基于精細傳遞矩陣法的氣囊隔振器橫向剛度特性分析

成玉強, 蔡存光, 高 華, 帥長庚

(1. 海軍工程大學 振動噪聲研究所,武漢 430033;2. 船舶振動噪聲重點實驗室, 武漢 430033)

氣囊隔振器,具有低固頻、大承載、無蠕變、氣壓可調、性能可控等優點,其作為一種性能優異的隔振元件已經廣泛應用于車輛以及船舶隔振領域中[1-3]。受限于艦船艙室內部狹小有限的安裝空間以及浮筏隔振裝置高達上百噸的支撐質量,艦用氣囊隔振器的工作壓力通常較高,一般為同規格車用氣囊隔振器的3倍以上[4]。為保證艦用氣囊隔振器在較高工作壓力條件下的可靠性,其一般采用穩定性更強的單腔室結構設計且囊體結構大大增強。

剛度特性是氣囊隔振器的基本力學特性,可依據氣囊隔振器的受力方向分為垂向剛度特性和橫向剛度特性。垂向是氣囊隔振器的承載方向,一般認為垂向剛度特性是由內部壓縮氣體在垂向變形過程中產生的反向作用力決定,囊體自身產生的作用力對垂向剛度特性的影響較小,在氣囊隔振器垂向剛度特性的簡化計算模型中通?？梢院雎阅殷w作用力的影響[5-6]。氣囊隔振器的水平方向并非承載方向,其囊體在橫向變形過程中自身產生的反作用力較大而無法忽略[7-8],且在艦用氣囊隔振器囊體結構強度大大增強的條件下,囊體剛度在橫向剛度特性中將占據主導位置,因此為分析氣囊隔振器的橫向剛度特性,必須構建并求解氣囊隔振器的囊體力學模型。

氣囊隔振器橡膠囊體一般由內、外橡膠層和中間纖維骨架層組成,是一種纖維增強橡膠基復合材料,具有典型的各向異性特征,其力學模型構建及求解十分復雜[9]。當前關于氣囊隔振器剛度特性的理論研究主要集中于內部氣體模型上[10-12],對于囊體力學模型的構建,則多采用等效簡化、數值仿真或系數擬合等方式進行,如Erin等[13]以線性彈簧、阻尼器以及遲滯阻尼器并聯的方式等效模擬了具備非線性力學特征的囊體力學模型,求解并分析了氣囊隔振器的剛度特性;Chen等[14]提出了一種包含結構參數預測模型和橡膠囊體模型的氣囊隔振器剛度模型,其中橡膠囊體模型是由分數式開爾文-沃格特模型和平滑摩擦模型組成的非線性等效簡化模型;Zhu等[15]建立了一種通用的氣囊隔振器力學模型,不僅考慮了內部氣體熱力學的貢獻,也考慮了囊體橡膠的摩擦和黏彈性效應,該模型的特點是在保持Berg光滑摩擦模型的基礎上,通過統計方法得到了位移激勵標準偏差,并以此確定了摩擦模型參數,求解了氣囊隔振器的剛度特性;Qi等[16]基于氣體熱力學方程推導了氣囊隔振器氣體剛度特性的參數表達式,關于囊體剛度計算則采用對數值仿真結果進行曲線擬合的方法開展,最后通過樣機試驗驗證了所建立剛度模型的有效性;袁春元等[17]利用Yeon模型以及Rebar單元構建了纖維增強橡膠囊體的仿真模型,并基于流固耦合邊界條件設定了橡膠囊體與內部氣體之間的分界面,通過對比數值仿真計算結果與氣囊隔振器力學特性的一般規律,驗證了構建模型的有效性。

綜上,現有關于氣囊隔振器剛度特性的理論研究一般是基于氣體的熱力學方程,以等效簡化、數值仿真或系數擬合等方式構建起囊體力學模型,再結合幾何結構參數變化方程開展的計算分析研究,尚未完全構建起橫向剛度特性的參數化計算模型。

本文基于殼體理論建立了預載條件下的氣囊隔振器的囊體力學模型,通過精細傳遞矩陣法求解得到了囊體狀態向量,采用迭代法解析了向量參數間的耦合關系,結合理想氣體理論模型,完成了氣囊隔振器橫向剛度特性的參數化求解與分析。

1 橫向剛度特性理論模型建立及求解

氣囊隔振器橫向剛度特性可由氣體剛度以及囊體剛度組成,剛度表達式為

K=KQ+KN

(1)

式中,KQ、KN分別為氣體剛度和囊體剛度。目前大量學者針對氣體剛度的理論模型已經開展了深入且細致的研究,建立了較為準確的氣體剛度參數化計算模型,橫向氣體剛度的參數表達式為

(2)

式中:Re、P分別為氣囊隔振器的有效半徑和內部氣壓;α為導向角度。

為保證艦用氣囊隔振器在高內壓作用下的可靠性,囊體選用具有較高彈性模量的纖維材料,且纖維纏繞層厚度也隨之提高,因此艦用氣囊隔振器囊體在橫向變形過程中,其自身產生的反作用力大大提高,囊體剛度特性也隨之明顯提升,已經成為氣囊隔振器橫向剛度特性中的主導因素。因此,為完成氣囊隔振器橫向剛度特性的參數化求解,必須建立囊體剛度特性的參數化計算模型。

1.1 囊體力學模型建立

氣囊隔振器結構如圖1所示,主要由上安裝板、下安裝板、導向座、橡膠囊體以及約束套筒組成,其中約束套筒與橡膠囊體直線段接觸。氣囊隔振器在工作過程中,內部壓縮氣體需達到較高壓力P來承擔設備荷載F,此時囊體直線段在高壓狀態下與約束套筒貼合,囊體圓弧段沿導向座發生卷曲變形。因此,氣囊隔振器的囊體剛度主要取決于囊體圓弧段在變形過程中的力學狀態,囊體直線段在剛度求解過程中可忽略。

圖1 氣囊隔振器結構示意圖

現忽略囊體直線段作用,并將圓弧段囊體簡化為一旋轉殼結構,該旋轉殼是由一平面曲線繞與此曲線共面的一軸線旋轉而成,如圖2(a)所示。取旋轉殼上一單元,如圖2(b)所示,殼體上任意點均可用曲面坐標(φ,θ)表示,φ為經線方向,θ為緯線方向,相應的主曲率半徑分別用Rφ和Rθ表示,緯線面相應的曲率半徑用R0表示,則旋轉殼的拉梅系數為R0和Rφ,由幾何結構關系可得

圖2 旋轉殼幾何結構示意圖

(3)

平衡狀態下氣囊隔振器的外部預載力F與內部壓力P之間的函數關系可簡化表示為[18]

(4)

假設預載條件下氣囊隔振器囊體經線和緯線方向上單位長度截面上的預應力分別為Nφ0和Nθ0,根據式(4)以及薄殼理論進行分析,可得到囊體預應力的簡化表達式為[19]

(5)

囊體的力學狀態可由幾何方程、物理方程以及平衡方程確定?，F將u、v、w作為位移分量;εφ、εθ和εφθ作為位移應變分量;χφ、χθ和χφθ作為彎曲應變分量;κφ、κθ作為曲率分量;Nφ、Nθ和Nφθ作為內力分量;Mφ、Mθ和Mφθ作為彎矩分量;Qφ和Qθ作為剪力分量。則囊體的幾何方程為[20]

(6)

氣囊隔振器囊體本質上是一種橡膠基纖維增強復合材料,由橡膠和纖維交替鋪層纏繞形成,可根據復合材料理論得到囊體的物理方程為[21]

(7)

式中:Aij為拉壓剛度;Dij為彎曲剛度,拉彎剛度系數的表達式為

(8)

(9)

式中:δ為纖維纏繞角度;Qij為材料主方向的剛度系數。Qij的表達式為

(10)

式中,E1、E2為纖維增強復合材料1,2主方向上的彈性模量,υ12和υ21為纖維增強復合材料1-2方向和2-1方向上的泊松比,G12為纖維增強復合材料剪切模量。材料主方向1為沿纖維軸向方向,材料主方向2為沿纖維橫向方向。

如圖3所示,氣囊隔振器囊體的成型過程分為芯模纖維纏繞階段和囊體擠壓成型階段,其內部的纖維纏繞軌跡線型也由上述兩階段決定:在圖3(a)所示的芯模纖維纏繞階段中,纖維通過非測地線纏繞方式纏繞至囊體成型芯模上,形成纖維纏繞軌跡初次分布線型;在圖3(b)所示的囊體擠壓成型階段中,囊體錐形段受力擠壓形成囊體圓弧段,纖維纏繞軌跡初次分布線型發生纏繞軌跡微變化,形成最終的纖維纏繞軌跡線型。前期作者依據非測地線纏繞理論以及纖維交叉穩定假設構建起囊體不同位置處的變纏繞軌跡方程[23],將變纏繞軌跡方程代入式(9)中,并結合式(7)、式(8)以及式(10)即可得到具備變纏繞軌跡特征的物理方程。

圖3 纖維一體化纏繞增強囊體主要成型階段

由于氣囊隔振器的工作過程一般在內部壓力以及外部預載的共同作用下進行,為求解囊體剛度特性,在構建囊體平衡方程時,應考慮預載作用下氣囊隔振器囊體中的預應力。通過分析引入囊體預應力后氣囊隔振器平衡方程中應力、應變的變化關系,在忽略三階微量以及兩階擾動量的條件下,基于Flügge理論[24]推導預載條件下的囊體平衡方程為

(11)

1.2 囊體狀態向量傳遞矩陣推導

假設氣囊隔振器的囊體狀態向量為Z(φ),由囊體位移及內力狀態量組成,表達式為

Z(φ)=[uvwκφNφSφVφMφ]T

(12)

式中,Sφ和Vφ分別為Kelvin-Kirchhoff面內及橫向剪力,對應幅值為

(13)

由于纖維復合材料囊體力學模型求解十分復雜,現引入位移中間向量ξ(φ),位移中間向量由囊體位移量及對應偏導量組成,表達式如下

(14)

依據平衡方程式(11),結合囊體幾何方程式(6)與物理方程式(7),即可得到囊體狀態向量與位移中間向量的關系式以及位移中間向量的一階常微分矩陣方程

Z(φ)=Q(φ)ξ(φ)

(15)

(16)

式中:Q(φ)為八階關聯矩陣;B(φ)為八階系數矩陣,矩陣中各元素詳見附錄A?，F將囊體切割為N個節點,結合精細積分法[25]即可求解得到位移中間向量在不同節點間的傳遞關系為

(17)

式中,Ts為位移中間向量間的傳遞矩陣。將式(15)代入到式(17)中,可得囊體不同節點處狀態向量間的傳遞關系為

(18)

式中,T為囊體狀態向量間的傳遞矩陣。

1.3 囊體剛度特性求解

為求解囊體的全部狀態向量,需要明確囊體的邊界條件。在氣囊隔振器的實際工作過程中,氣囊隔振器上安裝板連接設備,用于支撐設備質量,并隨設備的運動而變形,因此囊體首端為自由邊界條件;囊體變形期間,囊體末端始終固定于底座上,因此囊體末端為固定邊界條件。假設上安裝板隨設備的總變形量為,則當囊體發生橫向變形時囊體的邊界條件為

(19)

依據囊體邊界條件式(19),由式(18)可求解得到氣囊隔振器囊體各節點處的狀態向量。對氣囊隔振器囊體首端進行受力分析,得到囊體在變形條件下產生的橫向反作用力表達式為

(20)

由于氣囊隔振器在變形過程中囊體的狀態向量、內部氣壓以及結構參數之間存在耦合變化關系,現將氣囊隔振器的總變形過程分解為n個小變形的疊加,假設氣囊隔振器每個小變形過程遵循以下假設:①變形過程中圓弧段囊體始終保持圓弧形;②變形過程中內部氣壓變化遵從絕熱方程;③單個小變形過程中內部氣壓值P以及結構參數Re和Rφ保持不變。

當氣囊隔振器在第個小變形過程中,囊體首端的位移值由yi-1變為yi,依據假設①、②以及③可得到在第個小變形過程中,氣囊隔振器結構參數P、Re以及內部氣壓值Pi的參數表達式為

(21)

式中:Pi-1,Vi-1為氣囊隔振器在位移yi-1下的氣壓值和容積值;Pi,Vi為氣囊隔振器在位移yi下的氣壓值和容積值;ARe、ARφ為橫向幾何變形系數;ι為熱力學多變系數。

(22)

2 橫向剛度特性試驗驗證

選取8T型、15T型以及30T型氣囊隔振器各兩個開展橫向剛度特性測試。為驗證氣囊隔振器剛度理論模型的正確性,分別開展空載以及額載工況下氣囊隔振器的剛度特性測試?？蛰d工況下氣囊隔振器的內部壓力為零,額載工況下氣囊隔振器的內部壓力為額定工作壓力,三型氣囊隔振器的樣機結構參數以及額定工作壓力如表1所示,囊體材料參數值如表2所示。

表1 三型氣囊隔振器主要設計參數值

表2 囊體材料參數值

參照HJB 590—2014《艦船用氣囊隔振器通用規范》開展氣囊隔振器橫向剛度特性測試試驗,測試裝置組成及試驗情況如圖4所示。試驗過程中,將兩組氣囊隔振器以額定高度組合安裝至試驗機上,待氣囊隔振器充氣達到指定壓力后,以初始平衡狀態作為位移原點,按照0.1 mm/s的位移速率,±0.5 mm的位移峰值往復移動試驗機上接頭(負號表示壓縮方向,正號表示拉伸方向),由上接頭中的力和位移傳感器采集數據并由計算機輸出測試值。以15T型氣囊隔振器為例,繪制額載工況下氣囊隔振器的橫向力-位移試驗曲線如圖5所示,由于橡膠囊體存在黏彈性,因此該曲線存在遲滯效應。為確定氣囊隔振器的橫向剛度值,一般采用三次多項式對試驗曲線進行擬合,再以擬合方程計算得到±0.5 mm位移處的橫向力,最終將橫向力的變化值作為氣囊隔振器的橫向剛度試驗值。

圖4 橫向剛度特性測試裝置組成及試驗情況

圖5 額載工況下15T型氣囊隔振器力-位移試驗曲線

空載工況下氣囊隔振器的內部氣壓為零,氣體剛度理論計算值為零,此時總剛度特性的理論計算值及試驗測試值可認為是囊體剛度值,由此驗證囊體剛度理論模型的正確性。氣囊隔振器橫向剛度特性的理論計算結果以及試驗結果如表3所示,空載條件下三型氣囊隔振器橫向剛度特性的理論計算誤差均小于10%,可以驗證囊體剛度理論計算模型的有效性。

表3 空載條件下橫向剛度特性理論計算及試驗結果

額載工況下氣囊隔振器的內部壓力為額定工作壓力,此時氣體剛度的理論計算值不為零,氣囊隔振器橫向剛度由氣體剛度以及囊體剛度共同組成。額載工況下氣囊隔振器橫向剛度特性的理論計算結果以及試驗結果如表4所示,三型氣囊隔振器橫向剛度特性的理論計算誤差同樣小于10%,可以驗證氣囊隔振器橫向剛度特性理論計算模型的正確性。

對表3以及表4中的數據進一步分析可得,在囊體結構大大加強的條件下,艦用氣囊隔振器的囊體剛度已明顯提高,橫向氣體剛度已經遠低于橫向囊體剛度,橫向氣體剛度在三型氣囊隔振器橫向總剛度中的最大占比僅為11.4%。因此艦用氣囊隔振器的橫向剛度值將主要取決于囊體剛度值,基本不受氣體剛度的影響。

3 剛度特性影響因素分析

氣囊隔振器橫向剛度特性的設計參數主要分為三個方面:①幾何結構參數,主要為有效半徑Rφ,波紋半徑Re以及導向角度α;②材料特性參數,主要為纖維復合材料彈性模量E以及纖維纏繞層厚度h;③纖維纏繞參數,纖維纏繞參數為纖維纏繞初始角度γ和滑移系數λ,這兩者決定了囊體中各節點處的實際纏繞角度值。

現以15T型氣囊為例,通過改變某一設計參數值分析各設計參數對橫向剛度特性的影響,為進一步簡化剛度特性的分析過程,突出剛度特性的主導影響因素,對氣囊剛度特性及其部分設計參數進行歸一化處理,歸一化處理后的參數表達式為

(23)

現改變幾何結構參數、材料特性參數以及纖維纏繞參數值,計算不同參數下氣囊隔振器橫向剛度特性,計算結果如圖6和圖7所示。

圖6 剛度特性隨幾何結構參數以及材料特性參數的變化曲線圖

圖7 剛度特性隨纖維纏繞參數的變化曲線圖

由圖6可知,幾何結構以及材料特性參數對橫向剛度特性的影響。在參數變化過程中,氣囊隔振器的橫向剛度特性隨有效半徑、纖維結構參數的提高而提高,隨波紋半徑、導向角度的提高而降低。其中,橫向剛度隨導向角度以及波紋半徑之間的變化關系近似呈二次關系,隨纖維結構參數以及有效半徑之間的變化關系近似呈線性關系。此外,在整個參數變化區間中,橫向剛度特性總變化率從高到低對應的設計參數依次為波紋半徑(167.6%)、有效半徑(159.3%)、纖維彈性模量同纏繞層厚度(135.1%)、導向角度(93.0%)。剛度特性總變化率反映了各設計參數對剛度特性的影響程度,其中波紋半徑對橫向剛度的影響作用最強,導向角度對橫向剛度的影響作用最小。

由圖7可知,纖維纏繞參數對橫向剛度特性的影響。纖維纏繞參數中滑移系數對橫向剛度基本無影響,纖維初始纏繞角度對橫向剛度特性有一定影響:隨著初始纏繞角度的增加,橫向剛度值先提高后降低,存在最大值,當初始纏繞角度約25°時,橫向剛度值接近最大值。從整體上來看,在纖維纏繞參數變化的整個過程中,橫向剛度值最大變化僅占變化初值的11.2%,對比圖6,纖維纏繞參數對剛度特性的影響要遠小于幾何結構參數以及材料特性參數對剛度特性的影響。

4 結 論

(1) 構建了預載條件下的氣囊隔振器的囊體力學模型,并基于精細傳遞矩陣法以及迭代法求解了囊體橫向剛度,結合理想氣體剛度模型完成了氣囊隔振器的橫向剛度特性計算。經試驗測試,空載以及額載工況下三型氣囊隔振器的橫向剛度特性理論計算誤差均小于10%,驗證了橫向剛度特性計算方法的有效性。

(2) 氣囊隔振器的橫向剛度隨有效半徑、材料結構參數的提高而提高,隨波紋半徑、導向角度的提高而降低。其中,橫向剛度隨導向角度以及波紋半徑之間的變化關系近似呈二次關系,隨纖維結構參數以及有效半徑之間的變化關系近似呈線性關系。

(3) 纖維纏繞參數對剛度特性的影響遠小于幾何結構參數以及材料特性參數對剛度特性的影響,基本可忽略。幾何結構參數以及材料特性參數中的波紋半徑、有效半徑、纖維彈性模量同纏繞層厚度以及導向角度對橫向剛度的影響作用依次降低。

附錄A

關聯矩陣Q(φ)中的元素

系數矩陣B(φ)中的元素