高帶寬壓電片變形鏡的動力學仿真與優化方法研究

楊開科， 羅俊鵬， 馬文靜， 耿遠超， 王德恩， 袁 強

（中國工程物理研究院 激光聚變研究中心， 四川 綿陽 621900）

復雜時變的大氣環境易對精密光機系統探測光、發射激光的空間傳輸產生高頻的隨機擾動，導致傳感圖像清晰度下降及激光聚焦形狀潰散，極大地降低了作用效果[1-3]。利用波前校正器可對空間光束的波前畸變進行自適應動態補償，從而顯著提高圖像探測精度和激光傳輸性能。典型的波前校正器包括液晶空間相位調制器、機械式變形鏡和壓電變形鏡（壓電陶瓷驅動的可變形反射鏡）等。其中，壓電變形鏡的工作響應頻率最高，可達數千赫茲，且能夠承載高功率密度激光，其具有廣闊的應用前景。根據鋯鈦酸鉛（PZT）或鈦酸鋇等陶瓷作動器的結構形式和驅動方式，壓電變形鏡可以進一步分為壓電疊堆變形鏡、壓電片變形鏡和MEMS（microelectro mechanical systems，微機電系統）壓電微變形鏡等。其中，壓電疊堆變形鏡的制作工藝復雜且成本高昂。目前，壓電疊堆變形鏡的核心器件——壓電疊堆作動器的成熟供應商主要為德國物理儀器（Physik Ⅰnstrumente）集團、日本東京電氣化學工業株式會社（Tokyo Denki Kagaku）等。在國內，中國科學院光電技術研究所、上海硅酸鹽研究所和南京航空航天大學等針對自主可控的壓電疊堆作動器的制備技術等進行了深入研究[4-5]。壓電片變形鏡以單層或雙層的薄片狀壓電陶瓷作動器作為驅動單元，具有極致輕量化、集成度高、制作工藝簡單和成本較低的優點，其已成為自適應光學波前校正器領域的研究熱點。王德恩等[6]對方口徑壓電薄膜變形鏡的響應函數進行了計算并對其電極尺寸參數進行了優化。張晉弘等[7]基于有限元方法研究了結構設計參數對MEMS 壓電微變形鏡校正性能的影響。朱衡[8]對壓電傾斜鏡的結構進行了仿真分析，并提出了針對大口徑、大角行程、高速壓電傾斜鏡的優化設計措施。程罡[9]利用壓電雙晶片執行器響應帶寬高、質量小的特點，對其在高旋飛行器姿態調整中的應用進行了研究。然而，目前針對壓電片變形鏡的研究主要關注其在較低頻率下（百赫茲以下）的工作性能，仍缺乏面向高工作頻率下壓電片變形鏡的高效動力學仿真分析與優化設計方法[10]。壓電片變形鏡具有多層復合薄殼結構，其在較高頻率的控制電壓激勵下工作時易受到機械共振、位移-電壓相位遲滯等動力學效應的影響，難以獲得較高的形狀控制精度[11]。

為此，筆者基于壓電片變形鏡的參數化有限元模型，提出了一種高效、高精度的電-力耦合動力學仿真分析方法，通過正交遍歷搜索含光學反射鏡材料、壓電陶瓷材料、復合材料層厚度和固定方式等參數的全設計空間，探索多維設計參數對壓電片變形鏡的固有頻率與鏡面驅動位移的影響規律，以優化得到具有預期高帶寬的壓電片變形鏡設計方案。最后，基于所制備的壓電片變形鏡原理樣件，開展動態形狀控制特性驗證實驗。

1 壓電片變形鏡動力學分析方法

壓電片變形鏡主要由壓電陶瓷作動器、光學反射鏡和電壓控制通道等組成，其工作原理如圖1所示：利用逆向壓電效應將控制電壓轉換為壓電陶瓷材料的輸出位移。壓電片變形鏡借助不同電壓控制通道的分立作動單元實現對光學反射鏡形狀的精確控制[12]。

圖1 壓電片變形鏡工作原理示意Fig.1 Schematic of working principle of unimorph piezoelectric deformable mirror

本文結合電-力耦合的壓電陶瓷材料本構方程，基于模態加速度法提出了適用于壓電片變形鏡的高效、高精度動力學分析方法，涉及公式如下：

式中：σ、c和ε分別為機械應力張量、彈性張量和機械應變張量，e、E、D和κ分別為壓電應力常數張量、電場向量、電位移向量和介電常數張量[13-15]，M為結構質量矩陣，C為結構阻尼矩陣，Kuu為結構剛度矩陣，u(t)、Fpzt(t)分別為結構位移向量和壓電驅動力向量，KuV為壓電陶瓷材料的電-力耦合矩陣，V為所有控制通道的電壓向量，j、ω和t分別為虛數單位、角頻率和時間，φi、wi和yi(t)分別為第i階結構模態振型向量、第i階諧振頻率和第i階模態振型的參與因子，l為低階模態的數量，n為所有模態的數量。

根據結構動力學理論，由多層材料組成的壓電片變形鏡的動態形狀控制性能受到光學反射鏡材料、壓電陶瓷材料、光學反射鏡幾何尺寸、壓電陶瓷幾何尺寸、變形鏡固定方式和驅動電壓等設計參數的共同影響[16-17]。壓電片變形鏡的幾何模型和電極布局如圖2所示。為滿足45°入射角下50 mm有效口徑的通光尺寸，選定壓電陶瓷和光學反射鏡的平面尺寸分別為65 mm×90 mm和86.8 mm×124 mm，則幾何設計參數主要為復合材料層的厚度。同時，假設驅動電場強度為500 V/mm，19 個電極均可加載滿幅度的驅動電壓。

圖2 壓電片變形鏡的幾何模型和電極布局Fig.2 Geometric model and electrode layout of unimorph piezoelectric deformable mirror

2 壓電片變形鏡多維設計參數的優化方法

圖3所示為壓電片變形鏡的多維設計參數優化流程，主要由設計參數正交遍歷取樣、電-力耦合動力學仿真分析和基于仿真性能的設計參數優選三個步驟組成。壓電片變形鏡的多維設計參數包括：1）光學反射鏡的材料（K9 玻璃、熔石英、碳化硅）；2） 壓電陶瓷材料（PZT-5H、PZT-5X）；3）固定方式（三點夾持、周圈多點夾持）；4）復合材料層厚度（光學反射鏡厚度為1～5 mm、壓電陶瓷厚度為0.1～1 mm）。構建圖4(a)所示的壓電片變形鏡有限元模型[18-19]，在19 個控制通道同時加載靜態驅動電壓的情況下，開展電-力耦合仿真求解，得到變形鏡的典型驅動位移云圖，如圖4(b)所示。需要注意的是，在設計參數正交遍歷取樣及電-力耦合仿真階段，為了減少計算量，采用靜態驅動位移和固有頻率來描述壓電片變形鏡的動態形狀控制性能。

圖3 壓電片變形鏡多維設計參數優化流程Fig.3 Optimization flow for multi-dimensional design parameters of unimorph piezoelectric deformable mirror

圖4 壓電片變形鏡有限元模型及其驅動位移云圖Fig.4 Finite element model of unimorph piezoelectric deformable mirror and its actuation displacement nephogram

遍歷取樣生成器將全設計空間離散成10 920個設計參數取樣點。隨后，基于壓電片變形鏡的參數化有限元模型，求解變形鏡在不同設計參數取樣點處的電-力耦合動力學響應，得到所有設計方案下壓電片變形鏡的仿真性能（包含固有頻率和鏡面驅動位移），結果如圖5所示（鑒于散點圖無法呈現壓電片變形鏡性能隨復合材料層厚度的變化趨勢，故圖5(e)采用折線圖形式）。由圖5可知，從整體上看，在電場強度恒定的情況下，壓電片變形鏡的固有頻率與鏡面驅動位移幅值成反比關系。為滿足壓電片變形鏡在較高頻率下工作的要求，須保證其固有頻率和鏡面驅動位移均較大。結合圖5(b)至圖5(d)，可采用以下原則對壓電片變形鏡的設計方案進行優化：1）匹配增大光學反射鏡和壓電陶瓷的厚度；2）選擇具有高壓電應變系數的壓電陶瓷材料；3）選擇周圈多點夾持的固定方式。考慮到在實際情況下壓電陶瓷材料的工作電場強度限制（500 V/mm）和使用溫度范圍，選用熔石英作為光學反射鏡材料，PZT-5H 作為壓電陶瓷材料，并采用周圈多點夾持的固定方式。基于上述條件，分析不同復合材料層厚度下壓電片變形鏡性能的變化趨勢，結果如圖5(e)所示（19個電壓控制通道同時加載）。以固有頻率大于4 000 Hz，單通道電壓控制時鏡面驅動位移大于±1 μm為優化篩選條件，根據圖5(e)結果，可得到光學反射鏡厚度為5 mm、壓電陶瓷厚度為1 mm的設計方案。此時，壓電片變形鏡的固有頻率w0=4 129 Hz。在1 號、3 號和4 號電極處分別施加500 V的控制電壓，通過仿真得到最優設計方案下壓電片變形鏡的驅動位移云圖，結果如圖6所示，對應的驅動位移最大值分別為1.74，1.72，1.65 μm。

圖5 多維設計參數對應的壓電片變形鏡仿真性能Fig.5 Simulated performance of unimorph piezoelectric deformable mirror corresponding to multi-dimensional design parameters

圖6 單通道電壓控制時壓電片變形鏡的驅動位移云圖Fig.6 Actuation displacement nephogram of unimorph piezoelectric deformable mirror under single channel voltage control

為了研究不同頻率電壓激勵下壓電片變形鏡的動力學響應，在1號電極處施加不同頻率的電壓激勵，并基于式(1)至式(5)計算得到壓電片變形鏡的鏡面驅動位移，結果如圖7所示。

圖7 不同激勵頻率下壓電片變形鏡的驅動位移幅值Fig.7 Actuation displacement amplitude of unimorph piezoelectric deformable mirror under different excitation frequencies

由圖7可以看出，當電壓激勵頻率低于結構固有頻率w0（4 129 Hz）時，壓電片變形鏡的驅動位移響應主要集中在1號電極控制區域。當電壓激勵頻率接近固有頻率w0時，變形鏡的驅動位移響應區域擴大，并產生第一階本征變形模式。當電壓激勵頻率超過固有頻率w0時，變形鏡的驅動位移幅值與電壓激勵區域發生分離，其驅動位移云圖呈高階振動模式，產生了不可控的動態變形。因此，在實際應用中，應避免壓電片變形鏡在接近或超過結構一階固有頻率的條件下工作。

3 壓電片變形鏡面形控制實驗驗證

為了驗證所提出的面向壓電片變形鏡的電-力耦合動力學仿真分析方法的有效性，根據上文得到的優化設計方案，研制了圖8所示的壓電片變形鏡原理樣件。

圖8 壓電片變形鏡原理樣件Fig.8 Principle prototype of unimorph piezoelectric deformable mirror

在所研制的壓電片變形鏡原理樣件的1號、3號和4號電極處分別施加500 V的控制電壓，如圖9所示，將光纖激光準直后變為平行光束，采用哈特曼波前傳感器測量在單通道電壓控制時壓電片變形鏡的鏡面驅動位移，結果如圖10所示。對比圖6和圖10發現，通過實際測量得到的壓電片變形鏡的位移云圖與對應的仿真位移云圖具有相似的分布形式，3 個電極分別施加控制電壓時對應的最大驅動位移分別為1.47，1.86，1.46 μm，實測驅動位移與仿真驅動位移的最大值的比值分別為84.6%，107.86%和88.6%，兩者的最大相對誤差為15.4%。所得結果驗證了壓電片變形鏡電-力耦合仿真模型在預測驅動位移幅值及形狀控制效果方面的有效性。

圖9 壓電片變形鏡表面形狀測量光路Fig.9 Optical path for measuring surface shape of unimorph piezoelectric deformable mirror

圖10 單通道電壓控制時壓電片變形鏡的實測驅動位移Fig.10 Measured actuation displacement of unimorph piezoelectric deformable mirror under single channel voltage control

為進一步驗證壓電片變形鏡的動態響應特性，在1號電極處施加掃頻式電壓激勵，開展變形鏡的鏡面驅動位移響應速度測量實驗[20]。如圖11 所示，采用信號發生器產生不同頻率的正弦電壓控制信號，電壓控制信號經過高壓放大器后直接加載于壓電片變形鏡的1號電極處。激勵電壓幅值固定為±50 V，頻率為0～5 000 Hz。使用激光測振儀測量1 號電極區域對應的鏡面驅動位移響應速度，結果如圖12所示。實驗結果表明，當電壓激勵頻率為3 378 Hz時，壓電片變形鏡的鏡面驅動位移響應速度迅速提高，第一階機械共振頻率的實測值為仿真值4 129 Hz的82%。仿真計算得到的固有頻率偏高的主要原因是有限元模型中固定邊界條件為理想的剛性位移約束，而在實際實驗中，壓電片變形鏡的固定夾持結構具有一定的柔度，不可避免地會造成實際固有頻率下降。

圖11 壓電片變形鏡驅動位移響應速度測量方案Fig.11 Measurement scheme for actuation displacement response speed of unimorph piezoelectric deformable mirror

圖12 壓電片變形鏡1號電極處的驅動位移響應速度Fig.12 Actuation displacement response speed at the electrode 1 of unimorph piezoelectric deformable mirror

4 結 論

1）本文基于壓電片變形鏡的參數化有限元模型，提出了高效、高精度的壓電片變形鏡電-力耦合動力學仿真分析方法。同時，通過正交遍歷多維設計參數，探索了不同參數對壓電片變形鏡動態形狀控制性能的影響規律。研究發現，匹配增大壓電陶瓷與光學反射鏡的厚度、選擇高壓電應變系數的壓電陶瓷材料和采用周圈多點夾持的固定方式能夠同時提升壓電片變形鏡的固有頻率和驅動位移性能。

2）根據符合預期工作帶寬的壓電片變形鏡優化設計方案，制備原理樣件并開展面形控制實驗驗證。實驗結果驗證了所提出的壓電片變形鏡動力學仿真與優化方法的有效性。