基于擴張狀態(tài)觀測器的快速反射鏡滑模控制

緱澤恩，韓順杰，李雙成，粟 華

（1.長春工業(yè)大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，吉林 長春 130012；2.長春奧普光電技術(shù)股份有限公司，吉林 長春 130033）

0 引言

快速反射鏡（fast steering mirror，F(xiàn)SM）是一種用于精確定位和控制光束方向的光學(xué)元件。它由一個反射面和一個驅(qū)動系統(tǒng)組成，通過驅(qū)動系統(tǒng)的精確調(diào)節(jié)，實現(xiàn)對光束的快速偏轉(zhuǎn)和穩(wěn)定定位。快速反射鏡具有體積小、功耗低、響應(yīng)速度快和高精度控制等優(yōu)勢[1]，廣泛應(yīng)用在各類航空相機中，能夠補償振動和運動引起的像移和模糊，提高成像質(zhì)量和系統(tǒng)性能。此外，在天文望遠鏡、激光通信、自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)、光學(xué)雷達和光電穩(wěn)定跟蹤等領(lǐng)域，快速反射鏡也發(fā)揮著獨特而不可替代的作用[2]。與傳統(tǒng)的跟蹤儀器相比，快速反射鏡具有較高的諧振頻率和較小的慣性，可實現(xiàn)更高的角分辨率，并顯著提升系統(tǒng)的帶寬和響應(yīng)速度[3]。為滿足快速反射鏡系統(tǒng)跟蹤目標(biāo)時，跟蹤速度的快速性和抗干擾的能力，需要采用一種恰當(dāng)?shù)目刂扑惴ā１壤?積分-微分（PID）控制作為一種經(jīng)典的線性控制方法，結(jié)構(gòu)簡單，參數(shù)整定容易，早期應(yīng)用于快速反射鏡系統(tǒng)中[4]。但PID 控制所能達到的跟蹤精度、響應(yīng)速度和抗干擾能力還有待提升。為提高快速反射鏡系統(tǒng)的適應(yīng)性，研究人員將自適應(yīng)算法[5-6]應(yīng)用于FSM 系統(tǒng)之中。文獻[7]結(jié)合經(jīng)典PID 控制和自適應(yīng)前饋控制兩種算法的優(yōu)點，同時結(jié)合解耦理論，提出了一種解耦的復(fù)合控制算法，有效抑制光束抖動并增強了系統(tǒng)的控制精度。文獻[8]通過引入模糊設(shè)計思想，在經(jīng)典PID 控制器的基礎(chǔ)上，設(shè)計了模糊自適應(yīng)PID 控制器，跟蹤能力進一步提高。自抗擾控制是韓京清教授[9]提出的一種非線性控制理論，而擴張狀態(tài)觀測器是自抗擾控制技術(shù)的核心組成部分，是一種主動抗擾動控制方法。它直接將系統(tǒng)內(nèi)外的未知擾動視為總擾動，并通過系統(tǒng)的輸入輸出對其進行估計和補償，從而抵消擾動，達到抗擾動的目的。

本文基于快速控制反射鏡數(shù)學(xué)模型，考慮到外界擾動未知的條件下，提出了一種改進的滑模控制（sliding mode control,SMC）方法并構(gòu)造了一個擴張狀態(tài)觀測器（extended state observer，ESO）觀測系統(tǒng)受到的外界總擾動，簡稱SMC＋ESO 方法。SMC＋ESO方法不僅可以獲得更好的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，而且可以解決傳統(tǒng)滑模控制器存在的抖振問題，減小了抖振，仿真結(jié)果驗證了該方法的有效性。

1 快速反射鏡系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

目前主流的快速調(diào)節(jié)角度的驅(qū)動器分別是音圈電機和壓電陶瓷[10]，二者被廣泛應(yīng)用于快速反射鏡系統(tǒng)。壓電陶瓷通過“逆壓電效應(yīng)”實現(xiàn)機械能和電能互相轉(zhuǎn)換，它具有轉(zhuǎn)動慣量小、重量輕、噪聲小、發(fā)熱少且無雜散電磁場等優(yōu)點，但存在遲滯和蠕變等非線性特性，對系統(tǒng)跟蹤精度造成影響。音圈電機（voice coil actuator,VCA）是一種特殊形式的直線驅(qū)動電機，相比于壓電陶瓷驅(qū)動器，它的結(jié)構(gòu)簡單、響應(yīng)頻率低、無滯后、體積小，具有更大的運動行程，而且對振動、沖擊等工作環(huán)境具有較強的適應(yīng)性。因此，本文選用音圈電機作為快速反射鏡系統(tǒng)的驅(qū)動元件。

音圈電機的運行基于安培力原理，即通電線圈（導(dǎo)體），在磁場中會產(chǎn)生一力F，力的大小與施加在線圈上的電流成比例，具體公式表示為：

式中：N為受到磁場作用的線圈匝數(shù)；I為電流大小；L為線圈每匝長度；B是磁場的磁感應(yīng)強度。將音圈電機等效為一個電路原理圖如圖1所示，根據(jù)基爾霍夫第二定律可得音圈電機電壓平衡方程：

圖1 音圈電機等效電路圖Fig.1 Equivalent circuit diagram of VCA

其中電機產(chǎn)生漏感抗電壓E＝keVe。

式中：ke為反電動勢常數(shù)；Ve為線圈運動速度；線圈電感L的感應(yīng)壓降UL＝L×di/dt；通過電阻R的電壓UR＝Ri。將這些等式重新代入上式得：

根據(jù)快速反射鏡在轉(zhuǎn)動過程中受到的音圈電機驅(qū)動力矩、阻尼力矩、柔性鉸鏈力矩以及慣性力矩作用，得到FSM 系統(tǒng)的機械平衡方程為：

式中：J、θ、km分別為快速反射鏡的轉(zhuǎn)動慣量、鏡面轉(zhuǎn)角、柔性鉸鏈扭轉(zhuǎn)剛度。

對式(3)和式(4)進行拉氏變換并聯(lián)立可得：

式中：c為粘滯阻尼系數(shù)，消去中間變量i(s)，得：

由于音圈電機的電感L和粘滯阻尼系數(shù)c很小，建模時可以忽略不計，所以反射鏡模型可近似為：

2 滑模自抗擾控制器設(shè)計

2.1 ESO 設(shè)計

擴張觀測器將對系統(tǒng)輸出有影響的內(nèi)擾和外擾看成一個總擾動擴張成系統(tǒng)的一個新狀態(tài)變量，并對系統(tǒng)中各個狀態(tài)變量進行觀測，構(gòu)造出新的系統(tǒng)狀態(tài)方程。

以快速反射鏡作為被控對象，將其復(fù)頻域函數(shù)模型式(7)改寫為二階微分方程：

將系統(tǒng)各種外部擾動和模型誤差等效為一個擾動d，則式(8)可以寫為：

式中：x1代表位置信號，x2代表此時運動速度，根據(jù)(9)式把f作為一個新的被擴張狀態(tài)變量加入到系統(tǒng)中，即令x3＝f，符號上面加點代表此量對時間的導(dǎo)數(shù)。

根據(jù)被控對象的控制量u和輸出量y，擴張觀測器可以對系統(tǒng)的位置、速度以及總擾動進行估計。其表達形式如下：

式中：Z1是對位置x1的估計；e1是估計誤差；Z2是對此刻運動速度x2的估計；Z3是對總擾動的估計；β1、β2和β3是擴張觀測器的增益。

由式(11)可以得到誤差傳遞矩陣，進一步寫出其特征方程為：

根據(jù)高志強教授基于帶寬參數(shù)確定ESO 增益的算法[12]，有期望特征方程：

比較系數(shù)可得到觀測器增益向量為：

2.2 滑模控制器設(shè)計

滑模控制通過控制量切換使系統(tǒng)運動軌跡將保持在滑模面上滑動，具有結(jié)構(gòu)簡單、魯棒性好、可靠性高、抗干擾能力強的優(yōu)點。本文設(shè)計了擴張狀態(tài)觀測器來觀測系統(tǒng)所受總和擾動，通過觀測擾動來補償控制器，減少了對滑模控制增益的要求，從而減少了抖振。本文定義快速反射鏡位置跟蹤誤差為：

式中：θd為期望跟蹤的軌跡；y為實際軌跡。對式(14)求導(dǎo)可得速度跟蹤誤差：

根據(jù)上節(jié)擴張觀測器的定義，結(jié)合式(14)和式(15)得到：

定義滑模面為：

式中：c＞0。對式(17)求導(dǎo)并代入式(16)可得：

因此控制的控制器輸出為：

2.3 穩(wěn)定性分析

對于滑模控制器，選取Lyapunov 函數(shù)：

則：

綜上所述，快速反射鏡系統(tǒng)的控制器的原理框圖如圖2所示。

圖2 基于擴張狀態(tài)觀測器的滑模控制結(jié)構(gòu)框圖Fig.2 Fragments of sliding mold control structure based on the extended state observer

3 仿真實驗

為了驗證本文提出的SMC-ESO 算法在快速反射鏡系統(tǒng)中的性能，采用Matlab/Simulink 對其有效性進行仿真驗證。SMC-ESO 算法的控制參數(shù)分別為：ω0＝100，ε＝100，k＝800，c＝180。傳統(tǒng)滑模控制算法（SMC）的相關(guān)參數(shù)與之選取相同。首先對系統(tǒng)進行階躍響應(yīng)實驗，給定幅值為1 的單位階躍輸入，對兩種算法對比分析，如圖3所示。SMC 算法上升時間為0.0379 s，系統(tǒng)到達穩(wěn)態(tài)的時間是0.0581 s；SMC-ESO算法上升時間為0.0188 s，系統(tǒng)到達穩(wěn)態(tài)的時間是0.0354 s。基于擴張狀態(tài)觀測器的滑模控制器較前者的上升時間縮短了50.4%，調(diào)節(jié)時間縮短了39.1%。根據(jù)仿真實驗可知，SMC-ESO 算法具有較快的響應(yīng)時間和調(diào)節(jié)時間。

圖3 快速反射鏡系統(tǒng)階躍響應(yīng)Fig.3 Step response of fast steering mirror

兩種控制算法的跟蹤誤差曲線如圖5，從圖中可以看出，基于擴張狀態(tài)觀測器的滑模控制和傳統(tǒng)滑模控制的最大跟蹤誤差分別為0.0241、0.0347，前者跟蹤精度較后者提高了30.5%，具有更好的位置跟蹤能力和更強的抗干擾能力。

圖5 正弦跟蹤誤差曲線Fig.5 Sine tracking error curves

4 結(jié)論

本文對快速反射鏡系統(tǒng)進行分析與建模，針對系統(tǒng)跟蹤時的快速響應(yīng)和抗干擾問題，通過引入自抗擾控制中的ESO，提出了一種基于擴張狀態(tài)觀測器的改進滑模控制方法。該方法把系統(tǒng)所受總擾動擴張為新的狀態(tài)變量進行觀測估計，并補償?shù)娇刂戚斎胫校垢櫿`差收斂的同時減小抖振。仿真實驗結(jié)果表明：采用基于擴張狀態(tài)觀測器的改進滑模控制器，較傳統(tǒng)滑模控制器，上升時間縮短了50.4%，調(diào)節(jié)時間縮短了39.1%，跟蹤精度提高了30.5%。在不同輸入信號下，本文的方法較傳統(tǒng)滑模控制具有更高的控制精度，更強的抑制干擾能力，具有更好的動態(tài)性能。