剖析數列中結構不良性問題

■江蘇省鹽城市時楊中學 劉長柏

結構不良性問題的命制對發揮數學學科高考的選拔功能具有重要作用,其給予同學們充分的選擇空間,充分考查同學們對數學本質的理解,引導大家在數學概念與數學方法的學習中重視培養數學核心素養,克服“機械刷題”現象。“結構不良性”問題比開放性問題的范疇更廣,對考查同學們的數學理解能力、數學探究能力是積極和深刻的。

一、結構不良性問題的概念理解及解題策略

所謂“結構不良”,即指構成問題的目標、條件和解決問題的方法三者存在某種不確定性,主要表現在具體情境缺乏足夠的資源,材料不全或參數不完整,問題目標界定不明確,解決問題相應的知識準備不充分,解決方法多樣,所涉及的概念和原理不確定等,因而沒有唯一、標準的答案,并且問題的解答要與多個知識領域相聯系。

結構不良性問題的一般解題流程可概括為:

通讀整個題目,理解題意;選擇適合自己解題突破的條件;把條件代入題目將結構補充完整;根據有關概念性質和公式解題。

二、結構不良性問題的解題突破

突破(1) 先定后動

此類問題,一般先利用數學知識對“定”(確定的條件)進行分析推斷,得出一部分結論;再觀察分析“動”(給定選項的條件),最后結合題干要求選出最優條件(最熟悉,能發揮自己優勢,容易拿分)進行解答。

例1在①a1=20,n∈N*),②Sn=n2-2n+3(n∈N*),Sn為{an}的前n項和,這兩個條件中任選一個,補充在下面問題中,并解答下列問題。

已知數列{an}滿足____。

(1)求數列{an}的通項公式。

(2)對大于1的正整數n,是否存在正整數m,使得a1,an,am成等比數列? 若存在,求m的最小值;若不存在,請說明理由。

注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分。

解析:(1)選擇條件①。

因為an>0,所以

選擇條件②。

由Sn=n2-2n+3,可得當n≥2 時,an=Sn-Sn-1=2n-3。

當n=1時,a1=2不滿足上式。

(2)選擇條件①。

假設存在滿足題意的正整數m,使得a1,an,am成等比數列,則a2n=a1am,即3n+

因為n∈N*且n>1,m∈N*,所以當n=3時,mmin=8。

故存在正整數m,使得a1,an,am成等比數列,m的最小值為8。

選擇條件②。

假設存在滿足題意的正整數m,使得a1,an,am成等比數列,則a2n=a1am。

當m=1時,有a2n=4,即(2n-3)2=4,此時n無正整數解。

當m≥2 時,(2n-3)2=2(2m-3),即

因為n∈N*,所以不可能為正整數。

故不存在正整數m,使得a1,an,am成等比數列。

點評:本題是初始狀態的呈現不確定性的結構不良性問題,試題設計了兩個開放性的可選擇的條件,選擇不同的條件解題的難度是有所不同的。這啟示同學們在解題時要選擇一個適合自己的條件來解決。

突破(2) 先動后定

此類問題,一般利用數學知識對“定”(確定的條件)進行分析推斷,不容易得到明確的結論,必須先觀察分析“動”(給定選項的條件),經過分析推理得到有利于解題的結論,再結合“定”的條件進行解答。

例2設等差數列{an}的前n項和為Sn,已知a1=1,S5=15。

(1)求{an}的通項公式;

(2)設數列{bn}的前n項和為Tn,從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知,使得數列{bn}唯一確定,求{bn}的通項公式。

條件①:Tn+1=Tn+an;條件②:Tn=;條件③:Tn=2an-1。

解析:(1)設等差數列{an}的公差為d。

由a5=a1+4d=1+4d=5,得d=1。

因此,an=a1+(n-1)d=1+n-1=n。

(2)若選條件①。

由Tn+1=Tn+an=Tn+n,得Tn+1-Tn=n。

當n=1時,T2-T1=b2=1;當n=2時,T3-T2=b3=2。

Tn+1-Tn=bn+1=n,但b1值未知,故滿足條件①的數列{bn}不唯一。

若選條件②。

Tn=2bn-=2bn-1 ,當n=1 時,b1=2b1-1,解得b1=1。

當n≥2 時,由Tn=2bn-1,得Tn-1=2bn-1-1,兩式相減可得bn=2bn-2bn-1,即bn=2bn-1。

所以{bn}是以1為首項,2為公比的等比數列,bn=2n-1。

因此,選條件②使得數列{bn}唯一確定,且bn=2n-1。

若選條件③。

Tn=2an-1=2n-1 ,當n=1 時,b1=T1=1。

當n≥2 時,bn=Tn-Tn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1。當n=1時,也滿足此式。

因此,選條件③使得數列{bn}唯一確定,且bn=2n-1。

點評:若直接從“定”的條件出發,則無法直接選出本題的有利條件,所以本題從“動”的條件出發,通過分析推導出有利的條件,再結合“定”的條件,從而解出題目。

突破(3) 先猜后證

高考試題在命制時,問題的初始狀態雖然以同學們熟悉的內容為基礎,但是常立足于知識交匯,體現數學思維的創新。當知識的結合和解題模式超出同學們已有的經驗時,解決問題的操作模式就會變得模糊和不確定,需要大家創造性地構建解題路徑,探尋解題的方法。

例3甲、乙兩名同學在學習時發現他們曾經做過的一道數列題目因紙張被破壞,導致一個條件看不清楚,具體如下:等比數列{an}的前n項和為Sn,已知____。

(1)判斷S1,S2,S3的關系并給出證明。

(2)若a1-a3=3,設的前n項和為Tn,證明

甲同學記得缺少的條件是首項a1的值,乙同學記得缺少的條件是公比q的值,并且他倆都記得第一問的答案是S1,S3,S2成等差數列。

如果甲、乙兩名同學記得的答案是正確的,請通過推理把條件補充完整并解答此題。

解析:(1)補充的條件為

S1,S2,S3的關系為S1,S3,S2成等差數列。

證明如下。

以上兩式相減,可得:

點評:此類問題是命制問題目標界定不明確的結構不良性問題。它以結論為條件,將目標狀態進行轉化,尋求缺失條件,既合乎常規,又有新突破,具有很強的開放性和濃厚的創新性。它注重思維的靈活性及策略選擇,對數學理解能力、數學探究能力有較高的要求,體現了對數學抽象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養的考查,對同學們的理性思維和數學探索能力也提出了較高要求。