索末菲展開對二維電子氣體費米能級求解的有效性分析

江翠，張蓮蓮

索末菲展開對二維電子氣體費米能級求解的有效性分析

江翠1，張蓮蓮2

（1. 沈陽工程學院 基礎教學部，遼寧 沈陽 110136；2. 東北大學 理學院，遼寧 沈陽 110819）

索末菲展開是固體物理學中討論自由電子氣體性質的重要方法，二維電子氣體是金屬自由電子氣體的一個特例，目前受到了科研工作者的廣泛關注．利用嚴格求解和索末菲展開近似求解兩種不同方法對二維電子氣體的費米能級進行了計算，同時對兩種方法進行比對．分析發現，如果氣體溫度較低，索末菲展開近似引起的誤差較小，闡述了索末菲展開方法的有效性和使用條件．該研究將對學生深入理解固體物理學中相關知識內容有所幫助．

索末菲展開；二維電子氣體；費米能級

索末菲展開是固體物理學中金屬電子理論一章用來討論自由電子氣體性質的重要方法[1-3]．借助該方法，可以得出金屬中自由電子氣體的費米能級、比熱等物理量隨溫度的變化情況[4-6]，結果也得到廣泛認可．而且，該方法也被廣泛地應用到與量子統計有關的科研工作中[7]．因此，在學習金屬電子理論的過程中，有必要深入分析索末菲展開的有效性，讓學生從根本上理解和掌握這部分內容．

二維電子氣體是金屬自由電子氣體的一個特例，原因在于其能態密度是不依賴能量而改變的常數．這直接導致了諸多有趣的現象發生，也吸引了科研工作者持續關注二維電子氣體[8-10]．值得注意的是，由于能態密度為常數，因此二維電子氣體的費米能級可以直接求解．很顯然，對應的解析解可以作為討論索末菲展開有效性的依據．基于這一思路，本文以二維電子氣體為例，對索末菲展開的有效性做深入剖析．

1 理論推導

在求解金屬電子氣體費米能級的過程中，通常需要計算積分，即

求解則需要借助索末菲展開，具體為[2]

因此

其中

于是得到

實際上，對于二維金屬電子氣體，費米能級可以通過嚴格解析求解的方法得出，即

2 結果分析

圖1 二維電子氣體隨溫度的變化

圖2 二維電子氣體費米能級隨溫度改變的演化結果

綜上所述，以二維電子氣體為例，討論了索末菲展開求解電子氣體費米能級的有效性．通過將嚴格求解和索末菲展開近似求解兩種方法進行比對分析發現，如果氣體溫度較低，索末菲展開近似引起的誤差較小．因此，該方法求解二維電子氣體的費米能級有效性得以顯現．本文有助于對索末菲展開方法進行深入理解，為固體物理課程的學習提供一定的輔助作用.

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Validity analysis of Sommerfeld expansion in solving Fermi level of two-dimensional electron gas

JIANG Cui1，ZHANG Lianlian2

（1. Basic Education Department，Shenyang Institute of Engineering，Shenyang 110136，China； 2. School of Sciences，Northeastern University，Shenyang 110819，China）

Sommerfeld expansion is an important method in solid-state physics for discussing the properties of free electron gases．Two-dimensional electron gases，a special case of metallic free electron gases，have recently attracted widespread attention from researchers．Fermi level of two-dimensional electron gases was calculated using both rigorous numerical solutions and Sommerfeld expansion approximations，and a comparison between the two methods was made．The analysis found that if the temperature of the gas is low，the error caused by the Sommerfeld expansion approximation is small，thus elucidating the effectiveness and usage conditions of the Sommerfeld expansion method．This work will be helpful for students to deepen their understanding of relevant knowledge in solid-state physics．

Sommerfeld expansion；two-dimensional electron gas；Fermi level

O469∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2024.02.018

1007-9831（2024）02-0088-04

2023-07-31

江翠（1981-），女，吉林四平人，副教授，博士，從事低維介觀體系電子特性研究．E-mail：jiangc@163.com

張蓮蓮（1980-），女，吉林通化人，副教授，博士，從事低維量子體系輸運及性質研究．E-mail：38328265@qq.com