前沿?zé)狳c(diǎn)，高考前線——?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境問(wèn)題

包旭苗 韓俊

隨著教育部考試中心關(guān)于《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》（2020年1月）的發(fā)布，新高考進(jìn)一步切實(shí)落實(shí)高考的“立德樹(shù)人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”核心功能，為高考各學(xué)科命制試題提供了標(biāo)準(zhǔn)與依據(jù)，合理指明高考改革的路線與方向.借助指導(dǎo)思想，通過(guò)合理創(chuàng)設(shè)課程學(xué)習(xí)情境、探索創(chuàng)新情境和生活實(shí)踐情境等來(lái)實(shí)現(xiàn)高考評(píng)價(jià)，讓學(xué)生在真實(shí)的創(chuàng)新與應(yīng)用情境中，身臨其境，合理抽象，數(shù)學(xué)建模，進(jìn)而運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和關(guān)鍵能力來(lái)分析、處理與解決相關(guān)的情境應(yīng)用問(wèn)題，全面培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，深化對(duì)中學(xué)教學(xué)改革的積極導(dǎo)向作用.下面結(jié)合2021年高考數(shù)學(xué)試卷，就試卷中的前沿?zé)狳c(diǎn)，結(jié)合創(chuàng)新情境的創(chuàng)設(shè)類型加以實(shí)例剖析.

1 課程學(xué)習(xí)情境

創(chuàng)設(shè)課程學(xué)習(xí)情境是新高考數(shù)學(xué)命題中的一大基本點(diǎn)，其主要在基礎(chǔ)性、創(chuàng)新性層面上考查“四層”的相關(guān)內(nèi)容.此類問(wèn)題所選取的情境材料源于學(xué)生自身的數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)過(guò)程，來(lái)自數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想或方法等，形成知識(shí)關(guān)聯(lián)、方法類比等.

例1? （2021·新高考Ⅱ卷·18）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，若b=a+1，c=a+2.

（1）若2sin C=3sin A，求△ABC的面積.

（2）是否存在正整數(shù)a，使得△ABC為鈍角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：（1）通過(guò)題目條件中角的正弦值的關(guān)系式，結(jié)合正弦定理加以轉(zhuǎn)化，進(jìn)而確定邊長(zhǎng)；利用余弦定理以及平方關(guān)系來(lái)確定一內(nèi)角的正弦值，結(jié)合三角形的面積公式加以求解.（2）根據(jù)條件確定三邊長(zhǎng)的大小關(guān)系，進(jìn)而確定最大邊以及對(duì)應(yīng)的最大角；通過(guò)余弦定理確定對(duì)應(yīng)的余弦值，借助解不等式來(lái)確定對(duì)應(yīng)邊的取值范圍，綜合邊的取值限制以及三角形的性質(zhì)建立不等式來(lái)處理，進(jìn)而確定正整數(shù)的存在性問(wèn)題.

解析：（1）由2sin C=3sin A，根據(jù)正弦定理可得2c=3a，結(jié)合c=a+2，可解得a=4，c=6，則b=a+1=5.

利用余弦定理有cos C=a2+b2－c22ab=18，則有sin C=1－cos2C=378.

所以△ABC的面積S△ABC=12absin C=1574.

（2）由b=a+1，c=a+2，可知c>b>a，要使得△ABC為鈍角三角形，則只需角C為鈍角.

利用余弦定理，可得cos C=a2+b2－c22ab=a2+（a+1）2－（a+2）22a（a+1）<0，整理得（a-3）（a+1）2a（a+1）

<0，

結(jié)合題目條件可得0a+2，則1

所以存在正整數(shù)a=2，使得△ABC為鈍角三角形.

點(diǎn)評(píng)：此題所選取的情境材料直接源于解三形形中“正弦定理和余弦定理”的學(xué)習(xí)，所依托的知識(shí)與方法都屬于回憶性再現(xiàn)，因而所創(chuàng)設(shè)的試題情境屬于學(xué)習(xí)再現(xiàn)情境，設(shè)計(jì)具有開(kāi)放性，“存在問(wèn)題”有序開(kāi)放，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)性，并充分考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理等學(xué)科素養(yǎng)與關(guān)鍵能力，以及正弦定理、余弦定理和三角恒等變換等必備知識(shí).

2 探索創(chuàng)新情境

創(chuàng)設(shè)探索創(chuàng)新情境是新高考數(shù)學(xué)命題中的一大創(chuàng)新與亮點(diǎn)，主要在綜合性、創(chuàng)新性層面上考查“四層”的相關(guān)內(nèi)容.此類問(wèn)題所選取的情境材料源于學(xué)生的生活體驗(yàn)以及各學(xué)科的知識(shí)儲(chǔ)備等，依賴相應(yīng)知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)等的整體性把握、相關(guān)表述的等價(jià)性化歸與轉(zhuǎn)化，以及相關(guān)思想與方法的即景性類比與聯(lián)想等，或遷移，或類比，合理探究，創(chuàng)新應(yīng)用.

例2? （2021·新高考Ⅰ卷·8）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（? ）.

A.甲與丙相互獨(dú)立

B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立

D.丙與丁相互獨(dú)立

分析：利用事件相互獨(dú)立的一般定義，結(jié)合概率的運(yùn)算來(lái)驗(yàn)證公式P（AB）=P（A）P（B）是否成立，進(jìn)而判斷兩個(gè)事件之間的相互獨(dú)立關(guān)系.

解析：由題意可知，從中有放回地隨機(jī)取兩次的所有可能結(jié)果為6×6=36種.

兩點(diǎn)數(shù)和為8的所有可能結(jié)果為（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），共有5種.

兩點(diǎn)數(shù)和為7的所有可能結(jié)果為（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），共有6種.

所以P（甲）=16，P（乙）=16，P（丙）=536，P（丁）=636=16.

選項(xiàng)A中，P（甲丙）=0≠P（甲）P（丙）；

選項(xiàng)B中，P（甲丁）=136=P（甲）P（丁）；

選項(xiàng)C中，P（乙丙）=136≠P（乙）P（丙）；

選項(xiàng)D中，P（丙丁）=0≠P（丙）P（丁）.

綜上分析，甲與丁相互獨(dú)立.故選答案：B.

點(diǎn)評(píng)：此題所選取的情境材料直接源于“概率”章節(jié)中“事件的相互獨(dú)立性”的學(xué)習(xí)，材料所蘊(yùn)含的知識(shí)源于學(xué)生已有的生活體驗(yàn)，用概率解題卻源于學(xué)生的學(xué)習(xí)儲(chǔ)備，進(jìn)行合理的探索與創(chuàng)新.依賴創(chuàng)新情境的創(chuàng)設(shè)與應(yīng)用，抓住定義來(lái)處理，吻合題設(shè)要求，也是破解此類問(wèn)題比較常見(jiàn)的一類基本思維方法.

3 生活實(shí)踐情境

創(chuàng)設(shè)生活實(shí)踐情境是新高考數(shù)學(xué)命題中的一大應(yīng)用點(diǎn)，主要在考查“四層”的相關(guān)內(nèi)容中加以基礎(chǔ)性、綜合性的交匯，同時(shí)進(jìn)一步提升到應(yīng)用性、創(chuàng)新性等層面上，合理解決社會(huì)生活現(xiàn)象，堅(jiān)定數(shù)學(xué)的有用性與價(jià)值認(rèn)同.此類問(wèn)題所選取的情境材料通常源于學(xué)生自身的社會(huì)生活經(jīng)歷，綜合學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想、方法等，通過(guò)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建與應(yīng)用，對(duì)實(shí)際問(wèn)題的合理解釋以及為實(shí)際問(wèn)題的解決提供決策依據(jù).

例3? （2021·新高考Ⅰ卷·16）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折.規(guī)格為20 dm×12 dm的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到10 dm×12 dm，20 dm×6 dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1=240 dm2，對(duì)折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=180 dm2，以此類推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對(duì)折n次，那么∑nk=1Sk=dm2.

分析：第一問(wèn)難度不大，學(xué)生多會(huì)用窮舉法，借助列舉剖析當(dāng)中的規(guī)格，從而得到對(duì)應(yīng)的結(jié)果；第二問(wèn)利用數(shù)列中通項(xiàng)關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化，合理通過(guò)待定系數(shù)法進(jìn)行裂項(xiàng)相消，進(jìn)而達(dá)到數(shù)列求和的目的.此方法對(duì)數(shù)列通項(xiàng)的推理與代數(shù)變形的技巧與要求比較高，在平時(shí)的教學(xué)中可以視學(xué)生情況進(jìn)行選講、拓展.

解析：由題意可得如下結(jié)論.

對(duì)折1次得到2種規(guī)格：10 dm×12 dm，20 dm×6 dm.

對(duì)折2次得到3種規(guī)格：5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm.

對(duì)折3次得到4種規(guī)格：5 dm×6 dm，52 dm×12 dm，10 dm×3 dm，20 dm×32 dm.

對(duì)折4次得到5種規(guī)格：20 dm×34 dm，10 dm×32 dm，5 dm×3 dm，52 dm×6 dm，54 dm×12 dm.

猜想對(duì)折n次得到n+1種不同規(guī)格的圖形，且這n+1個(gè)長(zhǎng)方形的面積相等，都為240×12n，故面積之和為Sn=（n+1）×240×12n.

又因?yàn)閚+12n=n+22n－1－n+32n，所以

S=∑nk=1Sk=S1+S2+……+Sn=240320－421+240421－522+……+240n+22n－1－n+32n=2403－n+32n.

故填答案：（1）5；（2）2403－n+32n.

點(diǎn)評(píng)：此題所選取的情境材料直接源于實(shí)踐課程中“民間剪紙藝術(shù)”的學(xué)習(xí)，材料所蘊(yùn)含的知識(shí)源于學(xué)生已有的生活體驗(yàn)，用列舉法、數(shù)列求和法等來(lái)解題卻源于學(xué)生的學(xué)習(xí)儲(chǔ)備，故所創(chuàng)設(shè)的試題情境屬于生活實(shí)踐情境.結(jié)合中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化情境，展現(xiàn)我國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧與創(chuàng)造，樹(shù)立民族自豪感和遠(yuǎn)大理想，在高考數(shù)學(xué)試卷中備受關(guān)注.

歷年高考數(shù)學(xué)試卷都有創(chuàng)新情境問(wèn)題的出現(xiàn)，結(jié)合課程學(xué)習(xí)、探索創(chuàng)新、生活實(shí)踐等情境，合理創(chuàng)設(shè)一些創(chuàng)新真實(shí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的應(yīng)用與創(chuàng)新價(jià)值.

在此層面與基礎(chǔ)上，結(jié)合新高考指導(dǎo)精神的逐步落實(shí)和新課程改革進(jìn)程的穩(wěn)步推進(jìn)，充分體現(xiàn)高考數(shù)學(xué)學(xué)科層面的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的“四層”考查要求，合理把握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法等，提升數(shù)學(xué)品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).