暢游數學海洋，探索圓的奧秘
——《圓的周長》教學設計

佟金霖 山東省淄博市張店區齊德學校

●創新整合點

①Excel表格在線編輯功能可幫助教師及時收集學生課堂測量的數據。利用表格公式，拖拽下拉，快速生成大量數據，便于學生通過分析數據直觀發現周長都是直徑的3倍多。在此過程中引導學生初步發現倍數關系。

②借助幾何畫板，讓數據變得更加方便精準。學生不僅能多次實驗操作，還能在動態變化的過程中產生更加深刻的體驗。通過觀察數據，發現周長除以直徑的商是固定的數。此環節給學生創設了更為適切的方法體驗，清晰、準確地輔助學生認識圓周長與直徑的關系。同時，在利用Excel表格、幾何畫板分析數據的基礎上，引出圓周率的定義。整個探索過程使學生于無形中親身經歷圓周率發展過程，理解圓周率的意義，從而突破教學難點，豐富學生的數學活動經驗，發展其推理意識。

●教材分析

《圓的周長》選自青島版小學《數學》五年級下冊第一單元“圓”信息窗2的學習內容。本單元是在學生系統學習了長方形、正方形等平面圖形以及它們的周長、面積計算之后展開教學的。本課是學生第一次學習曲線圖形的周長，是對前面“圓的認識”的深化。教材通過一系列操作活動，讓學生在觀察、分析、歸納中理解圓的周長含義，經歷圓周率的形成過程，推導出圓的周長計算公式，從而為后面學習“圓的面積”，以及圓柱、圓錐等知識打好基礎。因此，它起著承前啟后的作用，是小學幾何初步認識教學中的一項重要內容。

●學情分析

圓是小學階段“圖形與幾何”領域中出現的最后一個平面圖形，是學生第一次比較深入地認識圓。學生在一年級已經能直觀認識圓，在三年級學習周長時，能用繞繩、滾動等方法測量不規則物體的周長。學生接觸過用“轉化思想”計算多邊形的面積，積累了轉化經驗，并能綜合運用數學方法解決實際問題，進行初步的合理推理，能比較直觀地表達自己的想法。

學生在多媒體技術支持的交互式課堂中能更主動地參與學習，在小組合作中積極完成任務。此外，信息技術的應用能讓學生在動手操作的過程中產生更加深刻的學習體驗。學生初步學會利用幾何畫板、在線表格等服務于學習，體驗學習帶來的樂趣和成就感。

●教學目標

知識與技能目標：理解圓周率的意義，理解和掌握求圓周長的計算公式，并能用公式解決實際問題。

過程與方法目標：經歷探究圓的周長公式的過程，體驗化曲為直的數學思想，發展轉化策略和推理能力。

情感態度與價值觀目標：在解決問題中感悟數學與生活的密切聯系，培養應用意識。感受數學的魅力，增強民族自豪感。

●教學環境與準備

教學環境：寬帶網絡、希沃一體機、GeoGebra軟件。

學生熟練掌握用繞繩、滾動法測量物體的周長，初步掌握用幾何畫板進行操作。

●教學過程

1.課前交流，播放視頻

教師播放視頻《圓》。

師：圓，沒有棱角，親切敦厚，低調內斂，包羅萬象。圓與我們的生活息息相關，在數學中也蘊含著和圓有關的許多奧秘。今天這節課，就讓我們一起“暢游數學海洋，探索圓的奧秘”。

設計意圖：視頻能夠激發學生學習興趣，建立數學與生活的聯系，感悟生活美。

2.復習導入，回顧舊知

師：現在請大家伸出小手一起和老師畫個圓吧。（用希沃白板尺規功能帶領學生畫圓）

關于圓你了解哪些知識呢？

教師根據學生回答出示圓的特征的相應動畫。

師：同學們還想學習什么？

生：周長、面積。

師：我們在研究其他圖形時也是從它們的特征入手，再學習周長和面積。今天這節課我們就來一起研究“圓的周長”。

設計意圖：采用復習導入的形式，通過回顧知識，引導學生進行本節課的學習，整個過程做到承前啟后。

3.合作學習，探究新知

（1）觀察對比，提出猜想

師：什么是圓的周長？誰能上來指著說一說？

學生上臺指圖說明。（圍成圓一周的曲線的長度就是圓的周長）

師：如何測量圓的周長呢？你有什么好的方法嗎？

學生舉例說明測量方法。

教師根據學生回答播放繞繩、滾動法的視頻，帶領學生回顧測量方法。

師：除了通過繞繩、滾動等測量的方法知道圓的周長，你還有其他的方法也能知道圓的周長嗎？

學生分享其他方法。

師：你的意思是用公式的方法。老師要接著考考你，長方形、正方形的周長和邊有關，你覺得圓的周長可能和什么有關系？

生：直徑、半徑。

師：圓的周長與直徑存在關系只是我們的猜想，還需要進一步的驗證。大家想如何驗證？

生：測量出圓的周長與直徑，看看它們的關系。

師：也就是要知道周長、直徑之間的數據的關系。那周長與直徑數據之間存在怎樣的秘密呢？讓我們根據你的思路，一起在動手操作中找答案吧。

設計意圖：利用正多邊形周長的知識進行遷移，引發學生大膽猜測—圓的周長與直徑有關。從“有關系”到“有怎樣的關系”，一步一步將學生的思維引向深入。而這只是一個猜想，必須對這個猜想進一步驗證才能得出科學結論，進而提出下一步要探究的任務。

（2）動手操作，驗證猜想

出示合作要求。

師：在課前發的學具包中，老師準備了直徑分別是4、5、6厘米的三種不同規格的圓片、細繩和直尺。請大家合理分工進行測量，注意測量結果要盡可能準確。（學生開始測量）老師收集了大家測量的數據，收集數據是第一步，分析數據才是關鍵。按照這位同學的思路，你們想研究周長與直徑的什么關系呢？

教師根據課堂生成，利用表格分別研究周長與直徑的和、差、倍、積關系。

師：一個個計算數據太麻煩了，我們借助公式來算算看?？吹竭@些數據（如下表），你有什么發現？

生：直徑越來越長，周長與直徑的和、差、積也越來越大，但是周長除以直徑都是三點幾。

師：你的發現太有價值了。周長與直徑的商都穩定在3倍多，讓我們具體來分析分析這些數據。（隱藏和、差、積三列數據）直徑是4厘米的圓，周長是直徑的3倍多；直徑是5厘米的圓，周長也是直徑的3倍多；直徑是6厘米的圓，周長還是直徑的3倍多?，F在請你們大膽猜想，直徑是7厘米的圓，周長可能是直徑的—3倍多；直徑是30厘米的圓，周長可能還是直徑的—3倍多！到底是3倍多多少呢？想知道嗎？下面我們借助幾何畫板，一起再來看看更精確的數據。

設計意圖：學生在小組合作中測出直徑不同的圓的周長。為提高收集數據的效率，通過在線表格及時記錄數據。為解決“圓的周長與直徑存在什么關系”這一問題，利用表格分別研究周長與直徑的和、差、倍、積關系。借助表格，輸入公式并拖拽下拉，直接生成數據。

（3）畫板操作，得出結論

師：如果是直徑2.5厘米的圓，根據剛才的發現，你覺得周長會是多少？

學生回答。

師：怎么算的？

生：周長是直徑的3倍多，2.5×3=7.5，所以周長比7.5多一點。

師：讓我們看看結果是不是這樣。

教師利用幾何畫板操作，通過滾動記錄數據。

師：直徑是7.1厘米呢？（根據學生回答重復上述操作過程）

師：誰想上來試試？

學生上臺操作。

師：現在請大家觀察表格中周長除以直徑這一列，又發現了什么？

生：都是3.1415926。

師：我們借助幾何畫板只是僅僅將數據保留到了小數點后6位。實際上，任何一個圓的周長÷直徑的商都是一個固定的數，這叫做圓周率，用字母π表示。π是一個無限不循環小數，現在已經探索到小數點后62.8萬億位了！在計算時，一般保留兩位小數，取它的近似值3.14。

現在給你一個任意直徑的圓，能求出它的周長了嗎？直徑是3？3.5？10？

生：周長=3π，3.5π，10π。

師：看來都難不倒大家，老師接著考考你們，你能快速列式計算地球的赤道周長嗎？

教師運用白板工具—星球，出示百科信息。

生：12756π。

師：你能夠從這么多的信息中快速找到赤道直徑這一信息，并解決問題，為你點贊！現在誰能用一句話總結怎樣計算周長？

生：周長=直徑×圓周率。

師：如果用C表示周長，d表示直徑，你能說出圓周長的計算公式嗎？

生：C=π·d。

設計意圖：利用幾何畫板幫助學生清晰直觀地發現任何直徑的圓，周長除以直徑的商都是固定的數，從而引出圓周率π，幫助學生理解圓周率的意義，突破教學難點。

（4）借助情境，探索公式

師：有了圓的計算公式，你能解決下面的問題嗎？“長征”系列火箭是我國運載火箭中的“國家隊”，為中國航天的飛速發展立下了汗馬功勞。不同型號的火箭規格和運載能力也各不相同。其中，長征-2E助推器半徑為1.125米，長征五號助推器半徑為1.675米。這兩種型號的助推器的周長各是多少？

教師展示學生做法。

師：你是怎么做的？

生：題目中給的是半徑的信息，根據直徑=2倍半徑的關系，所以要先用半徑×2，再乘π。

師：分析得真準確。你能說說已知半徑，計算圓周長的公式嗎？

生：C=2π·r。

師：現在我們已經得到了圓周長的兩個計算公式?；叵胍幌拢何覀兪窃趺囱芯繄A周率的？

生：一開始，通過觀察提出猜想—圓的周長與直徑有關；接著實際測量得到周長是直徑的3倍多，發現周長與直徑存在倍數關系，驗證了猜想；最后借助幾何畫板的演示得出了結論，圓的周長是直徑的π倍。

設計意圖：通過前面的研究，學生明確了圓周長與直徑的關系，進而引導學生推導圓的周長半徑計算公式，水到渠成，深化學生的思維。

（5）巧借文化，優化體驗

師：人們對圓周率的研究，從古至今從未停下腳步。讓我們看一個短片。

學生觀看視頻。

師：看了視頻，你有什么感受？

學生談感受。

師：是的，古人的智慧是無窮的。我們都應該為自己是一個中國人而感到驕傲和自豪。

設計意圖：通過了解古代數學家對圓周率的研究過程，讓學生感受數學研究的嚴謹，同時也讓學生感受古代數學家勇于探索的科學精神，對學生滲透愛國主義教育。

4.運用新知，解決問題

師：這節課學了這么多知識，你能解決下面這道題目嗎？（教師帶領學生讀題）求誰走的路遠也就是求什么？

生：大圓周長與小圓周長的和，誰長誰短的關系。

師：現在我們用C甲表示螞蟻甲走的路程，用C乙表示螞蟻乙走的路程。你能表示它們的周長嗎？在練習單上寫一寫。

學生匯報。

師：所以它們的周長是相同的。因為小圓直徑之和等于大圓直徑，這也進一步印證了圓的周長與直徑有關。

師：結合上面的分析，你能說說下面圖形中大圓與小圓的周長關系嗎？

生：大圓周長與小圓周長之和相等。

師：不管圓內有幾個小圓，只要直徑之和相同，周長就相等。

設計意圖：拓展練習通過動畫演示，引導學生進一步感受圓的周長與直徑有關，培養學生的應用意識與推理意識。

5.回顧總結，暢談收獲

師：同學們，剛才我們探索了大圓與小圓的周長問題，這節課你有什么收獲呢？

學生發言，談收獲。

師：這節課，我們還經歷了提出猜想—動手驗證—得出結論的數學學習過程。其實關于圓的學習，我們的探索還遠遠沒有結束。相信大家在今后的學習中會有更多的收獲與體驗！

設計意圖：引導學生對圓周長的探索過程進行回顧與總結，梳理脈絡，整體建構，為后續學習圓的其他知識奠定基礎。

●教學反思

課堂上以層層遞進的問題引領，建構自主學習，指導并促進學生思考；精心選擇練習素材，在利用公式解決問題的同時，注重學生學科德育精神的滲透。

在本節課上，表格公式的使用、幾何畫板的演示、學科工具的合理運用都加深了學生對“圓周率”的理解。通過借助信息技術讓學生活起來，實現“樂學”；通過小組合作、動手操作測量圓片的周長，讓學生動起來，實現“會學”；通過在分層練習中學以致用，實現“學會”?？傊竟澱n實現了“將學生放在課堂正中央”的教學理念。