優化解題思路 提高解題素養
——以導數中三類問題的優化為例

■河北南宮中學 韓文娟 霍忠林

不等式證明問題、函數恒成立問題、函數零點問題是導數中最常見的三種題型,這三種問題的“通性通法”就是:通過構造函數,將其轉化為函數的最值問題來處理。對于函數的構造,是直接構造呢? 還是變形后再構造?不同的試題處理策略也是不同的。一般地,“先變形,再構造”往往能化繁為簡,提高解題效率。下面通過幾道試題讓同學們感受“先變形,再構造”的魅力,提醒同學們解題時要有“變形”意識。

題型一、不等式證明問題

例1(2021年全國Ⅰ卷理科第20題改編)已知,證明:g(x)<1。

解析:由題意知函數g(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,1)。

而f(0)=0,故f(x)>f(0)=0。

原命題得證。

評注:本題若直接構造函數f(x)=來處理,解題過程會涉及多次求導,計算也很煩瑣,但是通過等價變形將對數ln(1-x)前的系數化為1,可以減少求導次數,優化解題過程,易于同學們掌握。實際上,在證明含有對數的不等式時,常通過等價變形將對數前的系數化為1,能優化解題過程。比如:在證明“形如f(x)·lnx>g(x)(或f(x)·lnx0)”時,可考慮將其等價轉化為證明來處理,此時只要通過求導,一次便可將lnx“消滅”。

例2(2016年新課標Ⅱ卷理科第21題改編)證明:當x>0 時,(x-2)ex+x+2>0。

解析:當x>0 時,(x-2)ex+x+2>

故原命題得證。

評注:若本題直接構造為f(x)=(x-2)ex+x+2 來證明,需要二次求導才能處理,但是通過變形,只需要求一次導即可。實際上,在證明含有指數的不等式時,常通過等價變形將指數與“其他部分”放在一起,往往能優化解題過程。比如,在證明“形如f(x)·ex>g(x)(或f(x)·ex0)”時,可考慮將其等價轉化為證明”來處理,往往能提高解題效率。

題型二、函數恒成立問題

題型三、函數零點問題

通過上述幾個例題,不難發現“變形”可以為解題帶來便利,但是任何一種解題方法都不是萬能的,并非所有的試題都一定需要變形。因此,同學們在日常的學習中要把知識和方法學“活”,不能盲目地照搬,遇到類似試題時要有“變形”的意識,這樣才能避免思維僵化。