數列遞推公式在求通項公式中的應用

■秦皇島市第一中學 王 珊

遞推公式是表示數列的一種方法,它揭示了相鄰項之間的關系,而項與項數之間的關系比較隱蔽,因此蒙上了一層神秘的面紗,給同學們的學習帶來一定的困難。將隱形的遞推關系轉換為顯性的遞推關系式是求解數列通項公式的關鍵。在解決實際的數列問題時,需要同學們掌握等差與等比數列的定義及辨別方式等基礎性知識,靈活運用歸納法、累加法、累乘法、待定系數法等方法,進而提升大家的邏輯思維能力。

一、歸納法

根據遞推公式計算出數列的某些項,觀察其特征,找出相應的規律,歸納出一般性的結論并加以證明,進而解決問題。

點評:此類題型,一般可以通過解出前幾項,發現其規律,或者確定數列的周期,從而確定數列的通項公式。

二、累加法

形如an+1=an+f(n),可轉化為an+1-an=f(n),進而求出(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1,即得數列{an}的通項公式。

例2已知數列{an}滿足an+1=an+2×3n+1,a1=3,求數列{an}的通項公式。

解析:由an+1=an+2×3n+1,得an+1-an=2×3n+1。

所以an=3n+n-1。

點評:累加法是通過相加抵消中間項,然后整理求通項。解本題的關鍵是把遞推關系式an+1=an+2×3n+1 轉化為an+1-an=2×3n+1,進而求出an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1,最后求得數列{an}的通項公式。

三、累乘法

四、待定系數法

由an+1=pan+q(p,q為 常 數 且p≠1,q≠0)和a1確定數列{an}的通項,這種數列是直接引申等差數列或等比數列得到的數列,如何求這種數列的通項呢? 擺在我們面前的有兩條路:其一是將其轉化為等差數列,其二是將其轉化為等比數列。下面結合本題條件來解答。

例4已知數列{an}滿足an+1=2an+3·5n,a1=6,求數列｛an｝的通項公式。

解析:由題意設:

將an+1=2an+3·5n代入①式,得2an+3·5n+x·5n+1=2an+2x·5n,等式兩邊消去2an,得3·5n+x·5n+1=2x·5n。

兩邊除以5n,得3+5x=2x,x=-1。代入①式得an+1-5n+1=2(an-5n)。②

由a1-51=6-5=1≠0及②式得an-5n≠0,則故數列{an-5n}是以a1-51=1為首項,2 為公比的等比數列,an-5n=2n-1,即an=2n-1+5n。

點評:解本題的關鍵是把遞推關系式an+1=2an+3·5n轉化為an+1-5n+1=2(an-5n),從而可知數列{an-5n}是等比數列,進而求出數列{an-5n}的通項公式,最后求出數列{an}的通項公式。

縱觀以上類型,發現遞推關系問題的考查形式靈活多樣,同時隱含著豐富的數學思想。從表面上看種類繁雜,實則都在向等差、等比數列等熟悉的知識轉化,只要抓住數列通項的核心——結構一致,選擇適當的方法,注重用函數與方程、轉化與化歸等數學思想方法指導解題實踐,就能把提升數學素養真正落到實處。

練一練:已知數列{an}滿足an+1=an+2n+1,a1=1,求數列{an}的通項公式。

解析:由an+1=an+2n+1,得an+1-an=2n+1。

所以數列{an}的通項公式為an=n2。