數形結合,彰顯美育:“曲線與方程”探究課

? 北京市通州區潞河中學 劉 進

數學家華羅庚曾說:“就數學本身而言,是壯麗多彩、千姿百態、引人入勝的……認為數學枯燥乏味的人,只是看到了數學的嚴謹性,而沒有體會出數學的內在美.”在數學教學中,教師應充分發掘數學學科的美育價值,讓學生感受到數學美,激發學生學習數學的興趣,從而發揮學習的主動性和創造力.數學美育和藝術美育具有一定的共性,都要依托可感的美的形象和事物才能實施,以愉悅的情感體驗來感染受教育者.數學美育又有其特性,需要充分理解數學知識,探討美的形式、美的結構、美的方法、美的過程所體現的數學本質.下面以“曲線與方程”教學為例,探索如何以數學美育驅動教學.

1 教學分析

高中生學習了圓與方程、圓錐曲線與方程,初步體會了曲線與方程的關系.在幾種基本曲線學習的基礎上,可適當引入稍微復雜的方程,利用方程研究曲線的性質,開闊思路與眼界.本設計從圓的方程x2+y2=1出發,學生修改方程,用GeoGebra軟件作圖,探索未知曲線,以數學美為推動力進一步研究曲線與方程的關系.

2 教學片段

2.1 欣賞——感受美

師:如圖1,這些賞心悅目的圖案實際上是某類方程的曲線.這些圖形為什么給我們以“美”的感覺?

圖1

生:這些圖形和自然界的某些植物的花朵、葉子、果實形狀相似.

生:這些圖形具有對稱性,看上去很和諧.

師:我們能否利用已經學習的數學知識,創造出一些美麗的曲線呢?

設計意圖：以精美的數學圖形誘發學生的愉悅感,思考美的成因,感受數學語言對大自然描述的精準,激發學生的探究欲望.

2.2 探究——發現美

師:古希臘數學家畢達哥拉斯曾說過“一切平面圖形中最美的是圓形”,同時圓的方程在形式上也是簡潔、對稱、優美的.如果適當變化圓的方程x2+y2=1,如改變系數、指數或者添減、替換某些項,對應的曲線會有怎樣的變化?可以用GeoGebra軟件作出相應的圖形.

生1:改變方程中x2,y2的系數,得到的方程是橢圓方程,畫出的圖形是橢圓(如圖2).

圖2

生2:改變方程中x,y的指數,可以得到一系列圖形(如圖3).

師:你能總結出什么規律?

生1:當方程中x,y的的指數為奇數或指數的分子為奇數時,曲線不是封閉圖形;方程中x,y的指數為偶數或指數的分子為偶數時,曲線是封閉的圖形.

生2:當x與y的指數相同時,如果指數為奇數或指數的分子為奇數,曲線關于直線y=x對稱;如果指數為偶數或指數的分子為偶數,曲線關于x軸、y軸、直線y=±x以及原點對稱;當x與y的指數不相同時,曲線不關于直線y=x對稱(如圖4).

圖4

生3:當x,y的指數大于1時,曲線在第一象限向外凸,指數越大,就越向外凸;當x,y的指數小于1時,曲線在第一象限向內凹,指數越小,就越向內凹.

(這里的分數指數均為最簡分數.)

師:你能從“方程”的角度解釋這些結論嗎?

生1:類比研究圓錐曲線的方法,可以說明曲線是否為封閉圖形.例如,將x3+y3=1變形為y3=1-x3,可知y的絕對值隨x的絕對值的增大而增大,可以無限大;將x4+y4=1變形為y4=1-x4,可得x,y的范圍均為[-1,1],所以對應的曲線是封閉圖形.

生2:對稱性可以用圓錐曲線中學到的方法來解釋.例如,若把x換成-x,方程不變,則曲線關于y軸對稱;將x和y互換方程不變,則曲線關于直線y=x軸對稱;等等.

生3:凹凸性可以用x,y的范圍來解釋.與線段x+y=1對比,當曲線中x,y的指數小于1時,x,y的絕對值比較小,它們的和就可以達到1,所以曲線在x+y=1內部;當曲線中x,y的指數大于1時,x,y的絕對值比較大,它們的和才可以達到1,所以曲線在x+y=1外部.如圖5所示.

圖5

師:非常好!改變方程的系數和指數,圖形仍然具有對稱性,帶給我們美感.還可以怎樣改變方程,得到不同的曲線?

生:還可以在方程中添加某些項.例如,添加二次項xy,得到的曲線(如圖6)好像是斜著放置的橢圓.

圖6

師:到底是不是呢?如何來驗證?

生:可以嘗試找到焦點,證明曲線上任意一點都滿足橢圓的定義;也可以旋轉坐標軸,證明方程是橢圓的方程.

師:還可以對方程作怎樣的改變?

圖7

設計意圖：從熟知的圓與方程入手,在改變方程及畫出曲線的過程中發現數與形的變化規律,探討變化中不變的數學原理,從而深刻理解曲線與方程的關系.引導學生體會數學的簡潔美和對稱美,用數學的眼光觀察世界,發現世界.

2.3 變換——創造美

圖8

將曲線方程中的某些項加上絕對值或者將其平方,可以變換得到相應的對稱圖形,例如x2+y2-|x|y=1(如圖9-1),(x2+y2)4=x2y2(如圖9-2):

圖9-1

圖9-2

這些圖形形狀優美,寓意美好.請同學們觀察已經探索得到的曲線,從中提取需要的元素,自由設計具有美感的圖形.

以下是學生設計的圖形(圖10):

圖10

圖10中對應的曲線的方程分別為:

(1)(x2+y2-xy-1)(x2+y2+xy-1)=0.

(5)(x2+y2-|x|y-1)[(x-2)2+(y-2)2-|x-2|(y-2)-1](x-y)=0.

設計意圖：通過變換方程,得到更優美有趣的曲線,讓學生自己設計方程,畫出曲線,調動學生的創造熱情.在生動活潑的作品背后,是學生對知識的深入理解與思考.

3 教學反思

3.1 形式之美

愛美之心人皆有之,美的形式可以激發學生探求新知的欲望,提高學習興趣.本課充分挖掘了數學內容中美的因素,從審美的角度為學生設置思維情境.通過優美的曲線引入,學生可以直接感受到曲線之美;再通過自主探索、動手實踐、合作交流,自主設計得到“屬于自己的曲線”,實現對美的追求.在課堂教學中,教師以引導啟發為主,尊重學生的成果和感受,與學生共同營造具有和諧美的課堂.

3.2 內在之美

數學課只有美的形式是不夠的,還要體現數學的本質.上述探究活動的設計以最簡單的二次曲線“圓”為起點,通過改變方程的系數、指數、項,得到一個個新的方程,再利用GeoGebra軟件畫出相應的曲線,認識曲線與方程的關系.在此基礎上進一步對方程進行處理,通過曲線組合和對稱變換,得到優美的圖形.學生在認識方程、研究曲線時,體會數學的對稱美、統一美;整個探究過程循序漸進、由簡到繁,體現了數學的邏輯美、和諧美;思考千變萬化的圖形背后不變的數學原理,體現了數學的嚴謹美、理性美.

3.3 獨特之美

在教材的基礎上對教學內容進行拓展,將學生可以理解的曲線梳理為一個有機的整體,引導學生用GeoGebra軟件大膽嘗試,嚴謹論述,最后進行自主創造,這在以往的研究中是比較少見的.研究未知曲線一直是學生學習的難點,本設計以數學審美為推動力,從心理上克服了學生的畏難情緒,合理的設計更是使整個教學過程顯得自然而然.