基于靈敏度分析與響應(yīng)面模型的機(jī)床主軸箱優(yōu)化設(shè)計(jì)

喬雪濤， 周世濤， 閆存富， 曹康， 盛坤， 張洪偉

（中原工學(xué)院機(jī)電學(xué)院， 河南鄭州 450007）

0 前言

主軸箱是數(shù)控車床主軸系統(tǒng)重要的組成部件之一， 用于布置工作主軸及傳動(dòng)零件， 其靜、 動(dòng)態(tài)特性會(huì)直接影響數(shù)控車床加工的效率和質(zhì)量［1－2］。 目前，多數(shù)車床主軸箱結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)還是依靠設(shè)計(jì)者自身的工作經(jīng)驗(yàn)對(duì)設(shè)計(jì)尺寸進(jìn)行反復(fù)修改， 從可行的方案中選取仿真結(jié)果較為合理的設(shè)計(jì)方案， 使得產(chǎn)品設(shè)計(jì)過程復(fù)雜、 材料的性能無法完全利用， 因此利用現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法對(duì)部件進(jìn)行分析與優(yōu)化成為新的研究方向［3－4］。FENG 等［5］對(duì)主軸箱進(jìn)行靜態(tài)特性分析， 利用靈敏度分析獲得影響主軸箱靜態(tài)特性的5 個(gè)關(guān)鍵尺寸， 并通過尺寸優(yōu)化的方式實(shí)現(xiàn)了主軸箱的輕量化研究。 謝軍等人［6］對(duì)加工中心主軸箱進(jìn)行靜動(dòng)態(tài)特性分析與拓?fù)鋬?yōu)化， 提高了主軸箱的靜剛度， 但采用拓?fù)鋬?yōu)化存在局部強(qiáng)度不能控制的缺點(diǎn)。 李健等人［7］通過靈敏度分析簡(jiǎn)化了主軸箱模型， 在保證主軸箱性能的同時(shí)進(jìn)行多目標(biāo)、 多尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)， 但并未說明使用何種設(shè)計(jì)方法得到響應(yīng)曲線。 李權(quán)飛、 辛舟［8］采用靈敏度分析和多目標(biāo)尺寸優(yōu)化的方法減少主軸箱最大變形， 通過尺寸與變形之間的規(guī)律確定最優(yōu)尺寸， 但設(shè)計(jì)過程復(fù)雜、 結(jié)果不夠精確。 趙旭東、 李衛(wèi)民［9］通過對(duì)摩擦焊機(jī)主軸箱進(jìn)行有限元分析， 驗(yàn)證了其設(shè)計(jì)可以滿足使用要求， 同時(shí)構(gòu)建響應(yīng)面模型對(duì)主軸箱結(jié)構(gòu)進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)， 但并未考慮各個(gè)參數(shù)對(duì)構(gòu)建響應(yīng)面模型計(jì)算量的影響程度。

本文作者研究車床主軸箱的結(jié)構(gòu)優(yōu)化時(shí)， 考慮各個(gè)尺寸對(duì)主軸箱力學(xué)性能的影響。 通過靈敏度分析得到影響主軸箱力學(xué)性能的關(guān)鍵尺寸； 基于最佳填充空間設(shè)計(jì)法（Optimal Space－Filling design， OSF） 生成28 個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)； 采用Kriging 函數(shù)法構(gòu)建響應(yīng)面模型，通過多目標(biāo)遺傳算法對(duì)主軸箱響應(yīng)面模型進(jìn)行求解，計(jì)算得到Pareto 最優(yōu)解集； 最后根據(jù)最優(yōu)解對(duì)模型進(jìn)行修改， 并通過有限元分析對(duì)優(yōu)化后的模型進(jìn)行求解驗(yàn)證。 在構(gòu)建主軸箱響應(yīng)面模型時(shí)， 所采用的設(shè)計(jì)方法具有空間樣本均勻、 擬合優(yōu)度高、 計(jì)算量小的特點(diǎn)， 能夠有效解決主軸箱模型設(shè)計(jì)優(yōu)化過程中計(jì)算量大的問題。

1 主軸箱有限元模型建立

利用SolidWorks 建立主軸箱三維模型， 為保證有限元分析結(jié)果的準(zhǔn)確性， 根據(jù)圣維南原理對(duì)主軸箱部分設(shè)計(jì)特征進(jìn)行合理簡(jiǎn)化。 主軸箱的材料是灰鑄鐵HT250， 材料屬性如表1 所示。 對(duì)主軸箱進(jìn)行網(wǎng)格劃分， 網(wǎng)格尺寸選擇1 mm， 單元類型選擇solid186 單元， 網(wǎng)格劃分后得到23 340 個(gè)單元， 41 936 個(gè)節(jié)點(diǎn)，網(wǎng)格劃分后主軸箱有限元模型如圖1 所示。

表1 主軸箱材料屬性Tab.1 Material properties of headstock

2 主軸箱靜動(dòng)態(tài)特性分析

2.1 施加邊界條件

考慮車床實(shí)際加工情況， 對(duì)主軸箱典型工況下的受力情況進(jìn)行分析。 工件采用外圓縱車的粗加工方式， 工件材料選擇結(jié)構(gòu)鋼Q235， 刀具選用硬質(zhì)合金，背吃刀量ap＝4 mm， 切削速度vc＝100 m/min， 進(jìn)給量f＝0.8 mm/r。 切削合力可以分解為主切削力Fc、背向 力Fp、 進(jìn) 給 力Ff， 經(jīng) 過 計(jì) 算， 主 切 削Fc＝4 753.3 N、 背向力Fp＝1 496.4 N、 進(jìn)給力Ff＝1 496.4 N［10］。 車床在加工工件時(shí)， 主軸箱的受力主要是切削合力和主軸箱重力的作用。 主軸箱與車床床身之間通過6 個(gè)螺栓相連接， 在ANSYS Workbench 中對(duì)6 個(gè)螺栓孔施加固定約束， 將切削力施加在主軸箱與主軸軸承相配合的內(nèi)圓面上， 并考慮主軸箱自身的重力。

2.2 主軸箱靜態(tài)特性分析

主軸箱受到恒定外力時(shí)， 通過靜態(tài)特性分析可以了解主軸箱與受力情況之間的相互關(guān)系［11］。 主軸箱總變形云圖如圖2 所示， 最大變形出現(xiàn)在主軸箱上方加強(qiáng)筋處， 約為0.009 1 mm， 這部分變形是由主軸箱受切削力引起的， 且變形量較小， 能夠滿足主軸箱工作的精度要求。 主軸箱等效應(yīng)力云圖如圖3 所示，主軸箱的最大等效應(yīng)力出現(xiàn)在螺栓孔處， 約為6.02 MPa， 這是由于模型簡(jiǎn)化的原因而導(dǎo)致的應(yīng)力集中現(xiàn)象。 采用安全因素校核法， HT250 屈服強(qiáng)度為250 MPa， 安全因子數(shù)ns＝1.2 ～2.5， 取安全因子ns＝2.5， 由式 （1） 計(jì)算得到材料的許用應(yīng)力為100 MPa， 主軸箱受到的最大應(yīng)力遠(yuǎn)小于材料的允許應(yīng)力， 說明現(xiàn)有主軸箱結(jié)構(gòu)有較大的優(yōu)化空間。

圖2 主軸箱總變形云圖Fig.2 Cloud map of total deformation of headstock

圖3 主軸箱等效應(yīng)力云圖Fig.3 Cloud map of equivalent force on the headstock

2.3 主軸箱動(dòng)態(tài)特性分析

對(duì)車床主軸箱進(jìn)行動(dòng)態(tài)特性分析是主軸箱研究過程中的重要環(huán)節(jié)， 主軸箱與主軸共振影響機(jī)床加工精度。 主軸箱的低階模態(tài)對(duì)主軸的工作性能影響較大，根據(jù)主軸箱的實(shí)際工況， 去掉施加的外載荷， 采用Block Lanczos 法獲得主軸箱前6 階固有頻率和振型如圖4 和表2 所示。

圖4 主軸箱前6 階模態(tài)振型Fig.4 The first six modal shapes of the spindle box： （a）1st order； （b） 2nd order； （c） 3rd order； （d） 4th order； （e） 5th order； （f） 6th order

表2 主軸箱前6 階固有頻率及振型Tab.2 The first 6 order natural frequencies and vibration modes of the headstock before fixation

此款車床主軸設(shè)計(jì)的最高轉(zhuǎn)速為3 000 r/min，其固有頻率為

由表2 可知： 主軸箱前6 階固有頻率都在348.63 Hz 以上， 主軸的固有頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于主軸箱的1 階固有頻率， 說明主軸箱結(jié)構(gòu)合理， 可以有效避免共振現(xiàn)象的產(chǎn)生。

3 主軸箱響應(yīng)面模型建立

3.1 選取設(shè)計(jì)變量及靈敏度分析

在對(duì)主軸箱進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)前， 需要明確設(shè)計(jì)變量， 將主軸箱箱體壁厚和筋板尺寸作為設(shè)計(jì)變量， 如圖5 所示。 圖中P1、P2、P3、P4、P5代表主軸箱前面板壁厚、 后面板壁厚、 左面板壁厚、 右面板壁厚、底面板壁厚；P6和P7分別為兩相鄰筋板之間的距離；將3 個(gè)筋板的厚度設(shè)置為關(guān)聯(lián)尺寸，P8為筋板厚度。根據(jù)主軸箱原始尺寸及設(shè)計(jì)要求， 在滿足車床性能要求的基礎(chǔ)上， 給出主軸箱尺寸參數(shù)的變化范圍， 如表3 所示。

圖5 主軸箱的設(shè)計(jì)變量Fig.5 Design variables of the headstock

表3 主軸箱設(shè)計(jì)參數(shù) 單位： mmTab.3 Design parameters of the headstock Unit： mm

主軸箱的優(yōu)化參數(shù)較多， 使得構(gòu)建響應(yīng)面模型的計(jì)算量也成倍增加， 因此在構(gòu)建響應(yīng)面之前需要分析靈敏度以提高計(jì)算效率。 文中靈敏度分析的采樣方式選擇斯皮爾曼（Spearman） 采樣， 依據(jù)變量之間的秩做靈敏度的分析， 減少對(duì)原始參數(shù)范圍的要求。 當(dāng)參數(shù)之間為非線性關(guān)系時(shí)， 斯皮爾曼采樣依然能夠計(jì)算出變量之間的相關(guān)性， 其簡(jiǎn)化計(jì)算公式為

式中：n表示變量個(gè)數(shù)；di表示兩參數(shù)之間的秩。

通過對(duì)輸入?yún)?shù)進(jìn)行靈敏度分析， 篩選出對(duì)輸出參數(shù)影響較大的輸入?yún)?shù)作為后續(xù)優(yōu)化的關(guān)鍵尺寸，以減小構(gòu)建響應(yīng)面的計(jì)算量和計(jì)算時(shí)間。 對(duì)上述8 個(gè)輸入?yún)?shù)進(jìn)行靈敏度分析， 獲得其對(duì)主軸箱質(zhì)量、 最大變形、 最大應(yīng)變和一階固有頻率的靈敏度分析結(jié)果， 如圖6 所示。

圖6 主軸箱靈敏度分析結(jié)果Fig.6 Sensitivity analysis results of the headstock

靈敏度數(shù)值的正負(fù)表示輸入?yún)?shù)與輸出參數(shù)的相關(guān)性， 從圖6 中可以看出： 參數(shù)P1、P2、P3、P8對(duì)主軸箱質(zhì)量影響最大， 呈正相關(guān)；P1、P3、P6、P7、P8對(duì)最大變形影響最大， 呈負(fù)相關(guān)；P3、P7、P8對(duì)最大應(yīng)力影響最大， 其中P3呈負(fù)相關(guān)，P7、P8呈正相關(guān)；P3、P6、P7對(duì)1 階固有頻率影響最大， 呈正相關(guān)。 因此將以上6 個(gè)參數(shù)作為優(yōu)化設(shè)計(jì)尺寸進(jìn)行分析。

3.2 DOE 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（Design of Experiment， DOE） 中不同方法的選擇直接影響構(gòu)造的響應(yīng)面模型的精度和計(jì)算量［12］。 文中選用最佳空間填充法（OSF）。 該實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法在對(duì)設(shè)計(jì)空間進(jìn)行隨機(jī)抽樣時(shí)， 通過最大化設(shè)計(jì)點(diǎn)之間的間距， 使設(shè)計(jì)點(diǎn)可以均勻散布在設(shè)計(jì)空間， 生成最少的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)同時(shí)獲得對(duì)設(shè)計(jì)空間最大的洞察。 在ANSYS Workbench Design Experiment 模塊中用OSF 法進(jìn)行DOE 試驗(yàn)， 采樣標(biāo)準(zhǔn)選擇 “Max－Min Distance”， 樣本類型選擇“Full Quadratic Model Sam?ples”， 對(duì)空間進(jìn)行了28 次抽樣， 實(shí)驗(yàn)點(diǎn)及其數(shù)據(jù)如表4 所示。

表4 OSF 實(shí)驗(yàn)點(diǎn)及其數(shù)據(jù)Tab.4 OSF experimental points and their data

3.3 基于Kriging 函數(shù)法的響應(yīng)面模型

響應(yīng)面設(shè)計(jì)法是通過設(shè)計(jì)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)獲得相應(yīng)的數(shù)據(jù)， 采用多元二次回歸方程來擬合自變量與響應(yīng)值之間的數(shù)學(xué)回歸方程， 通過分析回歸方程解決多目標(biāo)優(yōu)化問題的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法［13］。 對(duì)非線性問題求解時(shí)，Kriging 函數(shù)法可以獲得擬合精度較高的結(jié)果， 因此選取Kriging 函數(shù)法構(gòu)建響應(yīng)面模型［14－16］， 其表達(dá)式為

式中：fi（X） 為多項(xiàng)式函數(shù)；βi為相對(duì)系數(shù)；z（X）為均值是0、 方差是σ2的靜態(tài)隨機(jī)過程。

空間內(nèi)2 個(gè)不同位置隨機(jī)變量之間的協(xié)方差矩陣為

通過ANSYS Workbench 中的Design Experiment 模塊， 生成Kriging 的響應(yīng)曲面如圖7 所示。 響應(yīng)面模型的擬合度曲線如圖8 所示， 主軸輸出變量所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)均在對(duì)角線上， 說明采用OSF 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法產(chǎn)生的設(shè)計(jì)點(diǎn)， 通過Kriging 插值法建立的響應(yīng)面模型擬合度高， 能夠滿足主軸箱的優(yōu)化要求。

圖7 主軸箱的響應(yīng)曲面Fig.7 Main spindle box response surface of headstock： （a） mass； （b） maximum deformation；（c） maximum stress； （d） 1st order natural frequency

圖8 擬合度曲線Fig.8 Fitting curves

4 主軸箱優(yōu)化設(shè)計(jì)

4.1 主軸箱優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

基于所建立的主軸箱響應(yīng)面模型， 以主軸箱質(zhì)量、 變形、 應(yīng)力和1 階固有頻率作為目標(biāo)函數(shù)， 將主軸箱的6 個(gè)關(guān)鍵尺寸作為設(shè)計(jì)變量， 建立主軸箱多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如下：

目標(biāo)函數(shù)：

設(shè)計(jì)變量：x＝ ［x1，x2，x3，x4，x5，x6］T

式中：xi為設(shè)計(jì)變量， 表示6 個(gè)關(guān)鍵的設(shè)計(jì)參數(shù)；αi為設(shè)計(jì)變量的下限約束；βi為設(shè)計(jì)變量的上限約束；fm（x）、f′m（x）分別為主軸箱最小質(zhì)量、 主軸箱初始質(zhì)量；fδ（x）、f′δ（x）分別為主軸箱最大變形、 主軸箱初始最大變形；fσ（x）、f′σ（x）分別為主軸箱最大應(yīng)力、 主軸箱初始最大應(yīng)力；ff（x）、f′f（x）分別為主軸箱1 階固有頻率、 主軸箱初始1 階固有頻率。

4.2 基于遺傳算法的多目標(biāo)優(yōu)化

文中基于多目標(biāo)傳算法（NSGA－II） 對(duì)主軸箱響應(yīng)面模型進(jìn)行求解。 該算法采用非支配解快速排序計(jì)算方法， 既降低了計(jì)算復(fù)雜程度又保留了優(yōu)秀的個(gè)體； 相比傳統(tǒng)多目標(biāo)優(yōu)化方法將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)換成單目標(biāo)問題， 該方法通過擁擠度與擁擠度比較算子， 使Pareto 域中的個(gè)體擴(kuò)展到整個(gè)域， 極大提高種群的多樣性和優(yōu)化結(jié)果的均勻性［17］。 相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下：初始樣本數(shù)量選擇1 000， 每次迭代的樣本數(shù)選擇100， 突變概率為0.01， 交叉概率為0.98， 最大允許Pareto 百分比為80%， 收斂穩(wěn)定百分比為1%， 最大的迭代數(shù)量選擇20。

Pareto 最優(yōu)解集如圖9 所示， 3 個(gè)坐標(biāo)軸分別對(duì)應(yīng)3 個(gè)目標(biāo)函數(shù)， 坐標(biāo)系中的點(diǎn)由較優(yōu)解和較差解組成。 在整個(gè)優(yōu)化過程中， 由于優(yōu)化過程中目標(biāo)函數(shù)之間相互矛盾， 所以需要通過后期給予不同權(quán)重來尋優(yōu)求解。

圖9 Pareto 最優(yōu)解集Fig.9 Pareto optimal solution set

基于Pareto 最優(yōu)解集的多目標(biāo)遺傳算法生成5 組最優(yōu)候選點(diǎn)， 如表5 所示。 在主軸箱結(jié)構(gòu)滿足力學(xué)性能的前提下， 以主軸箱質(zhì)量最小為設(shè)計(jì)原則， 選取第五組候選點(diǎn)作為最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn)。 考慮實(shí)際加工工況下的加工精度， 對(duì)尺寸進(jìn)行圓整， 優(yōu)化前后尺寸對(duì)比如表6 所示。

表5 候選點(diǎn)結(jié)果Tab.5 Candidate point results

表6 尺寸優(yōu)化前后對(duì)比 單位： mmTab.6 Comparison of size before and after optimization Unit： mm

為了驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果的可信度， 根據(jù)優(yōu)化取整后的尺寸參數(shù)對(duì)原模型重新繪制， 并在相同載荷的情況下對(duì)主軸箱進(jìn)行有限元分析， 得到目標(biāo)參數(shù)優(yōu)化前后結(jié)果對(duì)比， 如表7 所示。

表7 目標(biāo)參數(shù)優(yōu)化前后結(jié)果對(duì)比Tab.7 Comparison of results before and after optimization of target parameters

由表7 可知： 優(yōu)化后的主軸箱的最大變形和最大應(yīng)力均有所增加， 但都滿足主軸箱的力學(xué)性能； 主軸箱質(zhì)量相比原始質(zhì)量下降了13.58%， 與候選點(diǎn)的結(jié)果非常相近， 說明文中提供的研究方法能夠獲得正確的優(yōu)化結(jié)果。

5 結(jié)論

（1） 以數(shù)控車床主軸箱為研究對(duì)象開展靜力學(xué)和模態(tài)分析， 分析結(jié)果表明： 主軸箱在典型工況下具有良好的剛度、 強(qiáng)度和抗震性， 但從材料利用效率的角度考慮， 并未完全發(fā)揮材料的性能。

（2） 對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的主軸箱進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)， 需要解決有限元計(jì)算量大及樣本點(diǎn)多的問題。 通過靈敏度分析獲得影響主軸箱力學(xué)性能的關(guān)鍵尺寸， 采用最佳填充空間設(shè)計(jì)法（OSF） 和Kriging 函數(shù)法建立主軸箱響應(yīng)面模型， 可以有效減少抽樣次數(shù)， 提高優(yōu)化效率。

（3） 采用多目標(biāo)遺傳算法對(duì)主軸箱響應(yīng)面模型求解得到Pareto 最優(yōu)解集， 在滿足主軸箱力學(xué)性能的基礎(chǔ)上， 選擇最優(yōu)解并圓整得到優(yōu)化后的主軸箱模型。 經(jīng)有限元分析， 優(yōu)化后的主軸箱質(zhì)量與原始質(zhì)量相比減少13.58%。