基于WOA-EKF和MPC的永磁同步電機(jī)無位置傳感器矢量控制

崔鵬龍,徐善永

(安徽理工大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院,安徽 淮南 232001)

永磁同步電機(jī)(Permanent Magnet Synchronous Motor,PMSM)的矢量控制需要位置傳感器對轉(zhuǎn)子位置進(jìn)行實(shí)時(shí)檢測,而這類傳感器的引入不僅降低了系統(tǒng)的可靠性,而且增加了系統(tǒng)硬件成本,因此,對于電機(jī)無位置傳感器的研究成為了研究熱點(diǎn)?；跀U(kuò)展卡爾曼濾波器(Extended Kalman Filter,EKF)的無位置傳感器控制方案不僅可以在相對較寬的速度范圍內(nèi)對轉(zhuǎn)子位置進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì),而且在存在系統(tǒng)誤差與測量誤差的情況下仍可對系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行有效估計(jì),并且具有收斂速度快、動態(tài)性能好、抗干擾能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)[1]。但是EKF的性能嚴(yán)格依賴于噪聲協(xié)方差矩陣的選取,如果選取不當(dāng),系統(tǒng)響應(yīng)很難達(dá)到理想的情況,甚至?xí)霈F(xiàn)濾波發(fā)散、系統(tǒng)失穩(wěn)[2]。通常情況下,EKF中的噪聲協(xié)方差矩陣是未知的或者很難獲取其真實(shí)值,一般通過多次試湊來確定其值,這樣不僅耗時(shí),而且具有一定的盲目性。對此,文獻(xiàn)[3]采用遺傳算法(GA)對其尋優(yōu),取得了理想的效果。文獻(xiàn)[4]則采用多目標(biāo)非支配排序遺傳算法-II(NSGA-II)將速度和轉(zhuǎn)矩同時(shí)作為優(yōu)化的目標(biāo),實(shí)現(xiàn)了噪聲協(xié)方差矩陣的多目標(biāo)優(yōu)化。

鯨魚優(yōu)化算法[5](Whale Optimization Algorithm,WOA)于2016年由澳大利亞學(xué)者M(jìn)irjalili等提出,該算法啟發(fā)于自然界中座頭鯨的捕食行為,屬于群智能優(yōu)化算法的一種,具有調(diào)整參數(shù)少、算法整體穩(wěn)定性高、收斂速度快等優(yōu)點(diǎn)。本文將其應(yīng)用在了噪聲協(xié)方差矩陣的優(yōu)化上,并取得了較為理想的優(yōu)化結(jié)果。

隨著對電機(jī)控制性能的要求越來越高,傳統(tǒng)的PI控制器難以適應(yīng)于電機(jī)的高性能應(yīng)用場所,而模型預(yù)測控制[6](MPC)具有原理簡單、動態(tài)響應(yīng)快、對模型的準(zhǔn)確性要求不高、易于包含約束項(xiàng)、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn),在電力傳動領(lǐng)域引起了眾多學(xué)者研究。由于EKF具有延遲效應(yīng),使得系統(tǒng)在負(fù)載突變時(shí),轉(zhuǎn)速跌落較大,目前為提高永磁同步電機(jī)控制系統(tǒng)的抗負(fù)載擾動能力,國內(nèi)外主要采用負(fù)載擾動前饋補(bǔ)償?shù)姆椒╗7]。

綜上,本文采用了鯨魚優(yōu)化算法對噪聲協(xié)方差矩陣進(jìn)行尋優(yōu),另外將傳統(tǒng)的PI控制器替換為MPC控制器,并引入了Luenberger負(fù)載觀測器,增強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性和快速性,仿真結(jié)果表明了本文所采用方案的有效性。

1 PMSM數(shù)學(xué)模型

在忽略空間諧波,不考慮磁路飽和,忽略鐵心損耗等情況下,表貼式PMSM在α-β坐標(biāo)系下電流狀態(tài)方程為

(1)

式中:uα、uβ,iα、iβ分別為α-β坐標(biāo)系下的定子電壓、電流;Rs、L、ψf分別為定子電阻、定子電感和永磁體磁鏈;ωe、θe分別為轉(zhuǎn)子電角速度和電角度。

(2)

表貼式永磁同步電機(jī)在旋轉(zhuǎn)正交坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)矩方程、運(yùn)動方程分別為

(3)

(4)

式中:iq為旋轉(zhuǎn)正交坐標(biāo)系下的q軸定子電流;Te為電磁轉(zhuǎn)矩;pn為永磁同步電機(jī)極對數(shù);TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩;J為轉(zhuǎn)動慣量;B為摩擦系數(shù);ωm為轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度。

根據(jù)狀態(tài)方程(2)可構(gòu)建如下的非線性數(shù)學(xué)模型,即

(5)

y(t)=Hx(t) ,

(6)

其中,x=[iαiβωeθe]T,

u=[uαuβ]T,

y=[iαiβ]T,

式中:x為狀態(tài)變量;u為輸入向量;y為輸出向量;B為輸入矩陣;H為輸出矩陣。

為了適應(yīng)EKF算法,這里需要對f(x)進(jìn)行線性化,進(jìn)而得到系統(tǒng)的雅可比矩陣,即

2 基于鯨魚優(yōu)化算法的擴(kuò)展卡爾曼濾波器

2.1 基于EKF的狀態(tài)估計(jì)

假設(shè)離散化的采用周期為T,同時(shí)考慮到系統(tǒng)噪聲W(k)和測量噪聲V(k+1),根據(jù)式(5)～(6)可得

x(k+1)=x(k)+T[f(x)+Bu(k)]+W(k),

(7)

y(k+1)=H[x(k+1)]+V(k+1),

(8)

式中:W(k)、V(k+1)為互不相關(guān)的高斯白噪聲,其協(xié)方差矩陣分別為Q、R。

由式(7)～(8),并根據(jù)EKF的遞推公式,即可完成對PMSM轉(zhuǎn)子位置及轉(zhuǎn)速的在線遞推估計(jì)。具體步驟如下:

(9)

2) 預(yù)測狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣,有

(10)

3) 計(jì)算卡爾曼增益矩陣,有

(11)

4) 根據(jù)測量值y(k+1)以及EKF的增益矩陣Kk+1對步驟1)中的狀態(tài)預(yù)測值進(jìn)行反饋校正,則

5) 更新狀態(tài)預(yù)測誤差的協(xié)方差矩陣,為下一次的狀態(tài)估計(jì)做準(zhǔn)備,有

(13)

以上遞推迭代過程中的噪聲協(xié)方差矩陣Q、R對EKF的性能影響較大,只有在選取合適的噪聲協(xié)方差矩陣的情況下,EKF才能對系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行有效、可靠的估計(jì)。

2.2 鯨魚算法優(yōu)化噪聲協(xié)方差矩陣

鯨魚優(yōu)化算法主要由圍捕獵物、氣泡網(wǎng)捕食和搜索獵物3個階段組成,其具體尋優(yōu)過程可以參考相關(guān)文獻(xiàn)。

通常將噪聲協(xié)方差矩陣設(shè)置為[8]

Q=diag[q11q11q2q3],

R=diag[r11r11],

式中:q11、q2、q3、r11即為4個待優(yōu)化的參數(shù)。

本文以電機(jī)的實(shí)際轉(zhuǎn)速與估計(jì)轉(zhuǎn)速之差的平方對時(shí)間的積分作為適應(yīng)度函數(shù),即

(14)

式中:e(t)為實(shí)際轉(zhuǎn)速和估計(jì)轉(zhuǎn)速的差值。

鯨魚優(yōu)化算法對噪聲協(xié)方差矩陣的優(yōu)化過程如圖1所示,其中的性能指標(biāo)即式(14)的適應(yīng)度值。

圖1 鯨魚算法優(yōu)化噪聲協(xié)方差矩陣過程

3 基于MPC的速度環(huán)設(shè)計(jì)

模型預(yù)測控制基本原理如圖2所示,主要包括預(yù)測模型、反饋校正和滾動優(yōu)化3個部分[9]。

圖2 模型預(yù)測控制結(jié)構(gòu)框圖

3.1 速度環(huán)預(yù)測模型

對式(4)進(jìn)行前向歐拉離散化,并將式(3)代入其中,整理可得

(15)

式中:Ts為速度環(huán)的采樣周期;ωm(k)為kT時(shí)刻的實(shí)際轉(zhuǎn)速。

由上式可得

(16)

由于采樣周期比較小,即認(rèn)為TL在相鄰的采樣周期內(nèi)是不變的。由式(15)減去式(16),可得轉(zhuǎn)速預(yù)測模型,即

(17)

則式(17)可簡寫為

(18)

3.2 轉(zhuǎn)速反饋校正

根據(jù)k時(shí)刻模型預(yù)測輸出誤差對k+1時(shí)刻的預(yù)測轉(zhuǎn)速進(jìn)行反饋校正。

ωp(k+1)=ωmp(k+1)+e(k),

(19)

e(k)=ωm(k)-ωmp(k),

(20)

式中:e(k)為k時(shí)刻的預(yù)測偏差;ωp(k+1)即為經(jīng)過修正后的k+1時(shí)刻的預(yù)測轉(zhuǎn)速。

3.3 轉(zhuǎn)速參考軌跡

為了使實(shí)際轉(zhuǎn)速向設(shè)定值平滑過渡,通常取如下形式的一階指數(shù)變化的參考軌跡,即

ωr(k+1)=αωm(k)+(1-α)ωref(k),

(21)

式中:ωref(k)為轉(zhuǎn)速的設(shè)定值;ωr(k+1)為轉(zhuǎn)速參考軌跡;α為柔滑系數(shù),α∈(0,1)。

3.4 優(yōu)化準(zhǔn)則

J=q[ωp(k+1)-ωr(k+1)]2+

(22)

式中:q、r為加權(quán)系數(shù),分別表示對轉(zhuǎn)速跟蹤誤差和q軸電流變化的抑制程度。

e(k)-ωr(k+1)].

(23)

則k時(shí)刻的q軸電流給定值為

(24)

4 Luenberger負(fù)載觀測器設(shè)計(jì)

根據(jù)永磁同步電機(jī)的運(yùn)動方程與TL為階躍常值型負(fù)載的假設(shè),可得

(25)

取狀態(tài)變量x=[ωmTL]T,輸出向量y=ωm,可得如下的狀態(tài)空間表達(dá)式,即

(26)

由式(25)可構(gòu)建如下閉環(huán)狀態(tài)觀測器方程,即

(27)

上式可簡寫為

(28)

(29)

由式(29)可得如下的特征多項(xiàng)式,即

(30)

設(shè)系統(tǒng)矩陣(A-GC)所期望的閉環(huán)極點(diǎn)為λ1、λ2,則對應(yīng)的期望特征多項(xiàng)式為

p*(s)=(s-λ1)(s-λ2)=s2-(λ1+λ2)s+λ1λ2.

(31)

對比式(30)～(31)可得輸出偏差反饋增益矩陣為

5 仿真驗(yàn)證

本文提出的系統(tǒng)整體框圖如圖3所示,通過Matlab對該控制方案的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。速度環(huán)和電流環(huán)的采樣頻率均為20 kHz,MPC控制器所采用的參數(shù)設(shè)置為:柔化因子取0.998,加權(quán)系數(shù)q∶r=700∶1;d、q軸電流PI控制器的比例、積分系數(shù)均設(shè)置為:Kp2=60、Ki2=4 790;EKF中的狀態(tài)變量初值和誤差協(xié)方差初值分別為:x0=[0.001 0.001 0.001 0.001],P0=diag[0.1 0.1 0.01 1],EKF算法的采樣周期為50 μs;鯨魚優(yōu)化算法中的相關(guān)參數(shù)設(shè)置為:鯨魚種群大小為15,最大迭代次數(shù)為10,4個待優(yōu)化參數(shù)的范圍均設(shè)為[1e-7,100]。系統(tǒng)仿真所采用的永磁同步電機(jī)參數(shù)為:直流母線電壓311 V,定子電阻0.958 Ω,定子電感0.012 H,永磁體磁鏈0.1827 Wb,轉(zhuǎn)動慣量0.000 1 kg·m2,電機(jī)極對數(shù)為4,無阻尼系數(shù)。

圖3 系統(tǒng)整體框圖

5.1 優(yōu)化的EKF仿真曲線

采用鯨魚優(yōu)化算法對噪聲協(xié)方差矩陣尋優(yōu)的仿真環(huán)境設(shè)置為:時(shí)間2 s,空載啟動,給定電機(jī)階躍轉(zhuǎn)速1 000 r/min,在0.8 s時(shí)加5 N·m的階躍負(fù)載。最終得到的優(yōu)化參數(shù)為

Q=[2.9262e-7,2.9262e-7,4.2292,2.9262e-7],R=[3.9044,3.9044].

圖4為采用經(jīng)過優(yōu)化的Q、R進(jìn)行轉(zhuǎn)速估計(jì)的結(jié)果,可以看出:實(shí)際轉(zhuǎn)速和估計(jì)轉(zhuǎn)速幾乎重合,說明采用鯨魚優(yōu)化算法進(jìn)行尋優(yōu)的有效性。

圖4 實(shí)際轉(zhuǎn)速與估計(jì)轉(zhuǎn)速對比曲線

5.2 不同控制方法下的空載啟動及抗負(fù)載干擾性能對比仿真

為了表明MPC配合Luenberger觀測器的優(yōu)越性,將其與單獨(dú)的MPC控制器以及PI控制器進(jìn)行了對比仿真,此時(shí)的仿真環(huán)境為:時(shí)間4 s,電機(jī)空載起動,給定階躍轉(zhuǎn)速1 000 r/min,0.8 s時(shí)加5 N·m階躍負(fù)載,3 s時(shí)去掉負(fù)載,1.5 s時(shí)轉(zhuǎn)速為800 r/min,2.5 s時(shí)轉(zhuǎn)速為1 200 r/min。仿真曲線如圖5所示,可以看到:MPC配合Luenberger觀測器的方案無論是在啟動階段還是加載、變速階段都表現(xiàn)出了優(yōu)越的性能。

圖5 不同控制方法下的轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線

6 結(jié)論

1) 經(jīng)過鯨魚優(yōu)化算法優(yōu)化后的EKF使得系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)準(zhǔn)確,表明了在選取合適的噪聲協(xié)方差矩陣的條件下,EKF是一種性能優(yōu)越的狀態(tài)觀測器。

2) MPC配合Luenberger觀測器的控制方案器提高了基于EKF的無傳感器控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性。