淺談近幾年高考全國卷中“數(shù)列”解答題的解題策略

■河南省固始縣高級中學(xué)教育集團(tuán) 胡云兵

2023 年高考數(shù)學(xué)題的命制與前幾年相比有一定的創(chuàng)新,尤其是數(shù)列題的難度有所增加。下面從最近幾年高考題以及重要模擬考試題中,總結(jié)數(shù)列解答題的命題規(guī)律和方向。

一、數(shù)列在解答題中的位置變化

在2018年之前,基于2003 版課標(biāo)的全國卷的數(shù)列題在解答題中的位置都是第17題(第一道解答題),屬于基礎(chǔ)題,但從2019年起,數(shù)列題在解答題中的位置開始變得靈活。這在教育部考試中心《試題分析(數(shù)學(xué))》(2020 年版)中有說明,下面是部分摘錄:2019年的理科數(shù)學(xué)試卷,在整體設(shè)計(jì)上保持平穩(wěn),……,但在整體平穩(wěn)的基礎(chǔ)上,也有了適當(dāng)?shù)淖兓?主要體現(xiàn)在主觀題的設(shè)計(jì)上。……對重點(diǎn)內(nèi)容的考查,在整體符合《考試大綱》和《考試說明》要求的前提下,在各部分內(nèi)容的布局和考查難度上會(huì)進(jìn)行動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)。

表1是近幾年全國卷、新高考卷中數(shù)列解答題的題號。

表1

二、解題策略

策略1 應(yīng)用累乘法

這是求數(shù)列通項(xiàng)公式的一個(gè)重要的方法,在近幾年高考全國卷中都進(jìn)行了考查。

例1(2021年全國乙卷第19 題) 記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,bn為數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)積,已知

(1)證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;

(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

點(diǎn)評:第一問證明等差數(shù)列,求bn與Sn的關(guān)系需要相除,和累乘法的方法類似。

例2(2022 年新高考Ⅰ卷第17 題)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a1=1,是公差為的等差數(shù)列。

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;

分析:(1)直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論,利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和,再利用放縮法求出結(jié)果。

點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式,數(shù)列通項(xiàng)公式的求法,數(shù)列的求和,裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用,對同學(xué)們的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力要求較高。

例3(2023 年全國甲卷第 17 題)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a2=1,2Sn=nan。

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

分析:(1)根據(jù)即可求出{an}的通項(xiàng)公式;

(2)根據(jù)錯(cuò)位相減法解出前n項(xiàng)和Tn。

解:(1)由題意知2Sn=nan。

當(dāng)n=1時(shí),2a1=a1,則a1=0。

當(dāng)n=3時(shí),2(1+a3)=3a3,則a3=2。當(dāng)n≥2 時(shí),則2Sn-1=(n-1)an-1,即2(Sn-Sn-1)=nan-(n-1)an-1=2an。

化簡得(n-2)an=(n-1)an-1。

當(dāng)n≥3 時(shí)則an=n-1。

因當(dāng)n=1,2,3 時(shí)都滿足上式,故an=n-1(n∈N*)。

策略2 應(yīng)用分類討論法

分類討論是最近幾年全國卷數(shù)列題頻繁考查的思想方法。分類討論包括:①求通項(xiàng)公式時(shí)需要寫成分段形式;②求某個(gè)參數(shù)的值時(shí)需要分情況討論。

例4(2023年四省聯(lián)考第19 題) 記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Tn,且a1=1,an=Tn-1(n≥2)。

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)m為整數(shù),且對任意n∈N*,m≥恒成立,求m的最小值。

分析:(1)由數(shù)列an與Tn的關(guān)系可得an+1=2an(n≥2),再結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得解;

解:(1)因?yàn)閍1=1,an=Tn-1(n≥2),所以a2=a1=1。

當(dāng)n≥2時(shí),an+1=Tn=Tn-1+an=2an,故an=a2·2n-2=2n-2(n≥2)。

a1=1不滿足上式。

故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=

點(diǎn)評:第一問求通項(xiàng)公式時(shí)需要分類討論,寫成分段形式。

例5(2023 年全國Ⅰ卷第20 題)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,且d>1。令bn=,記Sn,Tn分別為數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和。

(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)若{bn}為等差數(shù)列,且S99-T99=99,求d的值。

分析:(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程求解即可;

(2)由{bn}為等差數(shù)列得出a1=d或a1=2d,由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a50-b50=1,分類討論即可得解。

解:(1)因?yàn)?a2=3a1+a3,所以3d=a1+2d,解得a1=d。

故S3=3a2=3(a1+d)=6d。

因此,an=a1+(n-1)·d=3n。

(2)因?yàn)閧bn}為等差數(shù)列,所以2b2=

因d>1,故an>0。

又S99-T99=99,由等差數(shù)列的性質(zhì)知,99a50-99b50=99,即a50-b50=1。

當(dāng)a1=2d時(shí),a50=a1+49d=51d=51,解得d=1,與d>1矛盾,無解;

當(dāng)a1=d時(shí),a50=a1+49d=50d=51,解得

點(diǎn)評:本題第二問首先會(huì)解出a1有兩個(gè)值,然后需要分類討論,分別解出對應(yīng)的d值,舍去不符合題意的值。

通過以上分析可以發(fā)現(xiàn),2023年高考特別重視數(shù)列問題中分類討論思想的應(yīng)用。因此,在后續(xù)學(xué)習(xí)中要在解數(shù)列問題時(shí)重視分類討論思想,主要有下面兩個(gè)方面。

(1) 分段求和,包括下面幾種問法。

(i)定義bm為數(shù)列{an}在區(qū)間(0,m)的個(gè)數(shù),對數(shù)列{an}求和,如2020 年新高考Ⅰ卷第18題;

(ii)含絕對值的數(shù)列求和,如2023 年全國乙卷文科第18題;

(iii)對奇數(shù)和偶數(shù)討論,如2023新高考Ⅱ卷第18題,另外,含(-1)n數(shù)列的不等式問題的分類討論也至關(guān)重要。

(2) 參數(shù)討論,如2023年新高考Ⅰ卷第20題。

新高考在數(shù)列方面的考查注重通法,注重基礎(chǔ),淡化技巧,不必做太多涉及不等式放縮的技巧性題目(十幾年前數(shù)列壓軸題主要考數(shù)列不等式的放縮),因?yàn)檫@部分題目技巧性過強(qiáng),不是新高考考查的方向。