結構動力學應用中若干基本概念的研究

張開銀, 孫 齊, 熊駟東, 蔣紫玲

(武漢理工大學 船海與能源動力工程學院,武漢 430063)

隨著科學技術的飛速發展,各種工程結構和供應產品向大型、高速、高性能、高精度和輕結構方向發展,動力學問題也越來越備受重視。在現代工程和結構設計中,必須進行結構動力學分析和動態設計,同時,結構動力學也是結構振動控制、結構動態優化設計、結構可靠性設計、結構健康監測和結構計算機輔助設計等學科的基礎。由此應用而涉及到的一些動力學基本概念理解的問題凸顯出來。本文就結構位移響應與第一階固有頻率的關系、結構各階位移模態的貢獻與模態應變能的關系、單自由度系統和多自由度系統共振的概念及區別、多自由度系統共振內涵之辨析、結構共振之工程應用等問題進行了深入分析與辨析。

1 各階位移模態與模態應變能

用諧波分析的方法將周期為T的激振力按照傅里葉級數展開,即

(1)

式中:ω為基頻,ωi=iω稱為倍頻;利用上式可以將一周期激振力分解為一系列頻率為iω的簡諧激振力,由于線性系統服從疊加原理,因此激振力f(t)總的響應等于各簡諧激振力響應之和。

工程上習慣性地稱第一階固有頻率為基頻[1-2]。由振型疊加原理可知,結構的響應按結構模態振型展開,理論上各階模態的地位是等同的,其對位移響應的貢獻取決于模態參與因子。結構的其他階固有頻率與第一階固有頻率一般不存在倍數的關系;因此,直接地將第一階固有頻率稱為基頻是不合適的,夸大了第一階模態在結構動力分析中的地位,強化了“第一階模態貢獻較大而高階模態貢獻較小”的概念[3]。以至于在工程實際中分析結構動力特性時,往往偏重于第一階模態的分析,而輕視了高階模態。

根據振型疊加原理,結構的響應可視為各階模態分量加權之和[4]

u=Φξ

(2)

式中:u為物理坐標陣;Φ為模態矩陣;ξ為主坐標陣。

各階模態對結構的影響程度分析有待進一步推進,為了更深入了解各階模態響應與模態應變的關系,現以一橫向振動的勻質等截面簡支梁為例進行討論。假定梁的第j階模態所對應的響應為

(3)

根據初等梁理論,第j階模態對應的應變能為

(4)

式中:l為梁長;EI為梁的抗彎剛度。

根據式(4),若結構第n階模態與第m階模態具有相同應變能時,對應的最大振幅比為

(5)

同理,根據式(4),若梁結構第n階模態與第m階模態具有相同的振幅時,對應的應變能為

(6)

為了說明各階模態對結構的影響,給某簡支梁一特定激勵,假定其響應僅由第一階模態與第二階模態所構成,根據式(4),當結構的第一階模態與第二階模態具有相同應變能(∏1max=∏2max)時,結構的第一階模態對應的最大振幅是第二階模態的對應的最大振幅的四倍,即(ξ1max=4ξ2max)。往往也是如此,結構第一階模態的最大振幅比高階模態的振幅更大,詮釋了為什么第一階模態更容易被觀察到也更受重視。而當結構第一階模態對應的最大振幅與第二階模態對應的最大振幅相等時(ξ1max=ξ2max),結構第一階模態對應的應變能僅是第二階模態對應的應變能1/16(∏1max=1/16∏2max)。所以,低階模態具有較大的位移,并不一定具有較大的應變能,在進行結構動力特性分析時,不能過分偏重低階模態而輕視高階模態。

2 多自由度系統的模態疊加計算

2.1 模態位移法

如圖1所示,四個自由度結構的抗剪模型,其剪切剛度系數及樓板質量均表示在圖1中,在頂層受一水平力pcos(Ωt)。

圖1 四自由度結構抗剪模型

計算分析系統的固有頻率,模態矩陣,模態質量,模態剛度,模態力,以及系統在不同的激振頻率下用不同的截斷(即N=1,N=2,N=3,N=4)方法的響應振幅。選各層的水平位移u1,u2,u3,u4為廣義坐標,根據達朗貝爾原理可列出系統的運動方程為

式中:m為各樓板質量;k為剪切剛度系數;u為各層的水平位移;M為質量矩陣;K為剛度矩陣;F為荷載向量。其固有頻率即模態矩陣可用后面的求廣義特征值和特征向量的方法獲得

其各階振型如圖2所示。

圖2 各階主振型

求得模態質量,模態剛度和模態力為

模態剛度可以從上式求得,也可用更簡單的方法求得,即

其余的模態質量,模態剛度可用相似的方法求得,即

模態力

因系統是單點簡諧激勵。而且要求u1的穩定響應幅值,可直接用公式,并表明各階模態的影響,有

對Ω=0.5ω1,Ω=1.3ω3,其u1的幅值(pcos(Ωt)的系數)計算結果如表1所示。

表1 u1幅值計算結果

從上述結果可以看出,只取第一階模態在3個激振頻率下都是不精確的,誤差太大。取前3個模態在激振頻率為0或0.5ω1時,其響應已足夠精確,但是對Ω=1.3ω3,誤差仍然較大,其原因是此時的激振頻率幾乎等于ω4,那么對u1的響應貢獻最大者應是第四階主模態,所以此時不能截斷第四階模態。

2.2 模態加速度法

因ζ=0可得

于此得

于是

分別給出Ω=0,Ω=0.5ω1,Ω=1.3ω3的情況下,取不同階數時對u1的振幅影響,如表2所示。

從上述結果可看出:

(1)當Ω=0時,不需要各階模態的貢獻,就可以得到精確的靜態解。

(2)在低頻激勵時,如Ω=0.5ω1,即使取一階模態就已足夠精確,模態加速度法取前兩階模態就和模態位移法的取三階相當。

(3)當激勵頻率Ω=1.3ω3時,因為在ω3和ω4之間,在這種情況下,模態位移法和模態加速度法的任何截斷都會有較大誤差,都需要取四階模態。

3 單自由度系統與多自由度系統共振分析

多自由度系統或彈性結構的共振,是結構振動理論中一個最基本且十分重要的概念,相關教科書及文獻資料中尚未給出完整準確的定義。對于單自由度系統而言,當激勵力頻率接近或等于系統固有頻率時,其位移響應將迅速增大,這種現象被稱為單自由度系統的共振[5](教科書中有明確定義)。這一共振概念現已被結構工程界普遍接受,可謂是根深蒂固。如果將單自由度系統共振的概念,不假思索而無條件地拓展到多自由度系統或彈性結構中(即當激勵力頻率接近或等于系統的某階固有頻率時,結構振幅過大的現象稱為結構共振),其科學性與嚴謹性尚值得商榷。

3.1 單自由度系統共振

對于有阻尼單自由度系統,激勵力作用下的振動微分方程為

(7)

系統則以激勵頻率Ω振動,其穩態位移響應為

y(t)=Ysin(Ωt-α)

(8)

將式(8)代入式(7)得

(9)

(10)

將動力放大系數定義為

(11)

3.2 多自由度系統共振

對于具有比例阻尼[C]=α[M]+β[K](α、β為結構實測資料識別的系數)的n自由度系統,簡諧激勵力作用下的振動微分方程為

作坐標變換

{y(t)}=[Φ]{ξ(t)}

(13)

式中:[Φ]=[{φ}1,{φ}2,…,{φ}n]為模態矩陣;{ξ}={ξ1,ξ2,…,ξn}T為模態坐標(或模態參與因子)。

將式(13)代入式(12)可得到n個模態坐標解耦的微分方程

由式(14)可知:其類似于有阻尼單自由度系統強迫振動微分方程,且有

(15)

(16)

式中:ωi為系統第i階無阻尼固有頻率;ζi為系統第i階模態阻尼比。

由式(15)和式(16),對式(14)作歸一化處理可得

對于式(17),若初位移與初速度均為零,運用Duhamel積分,則各階模態坐標為

將式(18)代入式(13),則多自由度系統的位移響應可表示為

(i=1,2,…,n)

(19)

由式(18)和式(19),若模態荷載Fi(t)≠0而Fj(t)=0(j≠i)時,模態參與因子ξi(t)≠0,ξj(t)=0(j≠i)則系統呈現為第i階模態,即所謂的純模態。

那么由模態的正交性,若{P0}=[M]{φ}i,則有

(20)

同理,若{P0}=[K]{φ}i,則有

(21)

由式(20)和式(21)作進一步拓展,若激勵力滿足

{P0}=(a[M]+b[K]){φ}i(a,b為任意常數)

(22)

則系統呈現為第i階純模態振動。

4 多自由度系統共振之內涵

實現多自由度系統的共振,在滿足激勵力頻率等于系統某階固有頻率的同時,還要對結構的多點激勵進行合理的調制,以保證系統的響應呈現出相應的單一模態。多自由度系統共振之內涵,可以從數學與力學兩個方面來準確理解。

(23)

(24)

鑒于多自由度系統各階模態關于剛度矩陣和質量矩陣的加權正交,各模態間的模態能量不能夠相互傳遞或轉移。那么,由激勵力輸入給系統的各階模態能量一部分被模態阻尼所耗散,而另一部分用于維持該階模態的振動。由于系統各階模態的存在(取決于模態參與因子ξj(t)≠0),結構任一處的響應都將受到各階模態的相互牽連與制約,有些部位的位移響應得到加強,而有些部位的位移響應受到削弱,從而限制了結構位移響應的進一步增大。而對于呈現純模態的多自由度系統,各點的響應彼此協調,類似于一單自由度系統的振動。

通過上述分析,單自由度系統共振與多自由度系統共振之區別在于:單自由度系統共振僅僅依賴于激勵頻率——激勵頻率等于系統固有頻率(沒有振型的概念);而多自由度系統共振不僅有賴于激勵頻率——激勵頻率等于系統某階固有頻率,更重要的是實現多個激勵力分布的合理調整,使其響應表現出純模態(對結構振型有限制)。正是由于絕大多數結構工程技術人員缺乏對結構動力學基本概念的準確理解,將單自由度系統共振之概念無條件地拓展到了多自由度系統與連續體的振動中。通過對結構共振概念的辨析與討論,以保證其科學性與嚴謹性。

5 結構共振之工程應用

多自由度系統或結構共振概念的辨析,不僅在于準確理解結構動力學的基本概念;同時,在結構試驗模態分析中,結構共振(純模態)狀態對于模態參數的識別有著十分重要的工程實用價值[7-9]。

目前,結構試驗模態分析中結構模態參數的識別主要分為頻率域識別法和時間域識別法,其對結構試驗工程技術人員的理論儲備和專業素質要求相對較高。如果在結構模態試驗時,通過合理調節多個激振的分布和大小來補償結構的內部阻尼,以便激勵出結構的等效無阻尼固有模態。當結構處于純模態狀態振動時,可通過物理測試直接高精度識別出結構的模態參數(如結構固有頻率、位移模態、模態阻尼比等)[10],從而可取得事半功倍的效果。參數同步優化隨機共振方法可以有效地從強背景噪聲中檢測出微弱故障信號[11]。在周期荷載作用下,小的外部激勵可以激發框架結構的大振幅自參數共振[12]。

在結構試驗模態分析中,“共振法”相對于常用的頻率域識別法或時間域識別法而言,具有物理概念清晰、模態參數識別精度高等優點。同時,若僅當激勵力頻率等于結構的某階固有頻率時也被視為結構的“共振”,任一結構的“共振”將會呈現出多種形態(有賴于激勵方式而非唯一性),所識別模態參數的精度也有賴于其它模態參與的程度。

6 結 論

(1)根據模態疊加原理,系統的響應由多階模態的貢獻所構成,當激勵頻率不同時,各階模態對應系統位移響應的貢獻也不同。

(2)多自由度系統或結構的共振,在保證結構振動頻率(為某階固有頻率)等于激勵頻率的同時,其位移響應還應呈現出相應的純模態。

(3)實現多自由度系統或結構純模態共振,可用于精確識別結構的模態參數(如結構固有頻率、位移模態、模態阻尼比等)。