中考二輪復習微專題探究

劉長松 陳超

摘? 要：微專題的復習具有短小、精煉、實戰性強等特點，文章以含參數的二次函數中對稱軸、區間、函數值之間的關系為例，列舉了四類基本問題：定軸定區間、定軸動區間、動軸定區間、動軸動區間.重點解決定軸動區間、動軸定區間、動軸動區間問題，復習鞏固數形結合、分類討論等思想方法，學會尋找關鍵界點，對照圖形、分類討論、動中取靜，體會“數缺形時少直觀，形少數時難入微”的數形結合思想方法，感受數學的運動美、對稱美.

關鍵詞：二次函數；對稱軸；區間；函數值；分類討論

中圖分類號：G632??? 文獻標識碼：A??? 文章編號：1008-0333（2024）02-0020-03

收稿日期：2023-10-15

作者簡介：劉長松（1982.9-），男，江蘇省鹽城人，本科，中學高級教師，從事初中數學教學研究.

基金項目：本文系江蘇省蘇州市教育科學“十四五”規劃課題“深度學習視角下初中數學微專題設計的實踐研究”的階段性成果（項目編號：2021/C/02/019/03）

二次函數問題一直是中考的熱點問題，其中函數的取值范圍及最值問題一直是困擾學生的難點，此類問題的突破也是困擾一線教師的難點.這類問題往往穿插在綜合題中，有很強的區分度和選拔功能，對學生的空間想象、數形結合能力要求比較高，如何依據條件合理分類討論是關鍵.筆者以近5年江蘇省乃至全國各地的中考試題為例，分析含參數的二次函數的區間、對稱軸、函數值的關系問題，以期拋磚引玉，供讀者參考.

1 問題背景

含參數的二次函數問題主要是指二次函數關系式中含有參數或者給定的區間中含有參數.這類問題形式多樣，常見的題型有：求參數的值或范圍、討論二次函數的最值、解含參數的二次不等式、不等式的恒成立問題、一元二次方程的根的分布情況、二次函數的圖像與直線的交點個數問題等，這類問題屬于高中二次函數知識點在初中的滲透.近些年在江蘇省內外的中考中時常出現，如南京2021年第26題、2020年第16題、2017年第26題；南通2021年第26題、2020年第25題、2019年第26題、2018年第26題；揚州2017年第8題；泰州2021年第25題、2018年第24題；北京2021年第26題、2020年第25題、2019年第26題、2018年第26題；大連2021年第26題、2020年第25題、2019年第26題、2018年第26題；杭州2021年第22題、2020年第22題、2019年第22題、2018年第22題，等等.

2 常見題型

2.1 定軸定區間問題

例1? 如圖1，已知二次函數y=x2-4x-5.

（1）當-1≤x≤0時，y的取值范圍是? ?；

（2）當3≤x≤4時，y的取值范圍是? ；

（3）當0≤x≤3時，y的取值范圍是? ；

（4）當-5≤y≤0時，x的取值范圍是? ；

請說一說二次函數的對稱軸和區間之間的關系［1］.

本題給定了二次函數的表達式，從兩個不同角度設計問題，一是已知自變量x的取值范圍求對應的函數值y的取值范圍；二是已知函數值y的取值范圍求對應的自變量x的取值范圍.共設置了4個小問題，分別是x的取值范圍都在對稱軸的同側（左側或右側），取值范圍從對稱軸左側增加到對稱軸右側，包含頂點的這種情況.設計問題（1）（2）（3）的目的是為了引導學生在已知x的取值范圍時，要分兩種情況討論，即在對稱軸同側和異側，對于異側的這種情況要找三個界點來確定函數值的取值范圍.初步讓學生感知對稱軸確定時如何求函數值的取值范圍.設計問題（4）的目的是感知函數值y的取值范圍一定時，x會有兩部分取值范圍，進一步感受二次函數的對稱美．

2.2 定軸動區間問題

例2? 已知二次函數y=x2-4x-5.

（1）當m≤x≤m+1（m為常數）時，函數的最小值為1，則m=；

（2）若此二次函數在0≤x≤m（m為常數且m>0）的圖像的最高點與最低點的縱坐標之差為h，寫出h關于m的函數關系式［2］.

本題已給定二次函數的表達式，由二次函數的性質易知其對稱軸為直線x=2，問題（1）中給定的x的取值范圍是一個隨著m的變化而變化的動區間，在這個動區間里，函數值最小值為1，如何引導學生思考怎樣確定參數m的取值是關鍵．問題（2）中x的取值范圍為0≤x≤m，而對稱軸為直線x=2，所以函數圖象經過一組對稱點（0，-5），（4，-5）.參數m的取值需要分三種情況進行討論，即0≤m≤2，2< m≤4，m＞4.

2.3 動軸定區間問題

例3利用二次函數的性質解答下列問題：

（1）已知二次函數y=x2-2mx-3（m為常數），當x＜1時，y隨x的增大而減小，m的范圍是? .

（2）二次函數y=x2-2mx+2m2（m為常數），當2≤x≤5時，y的最小值為1，m=? .

本題涉及的取值范圍屬于一個定區間，但是二次函數關系式中含有參數m，從而二次函數圖象的對稱軸是隨著參數m的變化而變化的動軸.在問題（1）中，當x＜1時，y隨x的增大而減小，由二次函數的性質易求得它的對稱軸是直線x=m，而此拋物線開口向上，可以確定對稱軸在直線x=1的右側，進而可得參數m的取值范圍；在問題（2）中，二次函數圖象的對稱軸是直線x=m，它是一條動直線，而給定的區間是2≤x≤5，它是一個定區間，因此可以分為三種情況進行分類討論：①當m≤2，x=2時，y取得最小值1；②當2＜m＜5，x=m時，y取得最小值1；③當m≥5，x=5時，y取得最小值1．

2.4 動軸動區間問題

例4? 如圖2，點A，B，C都在拋物線y=ax2-2amx+am2+2m-5（-14

（1）拋物線的頂點坐標為? ?.（用含m的代數式表示）；

（2）△ABC的面積為? .（用含a的代數式表示）；

（3）若△ABC的面積為2，當2m-5≤x≤2m-2時，y的最大值為2，則m=? ?.

本題是二次函數綜合題，主要考查二次函數圖象上點的坐標特征、等腰直角三角形的性質、一元二次方程的解法及二次函數最值的求法，解決本題的關鍵是：①利用配方法將二次函數解析式變形為頂點式；②利用參數求出點C的坐標；③分別按m＜2，2≤m≤5及m＞5三種情況進行分類討論．

2.5 二次函數圖象與直線的交點個數問題

在含參數的二次函數問題中，二次函數圖象與直線的交點個數問題也是近年中考的熱點問題.

例5? 已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過（-2，1），（2，-3）兩點．

（1）求b的值；

（2）設點（m，0）是該函數的圖象與x軸的一個公共點．當-1＜m＜3時，結合函數的圖象，直接寫出a的取值范圍［4］．

本題主要考查二次函數的圖象與性質，解決本題的關鍵在于理解二次項系數a對函數圖象的影響，包括開口方向和開口大小，都要熟記于心，否則問題（2）很難正確解答；在問題（2）中，將（m，0）代入y=ax2+bx+c中，寫出判別式的值，根據圖象經過（-2，1），（2，-3）兩點，分-1＜m＜2和2＜m＜3兩種情況討論即可．

例6? 已知二次函數y=x2-4x+3a+2（a為常數）．在同一平面直角坐標系中，若該二次函數的圖象在x≤4的部分與一次函數y=2x-1的圖象有兩個交點，求a的取值范圍．

本題是由南通市2019年中考題改編而來的，可根據二次函數的圖象與一次函數y=2x-1的圖象有兩個交點，則方程x2-4x+3a+2=2x-1的判別式Δ＞0，易求得a＜2.將x＝4和代入y=2x-1，求得函數值y=7.將（4，7）代入y=x2-4x+3a+2，可得到關于a的一元一次方程，解方程即可求得a=53.根據題意求出a的取值即可.本題主要考查二次函數的圖象和性質、一次函數的性質、一元二次方程的根的判別式、一元一次方程的解法等知識，其綜合性較強，具有一定的難度．

3 結束語

中考二輪復習是一個非常關鍵的總結提升階段.二輪復習不是單純地做練習、講練習，教師要深度把握中考的方向，研究中考命題規律，從學生的實際情況出發，提高復習的效率，總結出一些適合學生的學習方法.微專題就是一種很好的形式，精煉實用.這樣的研究任重道遠，需要一線教師系統地研究規律、總結方法，要善于對題型進行歸類，善于引導學生進行分析、探索、歸納和總結，培養學生的思維能力，從而使學生逐步掌握自主的學習方法.

參考文獻：［1］ 施海鷹.中考復習：二次函數的考點剖析［J］.科學大眾（科學中考），2021（8）：21-23.

［2］ 于彬，單雪梅.一題，一類，一課：以“二次函數專題復習鉛垂高模型”為例［J］.中學數學，2021（24）：34-35.

［3］ 程國云.含有參數的二次函數最值問題［J］.試題與研究（教學論壇），2016（26）：16-19.

［4］ 呂梅英.認清本質抓關鍵：淺析2012年中考二次函數考點［J］.中學數學，2012（24）：61-62.

［責任編輯：李? 璟］