具有變泊松運(yùn)動(dòng)特性的剪叉式折展機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

暢博彥， 閆圣杰， 梁 棟， 關(guān) 鑫， 韓芳孝

（1. 天津工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 天津 300387；2. 天津市現(xiàn)代機(jī)電裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 天津 300387）

折展機(jī)構(gòu)是一類能夠從收攏狀態(tài)展開至預(yù)定結(jié)構(gòu)形式且能承受特定載荷的機(jī)構(gòu)[1-2]。折展機(jī)構(gòu)收攏時(shí)具有較小的體積，便于運(yùn)輸和儲存，展開時(shí)具有較大的包絡(luò)體積和工作面積。目前，折展機(jī)構(gòu)被廣泛應(yīng)用于土木工程、航空航天和醫(yī)療等領(lǐng)域[3-12]。

在工程應(yīng)用中，泊松比是一個(gè)重要的材料參數(shù)，其定義為材料橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變的比值，可用于計(jì)算材料的應(yīng)力狀態(tài)和變形特性。大多數(shù)常見的工程材料具有正泊松比，即其在受壓時(shí)橫向膨脹。相比之下，負(fù)泊松比材料在受壓時(shí)橫向收縮，這種材料在抗剪承載力、抗斷裂性、能量吸收和壓陷阻力等方面比傳統(tǒng)材料更具優(yōu)勢。因此，國內(nèi)外學(xué)者針對負(fù)泊松比材料提出了多種設(shè)計(jì)方法。Yang等[13]通過將傳統(tǒng)蜂窩網(wǎng)格結(jié)構(gòu)擴(kuò)展至三維空間的方式，設(shè)計(jì)了一種可在三維空間內(nèi)壓縮的負(fù)泊松比超材料；Babaee等[14]利用屈曲分析方法設(shè)計(jì)了一種彈性球殼結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)在受到壓縮載荷時(shí)橫向收縮，從而實(shí)現(xiàn)三維負(fù)泊松比效應(yīng)；Grima 等[15]通過將正方形胞元的頂點(diǎn)連接成柔性鉸鏈，使正方形能夠直接發(fā)生相對轉(zhuǎn)動(dòng)，從而設(shè)計(jì)得到一種具有負(fù)泊松比效應(yīng)的二維超材料。

折紙技術(shù)作為一種設(shè)計(jì)新結(jié)構(gòu)和超材料的方法，近年來受到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注。受折紙啟發(fā)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)不僅可實(shí)現(xiàn)平面與空間之間復(fù)雜形狀的轉(zhuǎn)換，而且可獲得一些在傳統(tǒng)材料設(shè)計(jì)和合成中難以實(shí)現(xiàn)的特殊力學(xué)性能[16]。此外，折紙結(jié)構(gòu)在面內(nèi)的折疊變形使其非常適用于拉脹材料的設(shè)計(jì)，因此各種折紙折痕單元被廣泛應(yīng)用于負(fù)泊松比超材料[17]。例如，具有單自由度的三浦折紙圖案[18-19]是使用最廣泛的折紙圖案之一，其已被證明具有大折展率、負(fù)泊松比和各向異性剛度[20-22]。Yang 等[23]受折紙啟發(fā)，提出了一種模塊化可重構(gòu)超材料，將由Sarrus機(jī)構(gòu)和平面四桿機(jī)構(gòu)組成的可轉(zhuǎn)換模塊按照鑲嵌模式連接，以形成周期性結(jié)構(gòu)；Chen等[24]對廣義四折痕折紙的幾何力學(xué)進(jìn)行了研究，為材料面內(nèi)泊松比和面內(nèi)剛度的逆設(shè)計(jì)提供了理論基礎(chǔ)，并通過三浦折紙進(jìn)行了驗(yàn)證；Wang等[25]提出了一種新的二維可控孔隙率拉脹材料設(shè)計(jì)方法，結(jié)果表明，花生形孔比橢圓形孔具有更大的泊松比和更小的應(yīng)力。

相對于負(fù)泊松比的結(jié)構(gòu)和材料，變泊松比的結(jié)構(gòu)和材料則更少見。Taylor等[26]提出了一種新方法來設(shè)計(jì)抗沖擊彈性體結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)具有變泊松比特性，故其沖擊響應(yīng)較好，被廣泛應(yīng)用于沖擊和保護(hù)裝置；Fleisch等[27]通過在傳統(tǒng)晶胞中引入不對稱性，提出了2種泊松比可變的結(jié)構(gòu)；Pratapa等[28]將三浦折紙與蛋殼狀折痕相結(jié)合，設(shè)計(jì)了一種名為Morph的折紙機(jī)構(gòu)，可通過改變山谷折痕的分布使折紙機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)正、負(fù)泊松比的切換，并構(gòu)建了拉伸和彎曲狀態(tài)下的泊松比計(jì)算公式；Khan等[29]基于傳統(tǒng)蜂窩網(wǎng)格設(shè)計(jì)了一種具有可調(diào)控泊松比的超材料，并加入了壓電材料，實(shí)現(xiàn)了泊松比與機(jī)電特性的耦合調(diào)節(jié)。

然而，目前大多數(shù)折展機(jī)構(gòu)具有正泊松或零泊松運(yùn)動(dòng)特性，具有變泊松運(yùn)動(dòng)特性的折展機(jī)構(gòu)極少。為此，筆者以折紙機(jī)構(gòu)為基礎(chǔ)，提出一種單閉環(huán)厚板支撐單元，并對其支撐剛度進(jìn)行分析。然后，根據(jù)泊松比的定義，設(shè)計(jì)了一種具有變泊松運(yùn)動(dòng)特性的正n邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)，并以機(jī)構(gòu)不發(fā)生物理干涉為前提，以折展機(jī)構(gòu)可無限縱向擴(kuò)展為設(shè)計(jì)目標(biāo)，基于機(jī)構(gòu)學(xué)理論來闡述機(jī)構(gòu)模塊化擴(kuò)展的原理和過程。最后，通過建立折展機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和虛擬樣機(jī)模型來分析其運(yùn)動(dòng)規(guī)律及特點(diǎn)。

1 單閉環(huán)厚板模型

本文提出了一種正n邊形的單閉環(huán)折紙模型（n=2ξ+2，ξ∈N*，N*為正整數(shù)集），如圖1所示。其中：正n邊形的外角φ=360°/n。

圖1 正n邊形單閉環(huán)折紙模型的折痕分布示意Fig.1 Crease distribution diagram of regular n-sided single-closed-loop origami model

當(dāng)n=4時(shí)，該模型由4個(gè)全等的L形紙板和4個(gè)全等的矩形紙板組成。4 個(gè)L 形紙板的形心Su(u=1,2, …, 4)與正四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)重合；正四邊形的4條邊可以看成4條支鏈Lu，支鏈Lu由1個(gè)矩形紙板Fu經(jīng)轉(zhuǎn)動(dòng)副Ruv(v=1, 2, …, 4)與相鄰2個(gè)L形紙板相連，各紙板的連接關(guān)系如圖2所示。

圖2 正四邊形單閉環(huán)折紙模型Fig.2 Regular quadrilateral single-closed-loop origami model

將圖2 所示的折紙模型轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的厚板模型，如圖3(a)所示，各個(gè)板件均剛性連接且厚度相同，其中θ為L 形板件與矩形板件之間的夾角，且θ∈[0°, 180°]。通過共用板件的方式進(jìn)行模塊化擴(kuò)展，得到對應(yīng)的擴(kuò)展模型，如圖3(b)所示。

圖3 正四邊形厚板模型的擴(kuò)展Fig.3 Extension of regular quadrilateral thick plate model

正四邊形厚板擴(kuò)展模型可用于三明治結(jié)構(gòu)。目前，三明治結(jié)構(gòu)常用的夾芯層形狀主要有幾字形、梯形、蜂窩形和拱形等，如圖4所示。

圖4 常用的夾芯層形狀Fig.4 Common shapes of sandwich layer

三明治結(jié)構(gòu)作為支撐結(jié)構(gòu)應(yīng)用時(shí)須具備較高的剛度，因此對其進(jìn)行靜剛度分析是至關(guān)重要的。將4 種常用的三明治結(jié)構(gòu)與夾芯層采用θ=60°，90°和120°（銳角、直角和鈍角狀態(tài)下各取一種）的正四邊形厚板擴(kuò)展模型的三明治結(jié)構(gòu)進(jìn)行對比分析。各夾芯層均采用相同的材料和結(jié)構(gòu)尺寸，密度、楊氏彈性模量和泊松比分別取7.58×103kg/m3，2.6×106MPa 和0.3，高度、長度和寬度分別為35，530，115 mm。夾芯層為正四邊形厚板擴(kuò)展模型的三明治結(jié)構(gòu)的面板設(shè)計(jì)參數(shù)如表1 所示。4 種常用三明治結(jié)構(gòu)的面板參數(shù)與采用θ=90°的正四邊形厚板擴(kuò)展模型的三明治結(jié)構(gòu)相同。在ANSYS Workbench 軟件中建立7 種三明治結(jié)構(gòu)的有限元分析模型，在其頂部面板上施加50 N 的均布載荷（方向垂直向下）并進(jìn)行靜力學(xué)分析，結(jié)果如圖5所示。

表1 3種新三明治結(jié)構(gòu)的面板設(shè)計(jì)參數(shù)Table 1 Panel design parameters for three new sandwich structures 單位：mm

圖5 7種三明治結(jié)構(gòu)的變形云圖Fig.5 Deformation nephogram of seven sandwich structures

7 種三明治結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力、最大變形量和夾芯層質(zhì)量如表2所示。由表2可知，在承受相同載荷的條件下，夾芯層采用正四邊形厚板擴(kuò)展模型時(shí)，三明治結(jié)構(gòu)的質(zhì)量最小且其應(yīng)力、變形量較小；在夾芯層同為正四邊形厚板擴(kuò)展模型時(shí)，在3種波紋形狀中，θ=60°時(shí)的應(yīng)力、變形量最小，θ=120°時(shí)的應(yīng)力、變形量最大。

表2 7種三明治結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力、最大變形量和夾芯層質(zhì)量Table 2 Maximum stress, maximum deformation and sandwich layer mass of seven sandwich structures

2 具有變泊松運(yùn)動(dòng)特性的剪叉式折展機(jī)構(gòu)

2.1 正n邊形厚板模型的等效機(jī)構(gòu)模型

通過上文分析可知，夾芯層為正四邊形厚板擴(kuò)展模型的三明治結(jié)構(gòu)具有很好的支撐效果，故對其進(jìn)行深入研究。分別取4個(gè)θ=60°和4個(gè)θ=120°的厚板模型組成正四邊形支撐結(jié)構(gòu)，在其模型上表面施加50 N 的均布載荷（方向垂直上表面向下），對其進(jìn)行靜力學(xué)分析，結(jié)果如圖6 所示。由圖6 可以看出，當(dāng)θ=60°時(shí)，正四邊形支撐結(jié)構(gòu)在X和Y方向上均呈“壓縮”趨勢，即具有負(fù)泊松比效應(yīng)；當(dāng)θ=120°時(shí)，該結(jié)構(gòu)在X和Y方向上均呈“壓脹”趨勢，即具有正泊松比效應(yīng)。由此可知，通過改變正四邊形支撐結(jié)構(gòu)中θ的大小，即可實(shí)現(xiàn)其正負(fù)泊松比的改變，即變泊松比特性。

圖6 夾角θ對正四邊形支撐結(jié)構(gòu)泊松比效應(yīng)的影響Fig.6 Ⅰnfluence of included angle θ on Poisson's ratio effect of regular quadrilateral support structure

將2個(gè)正n邊形厚板模型按圖7所示的方式構(gòu)造正n邊形剪叉式厚板模型，并在此基礎(chǔ)上將其進(jìn)一步等效為桿件模型，其對應(yīng)的機(jī)構(gòu)命名為具有變泊松運(yùn)動(dòng)特性的剪叉式折展機(jī)構(gòu)。

圖7 正n邊形厚板模型的等效機(jī)構(gòu)模型Fig.7 Equivalent mechanism model of regular n-sided thick panel model

2.2 正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)有限元仿真

鑒于圖7所示正n邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)在縱向上的構(gòu)造相同，選取正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)為例，對機(jī)構(gòu)的靜力學(xué)特性進(jìn)行有限元仿真分析。在折展機(jī)構(gòu)模型上表面的4個(gè)桿件上分別施加12.5 N的均布載荷（方向垂直向下），對下表面的4個(gè)桿件施加固定約束，仿真分析結(jié)果如圖8和圖9所示。由圖8和圖9可以看出，正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)與圖6所示的正四邊形支撐結(jié)構(gòu)具有相同的變泊松比效應(yīng)，即當(dāng)θ=60°時(shí)，折展機(jī)構(gòu)在X和Y方向上均呈壓縮趨勢，即具有負(fù)泊松比效應(yīng)；當(dāng)θ=120°時(shí)，折展機(jī)構(gòu)在X和Y方向上均呈壓脹趨勢，即具有正泊松比效應(yīng)。

圖8 θ=60°時(shí)正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)的負(fù)泊松比效應(yīng)示意Fig.8 Schematic of ngative Poisson' ratio effect of regular quadrilateral scissor deployable mechanism with θ=60°

圖9 θ=120°時(shí)正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)的正泊松比效應(yīng)示意Fig.9 Schematic of positive Poisson' ratio effect of regular quadrilateral scissor deployable mechanism with θ=120°

圖10所示為θ不同時(shí)正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)在軸向壓縮載荷作用下的橫向應(yīng)變。由圖10可以看出，該折展機(jī)構(gòu)沿X和Y方向的應(yīng)變分布幾乎一致，且當(dāng)θ∈(0°, 90°)時(shí)，折展機(jī)構(gòu)在對應(yīng)位姿下的橫向應(yīng)變均小于0，呈壓縮趨勢，即具有負(fù)泊松比效應(yīng)；當(dāng)θ∈(90°, 180°)時(shí)，折展機(jī)構(gòu)在對應(yīng)位姿下的橫向應(yīng)變均大于0，呈壓脹趨勢，即具有正泊松比效應(yīng)；當(dāng)θ=90°時(shí)，折展機(jī)構(gòu)在對應(yīng)位姿下的橫向應(yīng)變等于0，即具有零泊松比效應(yīng)。由此可知，通過改變正n邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)中θ的大小，即可實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)泊松比的調(diào)節(jié)。

圖10 正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)橫向應(yīng)變的變化曲線Fig.10 Variation curve of transverse strain of regular quadrilateral scissor deployable mechanism

3 剪叉式折展機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

3.1 機(jī)構(gòu)自由度分析

為了分析正n邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)的自由度，建立其空間笛卡爾坐標(biāo)系O11X11Y11Z11，如圖11 所示（以正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)為例）。其中：X11軸、Y11軸與底部正四邊形的2條鄰邊重合，其交點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)O11，Z11軸由右手定則確定。A1i～E1i（i∈[1,n]）為轉(zhuǎn)動(dòng)副，桿件A11D11與X11軸的夾角為θ，桿件O1iB1i和桿件A1iO1i+1的長度為a，桿件A1iD1i和桿件B1iC1i的長度為b，桿件A1iE1i、B1iE1i、C1iE1i、D1iE1i的長度為c，其中b=2c。

基于圖論和螺旋理論，用圓圈表示桿件，線條表示運(yùn)動(dòng)副，帶數(shù)字的運(yùn)動(dòng)旋量表示不同關(guān)節(jié)處的運(yùn)動(dòng)，如用$1表示連接桿件A11D11與B11C11的轉(zhuǎn)動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)，即可得到具有變泊松運(yùn)動(dòng)特性的正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)的旋量約束拓?fù)鋱D，如圖12所示。

圖12 正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)的旋量約束拓?fù)鋱DFig.12 Screw constraint topology graph of regular quadrilateral scissor deployable mechanism

根據(jù)連接桿件A11D11與桿件B11C11的轉(zhuǎn)動(dòng)副1 的空間位置坐標(biāo)，可得：

式中：r1為轉(zhuǎn)動(dòng)副1的空間位置矩陣。

則轉(zhuǎn)動(dòng)副1的轉(zhuǎn)軸所在軸線的方向矢量為：

根據(jù)螺旋理論，可得轉(zhuǎn)動(dòng)副1的運(yùn)動(dòng)螺旋，其單位螺旋的表達(dá)式為：

同理，可得圖12中其他運(yùn)動(dòng)螺旋的表達(dá)式。定義ωk表示相應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)副的角速度，針對圖12中的閉環(huán)Ⅰ～Ⅳ，建立相應(yīng)的旋量約束方程，則可得正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)的旋量約束方程：

式中：0為六維零向量。

將式(4)寫成矩陣的形式，可得：

其中：

由此可知，旋量約束矩陣M為24×20矩陣。正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)的自由度對應(yīng)旋量約束矩陣的零空間維數(shù)，通過MATLAB軟件計(jì)算可得：

旋量約束矩陣M的列數(shù)為20，其零空間維數(shù)為列數(shù)減去秩，因此可得正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)的自由度為1。

3.2 機(jī)構(gòu)模塊化擴(kuò)展

將一系列折展機(jī)構(gòu)單元模塊按一定的機(jī)構(gòu)學(xué)原理連接在一起，即可構(gòu)成大尺度折展機(jī)構(gòu)。對于包含m(m≥3)層模塊的剪叉式折展機(jī)構(gòu)，(m-2)層中間模塊通過共用桿件的方式上下正反交替地安裝在頂部模塊與底部模塊之間，如圖13所示。通過模塊化疊加，即可實(shí)現(xiàn)整個(gè)折展機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)行程的比例放大。

圖13 m層正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)Fig.13 Regular quadrilateral scissor deployable mechanism with m-layer

與傳統(tǒng)可展機(jī)構(gòu)相比，上述剪叉式折展機(jī)構(gòu)具有以下優(yōu)點(diǎn)：

1）僅含轉(zhuǎn)動(dòng)副，不易出現(xiàn)卡死現(xiàn)象，運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性高。

2）可模塊化擴(kuò)展，通過改變中間模塊的數(shù)量即可改變整體伸縮量。

3）機(jī)構(gòu)為單驅(qū)動(dòng)輸入，便于操作和控制。

4）機(jī)構(gòu)具有變泊松運(yùn)動(dòng)特性，其展開時(shí)面積大，收縮時(shí)面積小。

3.3 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

在m層正n邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)中，1個(gè)剪叉桿件和4個(gè)L形桿件構(gòu)成一個(gè)側(cè)面單元。令第1層正n邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)中的第1個(gè)側(cè)面單元的體坐標(biāo)系O11X11Y11Z11為基坐標(biāo)系，如圖11所示，該側(cè)面單元上的點(diǎn)表示為P11；按照逆時(shí)針方向，坐標(biāo)系O12X12Y12Z12為第1 層中第2 個(gè)側(cè)面單元的體坐標(biāo)系，該側(cè)面單元上的點(diǎn)表示為P12，以此類推可得P13、P14、…、P1n；同理，第h(1＜h≤m)層中n個(gè)側(cè)面單元上的點(diǎn)表示為Ph1、Ph2、…、Phn。在第h層剪叉式折展機(jī)構(gòu)展開過程中，坐標(biāo)系OhiXhiYhiZhi到Oh(i+1)Xh(i+1)Yh(i+1)Zh(i+1)的變換過程可看作：坐標(biāo)系OhiXhiYhiZhi從點(diǎn)Ohi平移到Oh(i+1)，再繞Zhi軸的正方向旋轉(zhuǎn)φ。在m層正n邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)中，點(diǎn)Oh(i+1)在坐標(biāo)系OhiXhiYhiZhi中的位置矩陣hiOh(i+1)可表示為：

因此，從坐標(biāo)系OhiXhiYhiZhi到Oh(i+1)Xh(i+1)Yh(i+1)Zh(i+1)的變換矩陣hiTh(i+1)為：

坐標(biāo)系OhiXhiYhiZhi到O(h+1)iX(h+1)iY(h+1)iZ(h+1)i的變換可看作坐標(biāo)系OhiXhiYhiZhi從點(diǎn)Ohi平移到O(h+1)i。O(h+1)i在坐標(biāo)系OhiXhiYhiZhi中的位置矩陣hiO(h+1)i可表示為：

則從坐標(biāo)系OhiXhiYhiZhi到O(h+1)iX(h+1)iY(h+1)iZ(h+1)i的變換矩陣hiQ(h+1)i為：

根據(jù)式(8)和式(10)，可得到各單元與各層之間的變換矩陣。再將式(8)與式(10)相乘，可得從基坐標(biāo)系O11X11Y11Z11到動(dòng)坐標(biāo)系OgjXgjYgjZgj(j=2～n,g=1～m)的變換矩陣11Tgj：

在m層正n邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)中，動(dòng)坐標(biāo)系OgjXgjYgjZgj中任意一點(diǎn)Pgj在基坐標(biāo)系中的位置矩陣Pgj可表示為：

分別對式(12)求關(guān)于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，可得相應(yīng)的速度方程和加速度方程：

對于動(dòng)坐標(biāo)系OgjXgjYgjZgj中的點(diǎn)Pgj，用vXgj、vYgj和vZgj表示其速度分量，用aXgj、aYgj和aZgj表示其加速度分量，設(shè)點(diǎn)P11在基坐標(biāo)系中的位置矩陣P11=［XP110ZP11］T，根據(jù)式(13)和式(14)，可得:

設(shè)定a=200 mm、b=130 mm，建立3層正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)的三維虛擬樣機(jī)模型，通過仿真分析其運(yùn)動(dòng)過程，如圖14所示。其中，桿件A11D11為驅(qū)動(dòng)桿，在θ∈(0°, 180°)范圍內(nèi)以3 (°)/s的角速度作逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)式(12)至式(16)，對該剪叉式折展機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)建模和編程計(jì)算，可得其轉(zhuǎn)動(dòng)副D32處的位移、速度和加速度曲線，如圖15所示。

圖14 3層正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)過程Fig.14 Motion process of regular quadrilateral scissor deployable mechanism with three-layer

圖15 3 層正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)中轉(zhuǎn)動(dòng)副D32處的運(yùn)動(dòng)規(guī)律Fig.15 Motion law at the revolute D32 of three-layer regular quadrilateral scissor deployable mechanism

由圖15可以看出，在3層正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)過程中，其轉(zhuǎn)動(dòng)副D32沿X方向的位移隨著θ的增大而增大，沿Z方向的位移先增大后減小，即當(dāng)θ∈(0°, 90°)時(shí)，機(jī)構(gòu)處于拉脹運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)θ∈(90°, 180°)時(shí)，機(jī)構(gòu)處于壓脹運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。此外，虛擬仿真結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果一致，驗(yàn)證了所建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性和有效性。

3.4 泊松運(yùn)動(dòng)特性分析

結(jié)合材料力學(xué)中關(guān)于泊松比的定義[30]，對于m層正n邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)，令θ=90°時(shí)為機(jī)構(gòu)的初始位形，此時(shí)機(jī)構(gòu)的外接圓直徑mw0和高度mH0為：

當(dāng)θ從90°減小到0°時(shí)，機(jī)構(gòu)處于壓縮運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)θ從90°增大到180°時(shí)，機(jī)構(gòu)處于壓脹運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。2 種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下機(jī)構(gòu)的外接圓直徑mw和高度mH為：

根據(jù)式(17)至式(20)，可得機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中外接圓直徑和高度的變化：

根據(jù)泊松比的定義[30]，機(jī)構(gòu)泊松運(yùn)動(dòng)特性的系數(shù)νP為：

同樣設(shè)a=200 mm、b=130 mm，利用式(23)求得m層正n邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)的泊松運(yùn)動(dòng)特性系數(shù)，如圖16所示。由圖16可以看出，當(dāng)θ∈(0°, 90°)時(shí)，折展機(jī)構(gòu)處于“負(fù)泊松”運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)θ∈(90°, 180°)時(shí)，折展機(jī)構(gòu)處于“正泊松”運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，且折展機(jī)構(gòu)的泊松運(yùn)動(dòng)特性系數(shù)與其層數(shù)和多邊形邊數(shù)無關(guān)，只與L 形桿件的幾何參數(shù)a以及剪叉桿件的幾何參數(shù)b有關(guān)。此外，當(dāng)θ趨近于90°時(shí)，折展機(jī)構(gòu)的泊松運(yùn)動(dòng)特性系數(shù)趨近于無窮大，即在θ=90°的δ鄰域(90°-δ, 90°+δ)內(nèi)，折展機(jī)構(gòu)很小的高度變化即可引起較大的橫截面尺寸變化。

圖16 正n 邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)泊松運(yùn)動(dòng)特性系數(shù)的變化曲線Fig.16 Variation curve of Poisson motion characteristic coefficient of regular n-sided scissor deployable mechanism

綜上所述，隨著θ的變化，正n邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)泊松運(yùn)動(dòng)特性的變化。由2.1和2.2節(jié)可知，機(jī)構(gòu)在任意角度處鎖定時(shí)，可形成對應(yīng)的剪叉式折展支撐結(jié)構(gòu)，θ∈(0°, 90°)時(shí)的支撐結(jié)構(gòu)具有負(fù)泊松比特性，θ∈(90°, 180°)時(shí)的支撐結(jié)構(gòu)具有正泊松比特性。因此，正n邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)可以通過變泊松運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)支撐結(jié)構(gòu)的變泊松比特性。基于3D打印技術(shù)搭建了正四邊形支撐結(jié)構(gòu)與正四邊形剪叉式折展支撐結(jié)構(gòu)的實(shí)物樣機(jī)，分別如圖17 和圖18所示。

圖17 正四邊形支撐結(jié)構(gòu)樣機(jī)研制Fig.17 Development of regular quadrilateral support structure prototype

圖18 正四邊形剪叉式折展支撐結(jié)構(gòu)樣機(jī)研制Fig.18 Development of regular quadrilateral scissor deployable support structure prototype

4 結(jié) 論

1）根據(jù)三明治結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，提出一種正n邊形分布的單閉環(huán)折紙模型，將折紙模型轉(zhuǎn)化為厚板模型，通過共用板件的方法進(jìn)行模塊化擴(kuò)展。運(yùn)用ANSYS Workbench軟件對7種三明治結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元分析，得到夾芯層為正四邊形厚板擴(kuò)展模型的三明治結(jié)構(gòu)的支撐剛度較大且質(zhì)量最小。

2）運(yùn)用圖論和螺旋理論，計(jì)算得到正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)的自由度為1；基于機(jī)構(gòu)模塊化組成原理，闡述了機(jī)構(gòu)模塊化縱向擴(kuò)展的過程，并構(gòu)造了具有變泊松運(yùn)動(dòng)特性的m層正n邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)。

3）運(yùn)用變換矩陣法建立了剪叉式折展機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，提出了描述機(jī)構(gòu)泊松運(yùn)動(dòng)特性的系數(shù)，并以3層正四邊形剪叉式折展機(jī)構(gòu)為例，基于數(shù)值計(jì)算和虛擬仿真技術(shù)驗(yàn)證了所構(gòu)建的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性。

4）提出了一種可實(shí)現(xiàn)支撐結(jié)構(gòu)變泊松比特性的方法，并運(yùn)用3D打印技術(shù)搭建了正四邊形支撐結(jié)構(gòu)與正四邊形剪叉式折展支撐結(jié)構(gòu)的實(shí)物樣機(jī)，驗(yàn)證了所提出方法的可行性，這可為后續(xù)的研究提供理論基礎(chǔ)。