考慮時滯的自平衡車控制系統穩定性分析

易奎辰，曾紅兵，梁津銘，李新宇

（湖南工業大學 電氣與信息工程學院，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

兩輪平衡車是一種類直線倒立擺結構模型，主要由兩個同軸分布的車輪和兩個獨立的電機組成，能夠自動維持姿態平衡[1]。因其具有結構簡單、控制靈活，節能環保，能夠適應多種復雜場合的優點，目前已在民用、安保、工業和軍事等領域被廣泛投入使用，并逐漸成為移動機器人研究的重要領域[2-3]。

兩輪自平衡車的平衡控制系統是其核心部分，主要包括傳感器、控制器和執行器。傳感器主要用于實時檢測車輛的傾斜角度和角速度，常用的傳感器有加速度計和陀螺儀[4]?？刂破鞲鶕鞲衅鞯男盘栍嬎愠龊线m的控制指令，以保持車輛穩定。執行器則根據控制器的指令驅動輪子旋轉，從而實現車輛自平衡。目前常見的控制策略有比例-積分-微分（PID）控制[5]、模糊控制[6-7]、最優控制LQR（linear quadratic regulator）[8]、神經網絡控制[9]等。國內外學者們雖然對平衡車進行了大量的研究，但是當前自平衡車的控制策略往往沒有考慮時滯給平衡車控制系統帶來的影響，例如傳感器采集數據的延遲、控制器計算延遲，以及執行器響應延遲等，忽略時滯的影響不僅會使平衡車控制系統穩定性下降，也會使其控制性能降低[10-12]。因此，在設計自平衡車的控制策略時，應充分考慮傳輸時滯問題。

當前關于時滯相關穩定性問題的研究中，主要采用的方法是時域法。Lyapunov-Krasovskii（L-K）泛函方法是時域法中的主要分析方法，其基本思路如下：首先，構造一個正定有界L-K泛函，然后對其求導，通過確定導數的負定條件來確定系統的穩定性，這類穩定性條件一般表述為線性矩陣不等式（LMI）的形式。此類方法獲得的穩定判據具有一定的保守性。為了得到更低保守性的穩定判據，可以從泛函的構造與對其導數的處理兩個方面來實現[13]。其中泛函的構造一般分為簡單型、增廣型、完全型、離散型，以及時滯分割型等[14]。其中，簡單型泛函是在經典李雅普諾夫二次型函數上增加含時滯二次項得到的，雖然其結構簡單，但所得結果往往保守性較大；完全型泛函雖可獲得系統漸近穩定的充要條件，但因其維數無限大，難以求解驗證；離散型泛函對于時變時滯系統存在難以求解的問題；時滯分割型泛函對于分段的數目增加，計算將變得非常復雜。故本研究擬采用增廣型泛函，在簡單型泛函的基礎上進行增廣，以包含更多的時滯信息，從而得到計算較簡單、保守性較小的穩定判據[15]。處理泛函導數中存在的二次型積分項方法一般分為模型變換法、自由權矩陣法和積分不等式法[11]。因時滯系統中模型的變換與積分不等式的界定都不可避免地會帶來保守性，故自由權矩陣法是當前時滯系統研究中常用的方法。針對現階段自平衡車控制策略存在的問題，本研究考慮兩輪自平衡車控制系統的時滯相關穩定性。首先，建立了多PID控制器的平衡車系統整體狀態空間模型；然后應用L-K 泛函方法和自由權矩陣積分不等式技術，建立了一種基于文獻[16]的新時滯相關穩定判據；接下來通過LMI 工具箱求解，得出不同速度環PID 參數下的最大時滯上界；最后，通過仿真結果驗證所得結果的準確性。

2 自平衡車系統模型

2.1 坐標系建立

對自平衡車進行瞬時力學分析前，需要建立空間直角坐標系。本文建立的自平衡車坐標系如圖1 所示。其以自平衡車左右兩輪軸中心點為參考坐標系的原點O（X-Y-Z），以左右兩輪軸線并由左輪指向右輪方向為X軸，以過原點并和重力相反的方向為Z軸，以垂直X軸和Z軸并指向前進方向為Y軸。

圖1 自平衡車坐標系Fig. 1 Self-balancing vehicle coordinate system

2.2 牛頓力學模型建立

自平衡車輪軸的中心位移x與其左右輪的位移關系如下：

自平衡車的偏航角δ與其左右輪的位移滿足下式：

式（1）（2）中：D為左右輪間距離；

x1、xr分別為左右輪的位移，且

其中θl、θr分別為左右輪轉過的角度；R為左右輪的半徑。

圖2 為自平衡車左輪受力分析圖。

圖2 自平衡車左輪受力分析圖Fig. 2 Analysis diagram of left-wheel force of the self-balancing vehicle

對自平衡車左輪進行受力分析，建立如下力學平衡方程：

同理可得如下右輪力學平衡方程：

式（5）～（8）中：m為左右輪的質量；

fl、fr分別為左右輪受到的地面摩擦力；

Fl、Fr分別為左右輪與平衡車體在水平方向的作用力；

Cl、Cr分別為左右輪轉矩；

Jω為左右車輪轉動慣量，且。

平衡車體的力學方程如下：

式（9）～（12）中：M為平衡車體的質量；

L為質心到輪軸的距離；

θ為平衡車擺桿傾斜角；

Jp為平衡車體對x軸的轉動慣量，且；

xp為質心的水平位移，且

yp為質心的垂直位移，且

P1、Pr分別為左右輪與平衡車在垂直方向作用力；

Jδ為平衡車對y軸的轉動慣量，且。

當平衡車在平衡點附近時，θ≈0、sinθ≈0、cosθ≈1，聯立方程（1）～（13），化簡可得[17-18]：

2.3 直流電機線性建模

兩輪自平衡車控制電機采用的是兩個直流電機，直流電機的線性化模型如圖3 所示。

圖3 直流電機工作原理示意圖Fig. 3 DC motor working principle diagram

電機輸出電壓Ua與電機轉矩Cm之間的關系式如下[19]：

式中：Km為電機轉矩系數；

Ua=RaIa+Um，其中Ia為電樞電流，Um為電機轉子反電動勢；Ra為電機轉子等效電阻；Ke為電機反電動勢系數；θm為電機轉子角度。

2.4 系統狀態方程

當θ=±5°時，輸入變量，狀態變量，則含時滯的雙輪平衡車狀態方程可表示如下：

式中：τ(t)為傳輸時滯；

X(t)為t時刻狀態向量；

U(t)為輸入，Ul、Ur分別為左右電機控制電壓；

A1、A2、B1為系統矩陣；

C為輸出矩陣。

將式（18）代入式（15）～（17）寫成式（19）形式，可得：

含傳輸時滯的自平衡車系統控制模型如圖4 所示。

圖4 自平衡車控制系統框圖Fig. 4 Block diagram of the self-balancing vehicle control system

自平衡車系統的速度環采用如下PI 控制器：

式中：uv為速度環輸出；

vd、vb分別為設定的目標速度與速度反饋。

角度采用如下PD 控制器：

式中：ua為角度環的輸出；

θd、θb為目標角度與角度反饋；

在此控制模型中，角度控制環的輸入為速度控制環的輸出，即θd=uv。

方向控制器采用PD 控制：

式中：us為方向環的輸出；

δd、δb分別為目標偏航角與偏航角反饋；

自平衡車控制系統中輸出為左右輪電機電壓：

通過以上分析，可構造如下輸出控制反饋系統：

將系統（24）簡化可得如下線性系統：

0 ＜τ(t) ＜τ；

φ(t)為初始狀態。

3 穩定判據

為建立系統（25）的穩定性條件，需要用到如下引理。

引理1[16]設表示m維向量空間，x是一個連續可微函數：[α,β]→Rn，diag表示對角矩陣，I為單位向量矩陣。對于任意矩陣，，有以下不等式成立：

式中：

為簡化矩陣和向量的表達，首先定義以下符號：

構造增廣型L-K 泛函，并應用引理1 給出的積分不等式，推導出如下自平衡車控制系統穩定判據。

定理1對于給定的標量，μ1＜μ2＜1，τ＞0 如果存在矩陣使得式（27）（28）成立，則系統（25）是漸近穩定的。

式中：j=1, 2；為n×m維實矩陣；為n×n維對稱正定矩陣。

式中，0 為合適維度0 矩陣。

證明選取如下L-K 泛函：

對V(t)求導，可得：

用引理1 來估計V(t)導數中的積分項，可得：

式中，

由定義的向量ξ(t)可得，對于任意矩陣S1、S2、S3、S4，下列等式成立[20]：

4 仿真結果與分析

對于系統（25），采用表1 各項參數進行系統建模與Simulink 仿真驗證。

表1 自平衡車參數設置Table 1 Self-balancing vehicle parameters

當μ=0 與μ=0.5 時，固定角度增益KaP=80,KaD=8與偏航角增益KsP=10,KsD=3；變化速度增益（KvP由0.1～0.5，KvI由0.01～0.03）。由穩定判據計算得到的保證系統（25）穩定允許的最大時滯上界見表2。

表2 （K vI，K Pv）分別取不同參數時的時滯最大上界（定常時滯μ=0 和μ=0.5）Table 2 Delay stability margin for different PI gains(with μ=0 constant time delay and μ=0.5 time-varying delay)

為了驗證上述結果的準確性，選取速度環的控制參數KPv=0.3，KvI=0.03；角度環的控制參數KPa=80，KDa=8；方向環控制參數KPs=10，KDs=3；初始時刻角度為θ=10°，由Simulink 仿真，所得結果如圖5 所示。

圖5 不同時滯的系統角速度偏移Fig. 5 Angular velocity shifting of the system with different time delays

由圖5 所示仿真結果可知：τ= 0 s 時，自平衡車系統大約經過1 s 后保持穩定；τ= 0.088 3 s 時，系統逐漸收斂；τ= 0.092 3 s 時，系統變為發散不穩定的情況。這說明保證自平衡車系統穩定的時滯最大上界在0.088 3～0.092 3 s 這一區間范圍內，而表2 中通過LMI 求解出的時滯上界為0.090 3 s，正好在這一區間范圍內，表明了文章中構造的穩定性判據的有效性和計算出的時滯穩定裕度的準確性。

5 結語

文中針對兩輪平衡車系統的非線性、多變量、強耦合等特性，對其進行了建模與線性化解耦，構造出自平衡車系統的狀態空間模型。其次，考慮了系統傳輸時滯的影響，運用基于自由權矩陣積分不等式的方法，建立了系統的時滯相關穩定性判據。最后運用Simulink 仿真，驗證了該系統穩定性判據的有效性。因此文中提出的時滯穩定裕度可以作為附加指標，指導考慮時滯影響的控制器設計。同時，因本方法計算出的時滯最大上界能較為準確地評估時滯對機器人自平衡能力的影響，故本文計算時滯穩定裕度的方法可為控制器設計提供新思路。