磁電彈性材料中含有帶四條裂紋的正方形孔的反平面斷裂問題

徐 燕, 楊 娟

(1.寧夏大學新華學院，銀川 750021; 2.寧夏大學數學統計學院，銀川 750021;3.寧夏大學民族預科教育學院，銀川 750002)

0 引言

隨著高科技和新型材料系統的快速發展，磁電彈體因具有優越的磁–電–力多場耦合效應，在工程結構中得到了越來越多的應用，尤其是在“智能”材料和“智能”結構中。這些“智能”材料已廣泛應用于電子封裝、傳感器和執行器、磁場探頭、聲學和超聲波設備、水聽器和傳感器等設備，負責電–磁–機械能量轉換[1]。由于磁電彈性材料本身屬于脆性材料，具有較低的斷裂韌性，在受到外載荷作用時極易導致缺陷處應力集中，引起裂紋萌生且擴展，最終導致結構損傷[2]。因此，研究磁電彈性材料的相互作用和斷裂力學行為具有重要的理論意義和應用價值。

近年來，磁電彈性層狀或功能梯度材料的斷裂力學引起了力學、材料學及數學等學科工作者的廣泛關注，并發表了很多研究成果[3–6]。文獻[7–9]研究了磁電彈性材料中圓形、橢圓形及唇形孔產生的邊緣裂紋問題的嚴格解。文獻[10]研究了磁電彈性體中螺旋位錯和斜邊裂紋之間的相互作用。文獻[11]基于電磁彈性材料的基本方程和解析理論，得到了無限磁電彈性固體中多個平行螺位錯與半無限裂紋相互作用的廣義應力場的閉合形式解。文獻[12]基于Stroh 公式揭示了無限大壓電體中正n邊形孔邊裂紋的斷裂特性，文獻[13]進一步得到正n邊形孔口缺陷在磁電彈性材料中的解析解。但是關于磁電彈性中正方形孔帶四條裂紋的反平面問題研究目前尚未見報道。

1 磁電彈性材料基本方程

選取x3軸的正方向作為磁電極化方向，與x3軸垂直的坐標面x1ox2作為各向同性平面，則磁電復合材料控制方程為[13]

2 正方形孔缺陷問題的解析解

2.1 問題的描述與保角映射

如圖1 所示，在磁電彈性材料中包含一個具有四條裂紋的正方形孔口缺陷沿x3方向穿透，其中a表示孔口的邊長，L1和L2分別表示水平方向的裂紋長度，L3表示垂直方向裂紋長度。假設磁電彈性材料在無窮遠場受到沿x3方向的均勻縱向剪切應力τ、面內電載荷D∞2及磁載荷B∞2作用。由線彈性理論可知，此問題可以轉化為磁電彈性材料在無窮遠場不受力，只在正方形孔口及裂紋表面上受到沿磁電極化方向的彈、電、磁的作用。本文只考慮磁電非滲透邊界條件，可表示為

圖1 磁電彈性材料中帶四條裂紋的正方形孔缺陷的力學模型

其中N代表正方形孔口和裂紋的邊界。

將式(6)代入式(5)，得

為了易于求解以上初邊值問題，由文獻[15]可知，首先將z平面上正方形孔外保角變換到z1平面圓外，公式如下

其中R ≈0.591 4a。

進一步應用共形映射[16]，將μ平面上帶有四條裂紋的圓孔外保角變換到ζ平面上單位圓內。為得到如圖2 所示的一系列變換，于是有如下復合保角映射函數

圖2 保角映射原理圖

式(10)中的正實參數εi(i=1,2,3)可表示為

這里令

引入記號ψi(ζ)=Fi(z)=Fi(ω(ζ)),i=1,2,3，則有

將式(14)代入式(7)，其中點ζ=σ= eiθ(點ζ屬于單位圓周?)，且公式兩邊同時乘以dσ/2πi(σ ?ζ)。沿圓周?積分，可以得到如下關系式

這里令

由Cauchy 積分公式和留數定理可得

把式(16)代入式(15)，可得

求解線性方程組，得

其中

將上述結果和單位圓周?上的點ζ=σ=eiθ代入式(6)，可得

2.2 場強度因子

結合式(16)的第三個式子，對式(20)求極限，可得

因此，式(21)可化簡為

2.3 能量釋放率

根據文獻[18]得到在磁電非滲透邊界條件下的能量釋放率的計算公式為

其中

將式(25)和式(27)代入式(26)，可得

其中

這一結果與文獻[9]中相應結果一致。

3 數值算例

本文使用的材料常數與文獻[13]中相同，取臨界能量釋放率為Gr=5.0 N/m。圖3 至圖5 顯示K隨L1、L2和L3增加的變化趨勢。圖3(L2= 0.002 m,L3= 0.003 m)表明，當L2和L3固定而a取不同值，隨著L1的增加，K先急劇增加，然后緩慢下降，最后趨于穩定。圖4(L1= 0.002 m,L3= 0.003 m)表明，當L1和L3固定而a取不同值，隨著L2的增加，K增加的速度比較緩慢。從圖5(L1=0.005 m,a=0.01 m)可以得到：

圖3 等效場強度因子K 隨L1/a 的變化

圖4 等效場強度因子K 隨L2/a 的變化

圖5 等效場強度因子K 隨L3/a 的變化

圖6 等效場強度因子K 隨a/L1 的變化

圖7 能量釋放率G/Gr 隨a/L1 的變化

1) 當L2/L1＜1 時，曲線變化表明L3的增加會促進L2對應裂紋的擴展；

2) 當L2/L1＞1 時，曲線變化表明L3的增加會阻止L2對應裂紋的擴展；

3) 當L2/L1=1 時，曲線變化表明L3的增加對L2對應裂紋的擴展無影響。

圖8 至圖10 顯示在磁電非滲透邊界條件下，G/Gr隨τ、D0和B0的變化趨勢。圖8(L2= 0.002 m,L3= 0.003 m,a= 0.01 m,D0= 2× 10?3C/m2,B0= 2×10?2N/Am)表明，當所有裂紋幾何參數固定時，τ始終促進裂紋擴展。圖9(L1=0.002 m,L2= 0.003 m,L3= 0.005 m,a= 0.01 m,B0= 2×10?2N/Am)表明，隨負電場絕對值的增大而減小，隨正電場先增大后減小。這說明負電載荷總是阻礙裂紋的擴展，但正電載荷可能促進或阻礙裂紋的擴展。圖10(L2= 0.002 m,L3= 0.003 m,a=0.01 m,τ= 4.2 MPa,D0= 2×10?3C/m2)表明，隨著B0的增加，G/Gr先增加后減小，變化趨勢呈拋物線狀。

圖8 能量釋放率G/Gr 隨τ 的變化

圖9 能量釋放率G/Gr 隨D0 的變化

圖10 能量釋放率G/Gr 隨B0 的變化

4 結論

本文基于解析函數邊值理論和平面彈性復變函數理論，通過利用保角映射技術，推導出磁電彈體中一類復雜孔邊缺陷問題的斷裂參量的顯式表達式。為了更好地理解理論結果，給出了數值計算來說明可變幾何、材料參數和所受載荷對裂紋擴展參數的影響規律。并得到以下一些有用的結論：

1) 水平裂紋(左、右裂紋)長度和孔口尺寸的增加總會引起裂紋擴展，容易導致電磁材料的失效；水平右裂紋長度對等效場強度因子的影響強于左裂紋，這說明孔口裂紋擴展受右裂紋長度的影響更大；

2) 垂直裂紋的存在對水平裂紋的應力集中影響很大，垂直裂紋長度的增加可以促進或延緩水平裂紋的擴展，這與水平裂紋的長度密切相關；

3) 對于磁電非滲透情況，機械載荷始終促進裂紋的擴展；電場作用可以促進或阻止裂紋增長；磁載荷對裂紋的擴展的影響規律與電場相類似，主要依賴于所施加的機電載荷組合的大小。