融合多工況功率譜密度函數(shù)的工作模態(tài)分析方法

曾舒洪, 康 杰, 孫嘉寶, 羅 杰

(南京航空航天大學(xué) 航天學(xué)院,南京 211106)

工作模態(tài)分析(operational modal analysis,OMA)[1]方法通過對(duì)結(jié)構(gòu)在環(huán)境激勵(lì)下輸出響應(yīng)測(cè)量的分析,提取反映結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的模態(tài)參數(shù)。模態(tài)參數(shù)在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)以及工作狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制等方面具有重要的應(yīng)用價(jià)值[2-4],因此快速精確地識(shí)別模態(tài)參數(shù)十分必要。頻域分解(frequency domain decomposition,FDD)法是OMA的一種,最早由Brincker等[5]提出,該方法在結(jié)構(gòu)受白噪聲激勵(lì)以及結(jié)構(gòu)小阻尼的前提下,可較好的識(shí)別結(jié)構(gòu)的固有頻率和模態(tài)振型,且可識(shí)別結(jié)構(gòu)的密集模態(tài)。然而,結(jié)構(gòu)在工作狀態(tài)下受到非白噪聲激勵(lì)現(xiàn)象普遍存在,非白噪聲激勵(lì)的功率譜密度在關(guān)心頻帶內(nèi)不是常數(shù)。根據(jù)關(guān)心頻帶內(nèi)激勵(lì)頻譜的峰值形式,非白激勵(lì)可分為三類:①存在諧波成分的環(huán)境激勵(lì),如結(jié)構(gòu)旋轉(zhuǎn)部件產(chǎn)生的諧波激勵(lì)[6];②存在激勵(lì)主頻的噪聲激勵(lì),如運(yùn)載火箭飛行時(shí)受到的發(fā)動(dòng)機(jī)推力振蕩[7];③不存在主頻的非平譜噪聲激勵(lì),如嘈雜環(huán)境中的聲波激勵(lì)[8]。三類非白激勵(lì)功率譜密度曲線如圖 1所示。

上述三類非白激勵(lì)中,前兩類均會(huì)產(chǎn)生虛假模態(tài),第三類會(huì)引起有偏的辨識(shí)結(jié)果且存在弱模態(tài)辨識(shí)問題,本文僅討論前兩類非白激勵(lì)導(dǎo)致的虛假模態(tài)辨識(shí)問題。

目前,已有部分文獻(xiàn)對(duì)非白噪聲激勵(lì)下模態(tài)識(shí)別問題開展了研究。Zhang等[9]提出基于Gabor展開的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法,可用于估計(jì)線性時(shí)不變系統(tǒng)在非白激勵(lì)下的固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型,但該方法不適用于存在密集模態(tài)的結(jié)構(gòu)。Brincker等[10]提出基于響應(yīng)的概率密度函數(shù)(probability density function,PDF)區(qū)分結(jié)構(gòu)的諧波響應(yīng)和隨機(jī)響應(yīng),但當(dāng)結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼比很小時(shí),其模態(tài)頻率處峰值與諧波峰值形狀相近,該方法失效。Guillaume等[11]提出了響應(yīng)傳遞率的概念并將其用于非白激勵(lì)下的模態(tài)辨識(shí);為克服傳遞率方法需要多個(gè)激勵(lì)工況的問題,Yan等[12]提出了基于功率譜密度傳遞率(power spectral density transmissibility,PSDT)的模態(tài)識(shí)別方法。該方法結(jié)合同一工況下不同轉(zhuǎn)移通道對(duì)應(yīng)的PSDT函數(shù),成功辨識(shí)出結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。在此基礎(chǔ)上,Yan等[13-14]提出了一系列改進(jìn)方法,降低了PSDT方法辨識(shí)虛假極點(diǎn)的風(fēng)險(xiǎn)。目前,PSDT方法在工程中廣泛運(yùn)用,但其原理為PSDT矩陣的秩在模態(tài)頻率處為1,非模態(tài)頻率處大于1,因此該方法在以下情況失效:①結(jié)構(gòu)受到諧波激勵(lì);②結(jié)構(gòu)僅在一個(gè)位置受到非白噪聲激勵(lì);③結(jié)構(gòu)在多個(gè)位置受到非白噪聲激勵(lì),但各位置處的非白激勵(lì)是相關(guān)的。此外,PSDT類方法也無法識(shí)別結(jié)構(gòu)密集模態(tài)。為解決上述問題,本文提出融合多工況功率譜密度(power spectral density ,PSD)函數(shù)的工作模態(tài)分析方法,并通過理論分析和試驗(yàn)驗(yàn)證,驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 FDD方法原理

FDD法基本思想是先計(jì)算出響應(yīng)的PSD矩陣,而后對(duì)矩陣進(jìn)行奇異值分解(singular value decomposition,SVD),將多自由度系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為單自由度系統(tǒng)的疊加,從而識(shí)別出結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。本章簡(jiǎn)要概述FDD方法的原理,詳細(xì)推導(dǎo)見文獻(xiàn)[15-16]。

結(jié)構(gòu)激勵(lì)PSD函數(shù)矩陣和響應(yīng)的PSD矩陣的關(guān)系可表示為

Sxx(iω)=H*(iω)Sff(iω)HT(iω)

(1)

式中:上標(biāo)“*”和“T”分別為矩陣的共軛和轉(zhuǎn)置;i為虛部單位;ω為圓頻率;Sff(iω),Sxx(iω)分別為結(jié)構(gòu)激勵(lì)和響應(yīng)的PSD矩陣。在比例阻尼的假設(shè)下,結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)(frequency response function,FRF)矩陣H(iω)可以用部分分式的形式表示為

(2)

式中:Nm為結(jié)構(gòu)模態(tài)的階數(shù);λr為第r階模態(tài)極點(diǎn);Rr為第r階模態(tài)留數(shù)矩陣,可表示為

(3)

式中,φr和γr分別為第r階模態(tài)振型和模態(tài)參與因子向量。假設(shè)結(jié)構(gòu)激勵(lì)為白噪聲,則激勵(lì)PSD矩陣Sff(iω)在所有頻率下為常數(shù),將式(2)代入式(1)可得

(4)

式中:上標(biāo)“H”為矩陣共軛轉(zhuǎn)置;Ar為響應(yīng)PSD的留數(shù)矩陣,可表示為

(5)

式中,C表示與激勵(lì)PSD矩陣相關(guān)的常數(shù)Hermitian矩陣。在結(jié)構(gòu)阻尼為小阻尼的假設(shè)下,第r階模態(tài)極點(diǎn)可表示為

(6)

式中,ωn,r和ξr分別為第r階無阻尼模態(tài)頻率和相應(yīng)的阻尼比。在小阻尼情況下,σr?ωd,r,則第r階留數(shù)矩陣Ar可簡(jiǎn)化為

(7)

進(jìn)一步式可近似為

(8)

考慮關(guān)心頻帶內(nèi)的所有結(jié)構(gòu)模態(tài),則式(8)可表示為

(9)

式中:ψ=[φ1φ2…φNm]為模態(tài)振型矩陣;diag(·)為對(duì)角矩陣;Re(·)為取復(fù)數(shù)實(shí)部。當(dāng)頻率接近第r階有阻尼模態(tài)頻率ωd,r時(shí),其他模態(tài)可忽略,式(9)可簡(jiǎn)化為

(10)

對(duì)進(jìn)行SVD可得

Sxx(iω)=UΣUH

(11)

式中:U為酉矩陣,各列為奇異向量且相互正交;Σ為由奇異值組成的實(shí)對(duì)角矩陣。

在第r階有阻尼模態(tài)頻率ωd,r附近,響應(yīng)PSD矩陣Sxx(iω)可由式(10)近似,此時(shí)Sxx(iω)的第1階奇異值遠(yuǎn)大于其余奇異值,矩陣U的第一列與模態(tài)振型成比例。因此,可通過Sxx(iω)第1階奇異值的峰值位置確定模態(tài)頻率,根據(jù)矩陣U第一列估計(jì)模態(tài)振型。當(dāng)結(jié)構(gòu)中存在密集模態(tài)時(shí),模態(tài)頻率處第1階和第2階奇異值均會(huì)出現(xiàn)峰值,此時(shí)密集模態(tài)的模態(tài)振型可通過矩陣U的第一列和第二列估計(jì)。

2 FDD方法性能分析

2.1 FDD方法性能影響因素分析

由第1章分析可知,在非密集模態(tài)頻率處,結(jié)構(gòu)響應(yīng)PSD矩陣的秩為1,此時(shí)結(jié)構(gòu)模態(tài)振型可由左奇異矩陣第一列估計(jì);若結(jié)構(gòu)在某一頻率出現(xiàn)兩階密集模態(tài),PSD矩陣的秩則為2,此時(shí)密集模態(tài)振型可由左奇異矩陣的第一列和第二列分別估計(jì)。因此,PSD矩陣的秩是影響FDD方法識(shí)別精度的決定性因素。本章通過對(duì)響應(yīng)PSD矩陣秩的影響因素進(jìn)行分析,揭示FDD方法在非白激勵(lì)下存在的不足。

為表述簡(jiǎn)便,本章公式中略去虛部單位i。結(jié)構(gòu)響應(yīng)PSD矩陣可表示為如下分量形式

(12)

rank(H(ω))=min(No,Ni,nm(ω))

(13)

式中:nm(ω)為頻率ω處的主要模態(tài)階數(shù);rank(·),min(·)分別為取矩陣的秩和最小值。

在實(shí)際應(yīng)用中,響應(yīng)PSD函數(shù)通過Welch方法計(jì)算,以減小統(tǒng)計(jì)誤差[18]。Welch方法首先將測(cè)量的響應(yīng)信號(hào)分割成多個(gè)數(shù)據(jù)段,然后對(duì)每個(gè)數(shù)據(jù)段加窗函數(shù)(Hanning窗、Hamming窗等)后計(jì)算PSD,最后所有數(shù)據(jù)段平均得到PSD估計(jì)值。如果將信號(hào)分割成Nw段,則PSD矩陣Sff(ω)可由下式計(jì)算

(14)

式中,f(ω)為第i個(gè)窗口激勵(lì)向量,且F(ω)=[f1(ω)f2(ω) …fNw(ω)]。假設(shè)在結(jié)構(gòu)上存在Nμ個(gè)不相關(guān)的激勵(lì)源,且Nμ≤Ni,則式(14)中F(ω)的秩為Nμ。由于在環(huán)境激勵(lì)中Nw個(gè)數(shù)據(jù)段近似不相關(guān),F(ω)為列滿秩矩陣,則

rank(F(ω))=min(Nw,Nμ)

(15)

結(jié)合式(13)和式(15),且考慮Nμ≤Ni,響應(yīng)PSD矩陣Sxx(ω)的秩可表示為

rank(Sxx(ω))=min(No,Nμ,Nw,nm(ω))

(16)

由式(16)可以看出,響應(yīng)PSD矩陣Sxx(ω)的秩滿足以下性質(zhì):

(1)響應(yīng)PSD矩陣Sxx(ω)的秩等于響應(yīng)個(gè)數(shù)No、不相關(guān)激勵(lì)源數(shù)Nμ、分割窗個(gè)數(shù)Nw、主導(dǎo)模態(tài)階數(shù)nm(ω)中的最小值。

(2)響應(yīng)PSD矩陣Sxx(ω)的秩與激勵(lì)個(gè)數(shù)Ni無關(guān)。

(3)在非密集模態(tài)處,矩陣的秩為1。在密集模態(tài)處主導(dǎo)模態(tài)階數(shù)nm(ω)≥2,則矩陣的秩>1。

你知道這個(gè)現(xiàn)象背后的意義嗎？現(xiàn)在很多早教中心都已經(jīng)把這個(gè)現(xiàn)象發(fā)展為一個(gè)特定的親子游戲了，其背后的理論就是認(rèn)為寶寶照鏡子是在認(rèn)識(shí)自己，這是一種以感官體驗(yàn)建立與周圍事物聯(lián)系的訓(xùn)練方法。

2.2 FDD方法的不足

如第1章所述,FDD方法的基本思想是結(jié)構(gòu)受白噪聲激勵(lì)以及結(jié)構(gòu)小阻尼的前提下,通過PSD矩陣的秩來識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)以及判斷結(jié)構(gòu)中是否存在密集模態(tài)。但結(jié)構(gòu)受到非白噪聲激勵(lì)的情況下,由于非白噪聲激勵(lì)的功率譜不是平譜,在其激勵(lì)主頻處存在峰值。此時(shí),結(jié)構(gòu)響應(yīng)PSD函數(shù)在激勵(lì)主頻處也會(huì)出現(xiàn)峰值,響應(yīng)PSD矩陣的秩在激勵(lì)主頻處將由不相關(guān)非白激勵(lì)源的個(gè)數(shù)決定。因此,FDD方法在非白噪聲激勵(lì)下存在的問題可歸納如下:

(1)當(dāng)結(jié)構(gòu)單個(gè)點(diǎn)受到非白環(huán)境激勵(lì)或結(jié)構(gòu)多個(gè)點(diǎn)受到相關(guān)的非白環(huán)境激勵(lì)時(shí),響應(yīng)PSD矩陣在非白激勵(lì)主頻處的秩為1,此時(shí)FDD方法會(huì)將非白激勵(lì)主頻誤識(shí)別為結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率。

(3)若結(jié)構(gòu)受到諧波激勵(lì)作用,當(dāng)采用Welch方法估計(jì)響應(yīng)PSD矩陣時(shí),由于各個(gè)時(shí)間段內(nèi)的諧波響應(yīng)總是相關(guān),因此得到的PSD矩陣在諧波激勵(lì)頻率處的秩總為1[19],此時(shí)FDD方法會(huì)將諧波頻率誤識(shí)別為結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率。

3 融合多工況功率譜密度函數(shù)的OMA方法

第2章中,FDD方法假設(shè)結(jié)構(gòu)所受激勵(lì)為白噪聲隨機(jī)激勵(lì),當(dāng)結(jié)構(gòu)受到非白激勵(lì)時(shí),FDD方法會(huì)將激勵(lì)主頻錯(cuò)誤識(shí)別為結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率。

由式可知,當(dāng)輸出通道數(shù)No與分割窗口個(gè)數(shù)Nw足夠大時(shí),響應(yīng)PSD矩陣Sxx(ω)秩等于不相關(guān)激勵(lì)源數(shù)目Nμ,且在模態(tài)頻率處等于此頻率處結(jié)構(gòu)模態(tài)階數(shù)nm。根據(jù)該性質(zhì),本文提出一種融合多個(gè)激勵(lì)工況下響應(yīng)PSD矩陣的OMA方法,解決第2.2節(jié)中指出的傳統(tǒng)FDD方法存在的不足。所提方法核心思想是:通過不同激勵(lì)工況下的響應(yīng)PSD矩陣構(gòu)建增廣PSD矩陣,隨后進(jìn)行奇異值分解,在第1階奇異值峰值處比較單工況響應(yīng)PSD矩陣的秩與增廣PSD矩陣的秩,當(dāng)秩相同時(shí)表明該峰值由結(jié)構(gòu)模態(tài)引起,否則由非白激勵(lì)引起,同時(shí)密集模態(tài)可由PSD矩陣秩的大小確定。

選擇多個(gè)不相關(guān)激勵(lì)工況下的響應(yīng)和判斷奇異值峰值處PSD矩陣的秩是所提方法應(yīng)用的關(guān)鍵。第3.1節(jié)介紹所提方法的原理及流程,第3.2節(jié)重點(diǎn)討論如何定量判斷所選激勵(lì)工況的不相關(guān)性,第3.3節(jié)給出確定PSD矩陣秩的定量準(zhǔn)則。

3.1 方法原理及流程

由式可知,響應(yīng)PSD矩陣在結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率處與相應(yīng)的模態(tài)振型向量成比例。由于結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)屬于結(jié)構(gòu)固有屬性,因此在任何激勵(lì)條件下響應(yīng)PSD矩陣均具有該性質(zhì)。然而,在非白環(huán)境激勵(lì)的主頻處,響應(yīng)PSD矩陣的秩將會(huì)隨激勵(lì)作用方式的改變而改變。基于上述特性,本文提出融合多工況響應(yīng)PSD矩陣的FDD方法。

不同于傳統(tǒng)FDD方法僅利用單一激勵(lì)工況下的響應(yīng)PSD矩陣,本文方法首先將不同激勵(lì)工況下估計(jì)的響應(yīng)PSD矩陣組合為如下增廣PSD矩陣

(17)

(1)在模態(tài)頻率處等于此頻率處結(jié)構(gòu)模態(tài)階數(shù)nm,因此與單一激勵(lì)工況下PSD矩陣Sxx(ω)的秩相同;

(2)在其他頻率處,等于所有激勵(lì)工況下不相關(guān)激勵(lì)源數(shù)目之和,因此與Sxx(ω)的秩不同。

本文所提方法主要包括以下五個(gè)步驟:

步驟1不同激勵(lì)工況下響應(yīng)PSD矩陣估計(jì)

測(cè)量Nc(Nc≥2)個(gè)不同激勵(lì)工況下的結(jié)構(gòu)振動(dòng)信號(hào),并利用Welch方法估計(jì)各工況下的響應(yīng)PSD矩陣。為定量區(qū)分不同環(huán)境激勵(lì)工況,本文利用工況區(qū)分準(zhǔn)則(load difference indicator,LDI)[20]對(duì)環(huán)境激勵(lì)工況進(jìn)行區(qū)分,LDI準(zhǔn)則的原理及表達(dá)式見第3.2節(jié)。

步驟2單激勵(lì)工況響應(yīng)PSD矩陣SVD分解

步驟3多激勵(lì)工況響應(yīng)PSD矩陣SVD分解

步驟4非白環(huán)境激勵(lì)主頻識(shí)別

步驟5結(jié)構(gòu)密集模態(tài)識(shí)別

所提方法完整流程圖如圖 2所示,其中LDI與DSSV準(zhǔn)則分別見第3.2節(jié)和3.3節(jié)。

3.2 不同激勵(lì)工況的區(qū)分準(zhǔn)則

本文所提方法需要至少兩個(gè)不同環(huán)境激勵(lì)工況,在選擇激勵(lì)工況時(shí)要保證不同激勵(lì)工況之間有足夠的區(qū)分度,因此定量判斷兩個(gè)激勵(lì)工況的區(qū)分度對(duì)于所提方法十分關(guān)鍵。

從響應(yīng)PSD矩陣出發(fā),若兩個(gè)激勵(lì)工況相似度較高,則其響應(yīng)PSD函數(shù)圖像在整個(gè)頻帶內(nèi)幾乎重合;反之,若兩個(gè)激勵(lì)工況的激勵(lì)作用方式相差較大,響應(yīng)PSD函數(shù)也將存在較大差異。鑒于此,本文采用文獻(xiàn)[20]中的歸一化PSD相對(duì)偏差作為LDI,其公式如下

(18)

3.3 響應(yīng)PSD矩陣秩的判斷準(zhǔn)則

融合多激勵(lì)工況響應(yīng)PSD矩陣的FDD方法,核心是檢測(cè)單個(gè)激勵(lì)工況與多個(gè)激勵(lì)工況下響應(yīng)PSD矩陣秩的變化,故準(zhǔn)確地識(shí)別出響應(yīng)PSD矩陣的秩是保證該方法精度的關(guān)鍵。傳統(tǒng)FDD方法通過人為挑選奇異值峰值確定響應(yīng)PSD矩陣的秩,屬于定性方法。已有部分文獻(xiàn)提出了判斷矩陣秩的定量準(zhǔn)則,如奇異值熵增準(zhǔn)則[21]、奇異值的均值準(zhǔn)則[22]等。其中,Zhao等[23]提出的DSSV的概念,它由奇異值序列的正向差分組成,可以描述復(fù)雜信號(hào)的奇異值突變狀態(tài);在信號(hào)分解、模態(tài)階數(shù)選擇等應(yīng)用中表現(xiàn)優(yōu)異,因此本文采用DSSV作為PSD矩陣秩的確定準(zhǔn)則。DSSV定義為奇異值的向后差分,其表達(dá)式為

(19)

式中,θi為第i階奇異值。若矩陣的秩等于m,則奇異值θm遠(yuǎn)大于θm+1,因此DSSV由θm+1開始趨近于0,根據(jù)該特性即可通過DSSV曲線確定響應(yīng)PSD矩陣的秩。

4 桁架結(jié)構(gòu)仿真算例

本章采用文獻(xiàn)[24]中的桁架結(jié)構(gòu)模型驗(yàn)證所提方法的有效性。桁架結(jié)構(gòu)模型如圖3所示,彈性模量為6.98×1010Pa,材料密度為2 770 kg/m3,并在節(jié)點(diǎn)1、節(jié)點(diǎn)2、節(jié)點(diǎn)3、節(jié)點(diǎn)4上加入454 kg的額外集中質(zhì)量,Ai為第i根桿件橫截面積,其阻尼矩陣與質(zhì)量矩陣成正比且第一模態(tài)阻尼等于1%,表1給出桁架結(jié)構(gòu)真實(shí)模態(tài)頻率和阻尼比。由表1可知,桁架結(jié)構(gòu)模態(tài)3和模態(tài)4相隔較近,模態(tài)5和模態(tài)6幾乎重合,屬于密集模態(tài)。

表1 桁架結(jié)構(gòu)的真實(shí)模態(tài)頻率與阻尼比

本算例中采用三種類型的激勵(lì)(即白噪聲、諧波激勵(lì)和非白噪聲激勵(lì)),其中諧波激勵(lì)的頻率為12 Hz;非白噪聲激勵(lì)由白噪聲經(jīng)過單自由度系統(tǒng)過濾得到,濾波函數(shù)為

(20)

桁架結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)使用方法進(jìn)行計(jì)算,時(shí)間步長為1/1 024 s,總時(shí)長320 s。隨后對(duì)響應(yīng)進(jìn)行128 Hz重采樣,在重采樣響應(yīng)中加入不相關(guān)高斯序列模擬傳感器測(cè)量噪聲,信噪比為20 dB。

4.1 激勵(lì)工況設(shè)置

為驗(yàn)證提出方法的有效性,本文對(duì)各工況中白噪聲、非白噪聲和諧波激勵(lì)的工況選擇如下。

工況Ⅰ:節(jié)點(diǎn)1的x、y方向同時(shí)作用非白噪聲激勵(lì)與諧波激勵(lì),節(jié)點(diǎn)2、節(jié)點(diǎn)3、節(jié)點(diǎn)4的x、y方向同時(shí)作用高斯白噪聲激勵(lì)。所有非白噪聲激勵(lì)與高斯白噪聲激勵(lì)均不相關(guān),且沿節(jié)點(diǎn)1的x和y方向的兩個(gè)諧波激勵(lì)之間的相位差是隨機(jī)的。

工況Ⅱ:節(jié)點(diǎn)1的x、y方向同時(shí)作用非白噪聲激勵(lì)與諧波激勵(lì),且沿節(jié)點(diǎn)1的x和y方向的激勵(lì)完全相關(guān),節(jié)點(diǎn)2、節(jié)點(diǎn)3、節(jié)點(diǎn)4的x、y方向同時(shí)作用不相關(guān)高斯白噪聲激勵(lì)。

工況Ⅲ:在節(jié)點(diǎn)1、節(jié)點(diǎn)2、節(jié)點(diǎn)3的x、y方向同時(shí)作用非白噪聲和諧波激勵(lì),且沿x、y方向激勵(lì)完全相關(guān)。

工況Ⅳ:在節(jié)點(diǎn)3的x、y方向同時(shí)作用非白噪聲和諧波激勵(lì),在節(jié)點(diǎn)1、節(jié)點(diǎn)2、節(jié)點(diǎn)4的x、y方向作用白噪聲激勵(lì),且激勵(lì)均不相關(guān)。

在上述四個(gè)工況中,工況Ⅰ和工況Ⅱ通過對(duì)比驗(yàn)證式(16)中響應(yīng)PSD矩陣秩的結(jié)論,同時(shí)說明經(jīng)典FDD方法在非白環(huán)境激勵(lì)下的局限性。設(shè)置工況Ⅲ和工況Ⅳ的目的是將兩個(gè)工況分別與工況Ⅰ進(jìn)行對(duì)比,通過式(18)選出區(qū)分度較高的兩個(gè)工況,用于驗(yàn)證所提方法的有效性。

4.2 仿真結(jié)果

4.2.1 經(jīng)典FDD方法辨識(shí)結(jié)果

使用Welch方法對(duì)響應(yīng)PSD計(jì)算,設(shè)置Hanning窗長度為2 048,鄰近的窗采用50%重疊,則響應(yīng)PSD函數(shù)通過39個(gè)窗平均估計(jì)。通過計(jì)算得到桁架結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的PSD矩陣,其對(duì)角線元素如圖4所示。圖4中曲線表示各響應(yīng)自由度的PSD函數(shù),圓圈表示此處峰值由非白激勵(lì)引起,方塊表示此處包含結(jié)構(gòu)密集模態(tài),豎直的點(diǎn)劃線表示結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率位置。從圖4中可清晰地看出,在諧波頻率12 Hz和有色噪聲激勵(lì)主頻40 Hz處均存在峰值;此外,從PSD曲線中難以區(qū)分結(jié)構(gòu)密集模態(tài),尤其在模態(tài)5和模態(tài)6處,兩階模態(tài)PSD曲線幾乎重合。

圖5和圖6分別給出了激勵(lì)工況Ⅰ和工況Ⅱ下響應(yīng)PSD矩陣的奇異值曲線,圖中曲線為各階奇異值曲線,數(shù)值表示該階奇異值曲線峰值頻率,單位為Hz,其余圖例含義與圖3相同。在圖5中,第1階和第2階奇異值在非白噪聲激勵(lì)主頻40 Hz處均出現(xiàn)峰值,而圖6中僅第1階奇異值在40Hz處出現(xiàn)峰值,原因是工況Ⅰ下作用的兩個(gè)非白噪聲激勵(lì)不相關(guān),而工況Ⅱ下作用的兩個(gè)非白噪聲激勵(lì)完全相關(guān);在諧波激勵(lì)頻率12 Hz處,均只有第1階奇異值出現(xiàn)峰值,說明響應(yīng)PSD矩陣在諧波激勵(lì)處的秩總為1。同時(shí),通過圖5,經(jīng)典FDD方法會(huì)將40 Hz識(shí)別為結(jié)構(gòu)的密集模態(tài),且將12 Hz識(shí)別為結(jié)構(gòu)模態(tài);圖6中,當(dāng)單工況Ⅱ激勵(lì)時(shí),經(jīng)典FDD方法將12 Hz及40 Hz處識(shí)別為結(jié)構(gòu)模態(tài),得到明顯錯(cuò)誤的結(jié)果。

上述結(jié)果驗(yàn)證了式給出的響應(yīng)PSD矩陣秩的結(jié)論,同時(shí)表明傳統(tǒng)FDD方法在非白環(huán)境激勵(lì)下的局限性。

4.2.2 所提方法辨識(shí)結(jié)果

(1)不同激勵(lì)工況選擇

圖7分別對(duì)比了激勵(lì)工況Ⅰ和工況Ⅲ,激勵(lì)工況Ⅰ和工況Ⅳ下4號(hào)節(jié)點(diǎn)y方向位移響應(yīng)的PSD函數(shù)曲線。可以看出,工況Ⅰ和工況Ⅲ之間的差異明顯大于工況Ⅰ和工況Ⅳ之間的差異。為定量比較兩個(gè)工況之間的差異,在每個(gè)峰值附近取寬度為Δω=4 Hz的窄帶,利用式計(jì)算LDI指標(biāo),結(jié)果如圖8所示。工況Ⅰ與工況Ⅲ之間LDI最小值為0.305,出現(xiàn)在頻率為40 Hz處,工況Ⅰ與工況Ⅳ之間LDI最小值為0.261,出現(xiàn)在頻率為48.56 Hz處。區(qū)分不同激勵(lì)的LDI閾值為15%,則激勵(lì)工況Ⅰ與工況Ⅲ,激勵(lì)工況Ⅰ與工況Ⅳ均可用于本次驗(yàn)證試驗(yàn),但由圖8可知,除第1階頻率外,工況Ⅰ與工況Ⅲ的LDI值均大于工況Ⅰ與工況Ⅳ,因此本章采用區(qū)分度更高的工況Ⅰ與工況Ⅲ對(duì)所提方法進(jìn)行驗(yàn)證。

(2)單工況PSD矩陣與增廣PSD矩陣的秩對(duì)比

圖9給出了激勵(lì)工況Ⅲ下響應(yīng)PSD矩陣的奇異值曲線,可以看出,響應(yīng)PSD矩陣前3階奇異值在非白噪聲激勵(lì)主頻40 Hz處均出現(xiàn)峰值,說明在激勵(lì)工況Ⅲ中三個(gè)不相關(guān)的非白激勵(lì)下,響應(yīng)PSD矩陣的秩為3;在諧波激勵(lì)頻率12 Hz處,只有第1階奇異值出現(xiàn)峰值,進(jìn)一步說明響應(yīng)PSD矩陣在諧波激勵(lì)處的秩總為1。

圖10分別給出了單激勵(lì)工況Ⅰ和工況Ⅲ以及融合工況下頻率為12 Hz和40 Hz處的DSSV曲線。在12 Hz時(shí),圖5中第1階奇異值出現(xiàn)峰值,圖11中第1階和第2階奇異值出現(xiàn)峰值,在圖10中使用一個(gè)工況激勵(lì)時(shí),第2階DSSV值接近于零,融合兩個(gè)工況時(shí),第2階DSSV不為零,第3階DSSV值接近于零,可得在12 Hz處,單個(gè)工況激勵(lì)時(shí)PSD矩陣的秩為1,融合兩個(gè)工況激勵(lì)時(shí)PSD矩陣的秩為2。按照同樣的思路,在40 Hz處,只有工況Ⅰ激勵(lì)時(shí)PSD矩陣的秩為2,融合兩個(gè)工況同時(shí)激勵(lì)時(shí)PSD矩陣的秩增加為4。

圖1 三類典型非白噪聲激勵(lì)功率譜密度示意圖

圖2 所提方法流程圖

圖3 桁架結(jié)構(gòu)圖[24]

圖4 僅工況Ⅰ激勵(lì)桁架自功率譜密度

圖5 工況Ⅰ激勵(lì)PSD矩陣奇異值

圖6 工況Ⅱ激勵(lì)PSD矩陣奇異值

圖7 不同激勵(lì)工況下的PSD函數(shù)

圖8 不同激勵(lì)工況組合下的工況區(qū)分準(zhǔn)則

圖9 工況Ⅲ激勵(lì)PSD矩陣奇異值

圖10 各工況下奇異值計(jì)算得DSSV值

圖11 工況Ⅰ與工況Ⅲ激勵(lì)PSD矩陣奇異值

圖5和圖11中諧波頻率12 Hz處和非白噪聲激勵(lì)主頻40 Hz處奇異值曲線的峰值數(shù)發(fā)生改變,即PSD矩陣的秩發(fā)生了改變;在其他頻率處奇異值曲線的峰值數(shù)相同,即PSD矩陣的秩在激勵(lì)工況Ⅰ和融合激勵(lì)工況Ⅰ、工況Ⅲ作用下保持一致,這表明12 Hz和40 Hz處的峰值是由非白激勵(lì)引起的虛假模態(tài)。

上述結(jié)果驗(yàn)證了所提方法剔除虛假模態(tài)的有效性;剔除虛假模態(tài)后,觀察圖5中候選模態(tài)頻率,在頻率為28.75 Hz處PSD矩陣奇異值曲線在第1階和第2階均出現(xiàn)峰值,說明響應(yīng)PSD矩陣在頻率為28.75 Hz處的秩為2,結(jié)構(gòu)在這個(gè)頻率點(diǎn)處存在密集模態(tài)。結(jié)構(gòu)模態(tài)與非白激勵(lì)主頻鑒別結(jié)果如表2所示。該桁架結(jié)構(gòu)的第3階和第4階模態(tài)頻率相差0.38 Hz,在PSD矩陣奇異值曲線中可清楚看到兩個(gè)相隔很近的峰值,而第5和第6階模態(tài)頻率相差0.1 Hz,對(duì)應(yīng)的兩個(gè)峰值在PSD曲線上完全融合在一起,因此在辨識(shí)出的第5和第6階模態(tài)頻率均為28.75 Hz。

表2 結(jié)構(gòu)模態(tài)與非白激勵(lì)主頻鑒別結(jié)果

所提方法最終辨識(shí)出的桁架結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率及百分比誤差如表3所示,表中正值誤差表示辨識(shí)值大于理論值,負(fù)值表示辨識(shí)值小于理論值。綜合表2和表3可以看出,本文所提方法可有效剔除諧波激勵(lì)和有色噪聲激勵(lì)導(dǎo)致的虛假模態(tài),辨識(shí)出的結(jié)構(gòu)真實(shí)模態(tài)頻率與理論值非常接近。

表3 桁架結(jié)構(gòu)的理論值與辨識(shí)值

5 實(shí)例驗(yàn)證:廣州塔

本文采用中國廣州新電視塔[25]實(shí)例對(duì)所提方法進(jìn)行驗(yàn)證。數(shù)據(jù)采集時(shí)在主塔的八個(gè)平臺(tái)上總共部署20個(gè)單軸加速度計(jì),其中加速度計(jì)和采集系統(tǒng)的部署位置、方向和標(biāo)簽如圖12所示;在第四級(jí)和第八級(jí)布置了四個(gè)單軸加速度計(jì),其中兩個(gè)用于測(cè)量橢圓形內(nèi)部結(jié)構(gòu)短軸方向的加速度信號(hào),另外兩個(gè)用于測(cè)量長軸方向的加速度信號(hào);在其他六個(gè)平臺(tái)上,各布置兩個(gè)單軸加速度計(jì),一個(gè)用于測(cè)量橢圓形內(nèi)部結(jié)構(gòu)的短軸方向的加速度信號(hào),另一個(gè)用于長軸方向的加速度信號(hào),關(guān)于數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)及位置部署可見參考文獻(xiàn)[26-28]。

圖12 廣州塔上測(cè)量系統(tǒng)分布

數(shù)據(jù)測(cè)量時(shí)間段為2010-01-19 18 ∶00—2010-01-20 18 ∶00,所有單軸加速計(jì)測(cè)得的加速度響應(yīng)均以4 Hz的頻率重采樣,然后用于識(shí)別主塔的模態(tài)參數(shù)。使用Welch方法對(duì)響應(yīng)的PSD矩陣進(jìn)行計(jì)算時(shí),設(shè)置Hanning窗長度為1 024,窗與窗之間重疊率為50%。圖13中給出2010-01-20 15 ∶00—16 ∶00時(shí)間段內(nèi)響應(yīng)PSD函數(shù)求和圖像。

圖13 2010-01-20 15 ∶00—16 ∶00自功率譜密度之和

在1 Hz頻率內(nèi)對(duì)廣州塔的結(jié)構(gòu)模態(tài)進(jìn)行討論分析,圖13中共有10階模態(tài),其中第2～第9階模態(tài)為文獻(xiàn)[29-31]中識(shí)別的結(jié)構(gòu)模態(tài),第1階模態(tài)為環(huán)境非白噪聲激勵(lì)引起的虛假模態(tài),本章將用新提出的方法剔除0.043 Hz處的虛假模態(tài)。

如圖14所示,僅用2010-01-20 17 ∶00—18 ∶00時(shí)間段測(cè)量的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算,在0.043 Hz處圖像出現(xiàn)三個(gè)峰值,而其他頻率處僅出現(xiàn)一個(gè)峰值,從圖17中DSSV可以得出該時(shí)間段內(nèi),在頻率為0.043 Hz處PSD矩陣的秩為3。

圖14 2010-01-20 17 ∶00—18 ∶00測(cè)量PSD矩陣奇異值

為定量比較兩個(gè)時(shí)間段測(cè)量數(shù)據(jù)之間的差異,在每個(gè)峰值附近取寬度為Hz的窄帶,利用式計(jì)算LDI指標(biāo),如圖15所示,對(duì)比時(shí)間段2010-01-20 16 ∶00—17 ∶00與2010-01-20 17 ∶00—18 ∶00的測(cè)量數(shù)據(jù),可觀察到頻率為0.043 Hz處LDI的值為3.84,大于區(qū)分不同信號(hào)的閾值15%,說明作用于結(jié)構(gòu)的兩不同時(shí)間段內(nèi)環(huán)境激勵(lì)在0.043 Hz處有足夠的區(qū)分度,可用這兩時(shí)間段內(nèi)測(cè)量的數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證試驗(yàn)。

圖15 基于歸一化激勵(lì)辨識(shí)值

如圖16所示,將兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)測(cè)量的數(shù)據(jù)融合并進(jìn)行計(jì)算,可觀察到響應(yīng)PSD矩陣的奇異值曲線在0.043 Hz處出現(xiàn)四個(gè)峰值,且結(jié)合圖17中DSSV值可得,環(huán)境激勵(lì)響應(yīng)PSD矩陣的秩在該頻率處為4,而在其他頻率處均只有第一階奇異值出現(xiàn)峰值,且對(duì)比圖14奇異值峰值數(shù)并未發(fā)生改變;通過對(duì)比單個(gè)時(shí)間段和融合兩個(gè)時(shí)間段響應(yīng)PSD矩陣曲線奇異值峰值階數(shù)的改變以及對(duì)比圖17(a)中兩條曲線的DSSV值,說明在頻率為0.043 Hz處,環(huán)境激勵(lì)響應(yīng)PSD矩陣的秩發(fā)生改變,而在其他頻率處并沒有發(fā)生改變,證明頻率為0.043 Hz處模態(tài)為環(huán)境非白噪聲激勵(lì)產(chǎn)生的虛假模態(tài)。

圖16 合并兩時(shí)間段數(shù)據(jù)PSD矩陣奇異值

圖17 不同時(shí)間段下奇異值計(jì)算得DSSV值

圖17給出不同時(shí)間段下奇異值計(jì)算得DSSV值,其中圖17(a)為頻率0.043 Hz處單個(gè)時(shí)間段與融合兩個(gè)時(shí)間段DSSV的對(duì)比圖,觀察可得:取單個(gè)時(shí)間段時(shí)第3階的DSSV不為零,而第4階接近于零,可判斷此時(shí)PSD矩陣的秩為3;融合兩個(gè)時(shí)間段時(shí),第5階DSSV值接近于零,且前4階遠(yuǎn)大于第五階,可判斷合并后響應(yīng)PSD矩陣的秩為4;圖17(b)為頻率為0.797 Hz的模態(tài)頻率處對(duì)比圖,可觀察到兩條曲線基本重合,且只有第1階DSSV有值,說明在模態(tài)頻率處響應(yīng)PSD矩陣的秩不會(huì)隨著外界激勵(lì)的改變而發(fā)生改變,且為1。

本文所提方法最終辨識(shí)的廣州塔模態(tài)頻率與文獻(xiàn)[29-30]的對(duì)比結(jié)果如表4所示。由表4可知,所提方法可有效剔除非白環(huán)境激勵(lì)引起的虛假模態(tài),辨識(shí)出的結(jié)構(gòu)真實(shí)模態(tài)頻率與文獻(xiàn)中的結(jié)果非常接近,證明了所提方法在實(shí)際應(yīng)用中的有效性。

表4 各方法識(shí)別廣州塔模態(tài)頻率

6 結(jié) 論

針對(duì)傳統(tǒng)FDD模態(tài)識(shí)別方法不能適用于非白環(huán)境激勵(lì)的問題,本文指出響應(yīng)PSD矩陣的秩是FDD方法性能的決定性因素,并提出了一種融合多個(gè)激勵(lì)工況下響應(yīng)PSD矩陣的模態(tài)識(shí)別方法。

本文采用桁架結(jié)構(gòu)數(shù)值算例和廣州塔工程數(shù)據(jù)集驗(yàn)證了所提方法的有效性,并將所提方法和現(xiàn)有FDD方法進(jìn)行對(duì)比。通過理論和算例分析,本文主要結(jié)論如下:

(1)響應(yīng)PSD矩陣的秩是決定FDD方法性能的決定性因素,也是FDD方法不適用于非白環(huán)境激勵(lì)的根本原因。

(2)在非白噪聲激勵(lì)下,本文所提方法可有效剔除由諧波激勵(lì)和非白噪聲激勵(lì)引起的虛假模態(tài)。

(3)本文所提方法需兩個(gè)以上不同激勵(lì)工況,且需確定響應(yīng)PSD矩陣的秩。本文采用LDI準(zhǔn)則從結(jié)構(gòu)響應(yīng)出發(fā)定量描述激勵(lì)工況的差異性,并利用DSSV準(zhǔn)則定量確定響應(yīng)PSD矩陣的秩,便于方法應(yīng)用。

(4)一般情況下,LDI準(zhǔn)則大于15%即可認(rèn)為兩個(gè)激勵(lì)工況是不同的;為保證識(shí)別精度和DSSV準(zhǔn)則的有效性,本文所提方法適用于結(jié)構(gòu)響應(yīng)信噪比大于20 dB的情境。