn)拾級(jí)而上

因?qū)W生思維視野、知識(shí)水平及能力素養(yǎng)方面存在不同程度、不同方面的欠缺,本案例中試題的求解分析及結(jié)論的歸納證明等過(guò)程必然使部分學(xué)生備感吃力而心生畏難情緒.因此,筆者根據(jù)知識(shí)、學(xué)情、技術(shù)等客觀因素,在深度備課中進(jìn)行多維預(yù)設(shè),圍繞內(nèi)容主線設(shè)置符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的啟發(fā)性問(wèn)題,不斷研究與學(xué)習(xí),探索出適合學(xué)生知識(shí)發(fā)展、能力成長(zhǎng)的多維腳手架(如圖4).通過(guò)引入同構(gòu)法、齊次式法、GeoGebra軟件驗(yàn)證、軌跡探路等多個(gè)過(guò)渡性環(huán)節(jié),逐級(jí)鋪墊,使得定理的歸納、證明、升華、推廣等內(nèi)容得以順利開(kāi)展,學(xué)生知其然,更知其所以然,如此才能帶動(dòng)學(xué)生的思維品質(zhì)、學(xué)習(xí)能力不斷地拾級(jí)而上.

圖4

3.3 關(guān)注能力成長(zhǎng),提升學(xué)習(xí)品質(zhì)

《課標(biāo)》在實(shí)施的教學(xué)建議中強(qiáng)調(diào),教師要加強(qiáng)學(xué)習(xí)方法指導(dǎo),幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣,敢于質(zhì)疑、善于思考,理解概念、把握本質(zhì),數(shù)形結(jié)合、明晰算理,厘清知識(shí)的來(lái)龍去脈,建立知識(shí)之間的關(guān)聯(lián).結(jié)合深度教學(xué)的內(nèi)涵可知,知識(shí)技能、思想方法的習(xí)得只是淺層教學(xué)中的低階要求,學(xué)生在數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)語(yǔ)言、實(shí)踐能力、批判精神、創(chuàng)新能力等學(xué)習(xí)品質(zhì)方面的發(fā)展和精進(jìn),才是深度教學(xué)所指向的彼岸遠(yuǎn)方——深度學(xué)習(xí).在本案例中,教師通過(guò)問(wèn)題的精心設(shè)計(jì)和腳手架的巧妙安排,無(wú)不是為了讓學(xué)生能立足“四基”以發(fā)展“四能”,在探尋不變性及規(guī)律性的過(guò)程中,激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣,培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,提升數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、審美價(jià)值等理性思維,最終促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)深度學(xué)習(xí),引導(dǎo)學(xué)生在將來(lái)的學(xué)習(xí)中“會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”.