具有Logistic增長和Crowley-Martin型發(fā)生率的隨機SIRS 雙流行病模型的動力學研究

趙彥軍, 蘇 麗, 孫曉輝, 李文軒

(1.吉林外國語大學國際商學院，長春 130117; 2.吉林大學數(shù)學學院，長春 130012)

0 引言

傳染病一直是人類及一切生命的天敵，微分方程建模的方法是了解傳染病傳播機制和提供適當控制措施的有效途徑。傳染病的確定性模型于1927 年，由Kermack 和McKendrick[1]首次提出，稱為SIR 模型，為以后傳染病動力學的研究和疾病控制奠定了基礎(chǔ)。很多研究者通過各種不同類型的數(shù)學模型，分析和研究了傳染病在生物學、生態(tài)學、流行病學、族群動態(tài)和環(huán)境科學中的流行特征。在這些傳染病流行模式中，通常將總?cè)丝诜譃橐赘姓逽、感染者I和恢復者R三類?，F(xiàn)實生活中經(jīng)常發(fā)生由于免疫性喪失，恢復的個體返回易感倉室的情況，這被歸類為SIRS 模型[2–5]。例如瘧疾、流感、肺結(jié)核等，個人的免疫力可能會隨著時間的推移而減弱。

利用微分方程建模的方法研究傳染病發(fā)展變化過程中，疾病發(fā)生率是一個至關(guān)重要的因素，其中最常用的為雙線性(或標準)發(fā)生率。此外，Capasso 和Serio[6]首次引入感染者的飽和發(fā)生率βSI/(1+αI)，Xu 等[7–8]在SIR、SEIS 傳染病模型中應用易感人群的飽和發(fā)生率βSI/(1+αS)，Miao 等[9–12]在SIS 等傳染病模型中研究過Beddington-DeAngelis 發(fā) 生 率βSI/(1 +aS+bI)。當a=b= 0 時，Beddington-DeAngelis 發(fā)生率轉(zhuǎn)變?yōu)殡p線性發(fā)生率；當a ＞0,b= 0 時，轉(zhuǎn)變?yōu)橐赘姓叩娘柡桶l(fā)生率；當a=0,b ＞0 時，轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊叩娘柡桶l(fā)生率；因同時考慮易感者和感染者的雙重抑制作用，Beddington-DeAngelis 發(fā)生率相對于雙線性(或標準)發(fā)生率和飽和發(fā)生率，更具有一般性。1975 年，Crowley 和Martin[13]提出了Crowley-Martin 型發(fā)生率

它與典型的Beddington-DeAngelis 發(fā)生率相似。當α=β= 0 時，Crowley-Martin 型發(fā)生率轉(zhuǎn)變?yōu)镠olling I 型即雙線性發(fā)生率；當β=0 時，其轉(zhuǎn)變?yōu)镠olling II 型即飽和發(fā)生率。此外，無論感染者是否感染易感者，Crowley-Martin 型發(fā)生率都允許感染者之間存在干擾[14–15]，從這個角度看，它優(yōu)于Beddington-DeAngelis 型發(fā)生率，更具現(xiàn)實意義。

實際問題中，各種群的數(shù)量總是隨著內(nèi)部和外界環(huán)境擾動而變化，為使模型更貼近現(xiàn)實，經(jīng)常假設種群數(shù)量具有Logistic 增長。此外，疾病發(fā)生率不僅與易感人群的數(shù)量有關(guān)，也與感染人群的數(shù)量有關(guān)。目前，對傳染病模型這兩個方面的研究已有很多成果[16–17]。在一般的流行病模型中，只有一種疾病是由一種病毒引起的，然而在現(xiàn)實生活中，更多情況下是多種疾病共存的。Meng 等[18–20]研究了具有雙流行病的流行病模型。本文首先基于文獻[5,13–20]的基礎(chǔ)，提出一類具有Logistic 增長和Crowley-Martin 型發(fā)生率的確定性SIRS 雙流行傳染病模型

其中S(t)、I1(t)、I2(t)和R(t)分別表示在t時刻易感者、第1 種疾病的感染者、第2 種疾病的感染者和免疫者的數(shù)量。N(t) =S(t)+I1(t)+I2(t)+R(t)表示t時刻人口的總量，并且將所有新生兒均視為易感者，這里N(t)滿足Logistic 增長；b為自然出生率系數(shù)；μ為自然死亡率系數(shù)；r=b ?μ為內(nèi)稟增長率系數(shù)；K為環(huán)境容納量；β1、β2分別為第1 種疾病、第2 種疾病與對應病患者的接觸率系數(shù)；θ1、θ2分別表示相應疾病的因病死亡率系數(shù)；η1、η2分別表示相應疾病的恢復率系數(shù)；δ為免疫者失去免疫再次成為易感者的喪失免疫率系數(shù)；ai和bi(i= 1,2)為測量抑制效果的參數(shù)，ai(i= 1,2)的生物學意義為處理時間，bi(i= 1,2)的生物學意義為感染者個體之間的干擾程度。假設模型(1)涉及的所有參數(shù)均為正數(shù)，基于生物學意義，本文僅在

內(nèi)討論模型的動力學性質(zhì)，且假設(S(0),I1(0),I2(0),R(0))∈G。

易得確定性模型(1)的無病平衡點E0=(K,0,0,0)，且基本再生數(shù)

其定義為在完全無病的人群中放置一名感染者所產(chǎn)生的繼發(fā)性病例的預期數(shù)量。一般來說，無論疾病是否發(fā)生，R0i(i=1,2)在其中起主導作用。如果R0i ＞1(i=1,2)，則確定性模型(1)存在唯一全局漸近穩(wěn)定的地方病平衡點。

在現(xiàn)實生活中，某種生物在通常條件下，其生長受到一些小的隨機因素的干擾，比如下一場小雨、刮一點風、天敵捕食一點、晴天變成陰天、正常的生老病死等，這些細小的、獨立的隨機干擾的總和，通常在數(shù)學上用“白噪聲”來描述。環(huán)境噪聲無處不在，疾病的傳播過程不可避免的受到環(huán)境波動的影響。應用隨機微分方程的穩(wěn)定性理論來研究傳染病動力學能更好地擬合現(xiàn)實情況，Arnold 等在文獻[21–22]中首先對隨機傳染病動力學的研究做出了奠基性工作，隨后國內(nèi)外陸續(xù)涌現(xiàn)出大量的研究成果[3–5,9,11–12,14–20]。環(huán)境的改變會對傳染病模型的參數(shù)產(chǎn)生一定的影響，因此為了更好地描述環(huán)境變化對疾病的影響，本文主要研究接觸系數(shù)βi(i= 1,2)受到白噪聲干擾時疾病的動力學行為，即βi →βi+σi˙Bi(t)(i= 1,2)，并且假設兩種疾病不會重復感染(即患者感染一種疾病后就不會同時感染另一種疾病)，得到如下隨機SIRS 雙流行傳染病模型

其中Bi(t)(i=1,2)為獨立標準布朗運動，即隨機干擾源；σi(i=1,2)為白噪聲強度。將模型(2)中的四個方程相加，有

在本文中，設(?,F,{Ft}t≥0,P)是一個完備概率空間，σ-代數(shù)族{Ft}t≥0滿足非降且右連續(xù)，并且B(t) = (B1(t),B2(t))是定義在完備概率空間(?,F,{Ft}t≥0,P)上的布朗運動。f(t)是[0,+∞)上的可積函數(shù)，定義

那么稱疾病Ii(t)(i=1,2)是持久的。

1 全局正解的存在唯一性

為了研究傳染病模型的動態(tài)行為，首先需要考慮其解是否具有全局正解。在本節(jié)中，首先證明模型(2)的等價模型(3)存在唯一的全局正解，進而說明模型(2)全局正解的存在唯一性。

定理1 對任意初值(N(0),I1(0),I2(0),R(0))∈G，隨機模型(3)存在唯一全局正解(N(t),I1(t),I2(t),R(t))(t ≥0)，且該解依概率1 位于G中。

證明 因為模型(3)的系數(shù)滿足局部Lipschitz 連續(xù)，但不滿足線性增長條件，則對任意初值(N(0),I1(0),I2(0),R(0))∈G，模型(3)存在唯一的局部解(N(t),I1(t),I2(t),R(t)),t ∈[0,te), a.s.，其中te為爆破時間。要證明解的全局存在性，只需證明te=∞，a.s.。

這里令inf?=∞(?表示空集)。顯然，當n →∞時，tn是單調(diào)遞增的。令t∞=limn→∞tn，則顯然有t∞≤te, a.s.。若t∞=∞, a.s.成立，則有te=∞，從而有(N(t),I1(t),I2(t),R(t))∈G,t ≥0, a.s.。換句話說，只需證明t∞=∞, a.s.即可。

我們采用反證法。若不然，則一定存在常數(shù)T ＞0 和ε ∈(0,1)，使得

則存在正整數(shù)n1≥n0，使得

定義C2→函數(shù)V:R4+→R1+∪{0}：

根據(jù)假設條件(H)，有

這里?K是一個正常數(shù)，所以

對(5)式兩端分別從0 到tn ∧T積分并取期望，得

則由(4)式和(5)式，可知

其中1?n(ω)表示?k的示性函數(shù)。令n →∞，則有∞＞V(N(0),I1(0),I2(0),R(0))+?KT=∞，矛盾，所以有t∞=∞, a.s.，這就意味著N(t)、I1(t)、I2(t)和R(t)以概率1 在有限時間內(nèi)不會產(chǎn)生爆破。

2 疾病滅絕性的充分條件

本節(jié)我們將討論模型(2)的隨機滅絕性，研究傳染病滅絕性的充分條件。

定理2 如果

則模型(2)的疾病幾乎必然滅絕。

證明 設(S(t),I1(t),I2(t),R(t))是模型(2)滿足初值(S(0),I1(0),I2(0),R(0))∈G的解，對模型(2)應用It?o 公式，有

因Mi(t)是滿足初值Mi(0)=0 的局部鞅，根據(jù)鞅的強大數(shù)定理有

由模型(2)中的第二、第三個方程，可得

則有如下定理。

定理3 設(S(t),I1(t),I2(t),R(t))是模型(2)關(guān)于初值(S(0),I1(0),I2(0),R(0))的解，若R?i ＜1 且

則模型(2)的疾病趨于滅絕，且limt→∞Ii(t)=0(i=1,2), a.s.。

證明 對(6)式兩邊從0 到t積分，有

所以limt→∞Ii(t)=0(i=1,2), a.s.。

由定理2 和定理3 表明，當白噪聲擾動較大或R?i ＜1(i= 1,2)且白噪聲擾動不大時，疾病就會滅絕。

3 疾病在均值意義下的持久性

本節(jié)我們將討論模型(2)的隨機持久性，研究傳染病持續(xù)下去的條件。

對(1+a1K)(lnI1(t)+b1I1(t))應用It?o 公式，有

對(11)從0 到t積分，并且兩邊同時除以t，再根據(jù)(10)式，有

由強大數(shù)定理可得limt→∞M2(t)/t=0，且I1(t)≤K，則

對(12)式取下確界再取極限，令t →∞,?1→0，得

根據(jù)It?o 公式，有

對(14)式從0 到t積分，并且兩邊同時除以t，再根據(jù)(13)式，有

4 數(shù)值模擬

在這一部分，我們基于文獻[5,18–20]的模擬數(shù)據(jù)，利用Matlab 進行數(shù)值模擬，驗證本文結(jié)論的正確性。根據(jù)Milstein 方法，利用Matlab 對具有Crowley-Martin 型發(fā)生率的隨機SIRS 雙流行傳染病模型(2)進行模擬，模型(2)的離散格式如下

其中ξi(k)(i=1,2,k=1,2,···,n)是獨立的標準正態(tài)隨機變量。

選擇初值(S(0),I1(0),I2(0),R(0)) = (15,5,5,10)，參數(shù)取值如下K= 50,μ=0.2,β1=0.2,β2=0.2,θ1=0.1,θ2=0.1,δ=0.2,η1=0.2,η2=0.2,b=0.5,a1=0.2,b1=0.5,a2=0.2,b2=0.5,r=b ?μ。

在圖1 中，取σ1=0,σ2=0，此時即為確定性模型(1)，基本再生數(shù)R0i=1.818 12＞1(i=1,2)。由圖1 可知，確定SIRS 模型(1)中疾病I1、I2將持續(xù)存在。在圖2 中，取σ1=0.25,σ2=0.3，使得

圖1 σ1 =0, σ2 =0

滿足定理2 的條件。由定理2 的結(jié)論可知，此時無論R?i(i=1,2)取值如何，隨機SIRS 傳染病模型(2)的疾病I1、I2將必然滅絕，這與定理2 的結(jié)論相吻合。

在圖3 中，取σ1= 0.199,σ2= 0.205，使得R?1= 0.999 98＜1,R?2= 0.949 90＜1 且

圖3 σ1 =0.199, σ2 =0.205

滿足定理3 的條件。由定理3 的結(jié)論可知，此時隨機SIRS 傳染病模型(2)的疾病I1、I2將趨于滅絕，這與定理3 的結(jié)論相吻合。

在圖4 中，取σ1=0.05,σ2=0.3，使得R?1=1.766 53＞1 且

圖4 σ1 =0.05, σ2 =0.3

滿足定理4 中條件1)。由定理4 中條件1)的結(jié)論可知，此時隨機SIRS 傳染病模型(2)的疾病I1持久，疾病I2必然滅絕，這與定理4 中條件1)的結(jié)論相吻合。

在圖5 中，取σ1=0.05,σ2=0.205，使得R?1=1.766 53＞1,R?2=0.949 90＜1 且

圖5 σ1 =0.05, σ2 =0.205

滿足定理4 中條件1)。由定理4 中條件1)的結(jié)論可知，此時隨機SIRS 傳染病模型(2)的疾病I1持久，疾病I2趨于滅絕，這與定理4 中條件1)的結(jié)論相吻合。

在圖6 中，取σ1=0.25,σ2=0.08，使得R?2=1.685 95＞1 且

圖6 σ1 =0.25, σ2 =0.08

滿足定理4 中條件2)的條件。由定理4 中條件2)的結(jié)論可知，此時隨機SIRS 傳染病模型(2)的疾病I1必然滅絕，疾病I2持久，這與定理4 中條件2)的結(jié)論相吻合。

在圖7 中，取σ1=0.199,σ2=0.08，使得R?2=1.685 95＞1,R?1=0.999 98＜1 且

圖7 σ1 =0.199, σ2 =0.08

滿足定理4 中條件2)。由定理4 中條件2)的結(jié)論可知，此時隨機SIRS 傳染病模型(2)的疾病I1趨于滅絕，疾病I2持久，這與定理4 中條件2)的結(jié)論相吻合。

在圖8 中，取σ1=0.05,σ2=0.08，使得R?1=1.766 53＞1,R?2=1.685 95＞1 滿足定理4 中條件3)。由定理4 中條件3)的結(jié)論可知，此時隨機SIRS 傳染病模型(2)的疾病I1、I2將持續(xù)存在，這與定理4 中條件3)的結(jié)論相吻合。

圖8 σ1 =0.05, σ2 =0.08

5 結(jié)論

疾病傳播過程中，環(huán)境的隨機波動是影響傳染病傳播的不可避免地重要因素之一。本文研究了一類利用白噪聲來描述環(huán)境對疾病傳播影響的隨機SIRS 雙流行傳染病模型，得到了模型全局正解的存在唯一性、滅絕性和持續(xù)性的充分條件，結(jié)果表明：白噪聲強度較大時兩種流行病必然滅絕，而白噪聲強度較小時，如果R?i ＜1(i= 1,2)，兩種流行病也會趨于滅絕，但如果R?i ＞1(i= 1,2)，兩種流行病在均值意義下將持續(xù)存在。本文結(jié)果在生物學意義下提供了疾病控制的理論和方法。最后，通過數(shù)值模擬驗證了我們所得到的主要結(jié)果。