極值點偏移一擊必中

■河南省濮陽市第一高級中學 袁 媛

極值點偏移問題是高考考查的重難點,通常作為壓軸題出現,往往對思維要求較高,解題過程較為煩瑣,難度較大,同學們處理起來比較困難,甚至無從下手。此類問題以導數為背景考查同學們運用函數與方程、數形結合、轉化與化歸思想解決函數問題的能力,層次性強。下面通過一題多解,系統地講解處理極值點偏移問題的幾種方法,使大家能夠全面、準確地認識極值點偏移問題,掌握其解題技巧和方法,并且根據題目的特點,選擇合適的方法,化難為易、化繁為簡。

一、極值點偏移的定義

已知函數y=f(x)是連續可導函數,在區間(a,b)內只有一個極值點x0,f(x1)=f(x2),且x0在x1與x2之間,由于函數在極值點左右兩側的變化速度不同,導致函數圖像不對稱,使得極值點偏向變化速度快的一側,常常有這種情況,稱為極值點偏移。

二、極值點偏移問題的解題方法

例1f(x)=xlnx-2ax2+x,a∈R,若f(x)有兩個極值點x1,x2,證明:x1+

證明:因為f(x)有兩個極值點x1,x2,所以f′(x)=lnx-4ax+2有兩個零點x1,x2。

令g(x)=lnx-4ax+2,則g′(x)=

分析可知a>0。

方法二(比值消參):

點評:對于與對數有關的極值點偏移問題,一般使用比值消參法,其目的是消參,所以先根據已知條件構造極值點具有的等式關系,然后作差。

方法三(對數均值不等式):

故lnx1-lnx2=4a(x1-x2)。

方法一(對稱化構造):

故h(t)在(1,e)上單調遞增,h(t)

點評:若f(x1)=f(x2),證明x1x2>,對稱化構造的答題模板如下:

(1)對f(x)求導,討論函數f(x)的單調性,求出其極值點x0,然后確定x1,x2的取值范圍,不妨令x1

(3)判斷h′(x1)的正負,h(x1)的單調性;

(4)利用h(x1)的單調性,判斷h(x1)的正負即可得證。

方法二(比值消參):

故h(t)在(0,1)上單調遞增,h(t)

點評:利用比值消參時,也可以先將兩個等式直接作商,得到含有的式子,再換元求解。

方法三(對數均值不等式):