巧思維切入，妙方法破解

劉晨玉

雙變元代數(shù)式的最值（最大值或最小值）或取值范圍問題，是天津高考試卷中一副不變的熟悉“面孔”，創(chuàng)新新穎，常考常新.破解此類問題，結(jié)合雙變元代數(shù)式的基本特征，借助基本不等式思維、函數(shù)或方程思維、導(dǎo)數(shù)思維或其他重要不等式思維等加以切入與破解，合理融合基本不等式、函數(shù)與方程、導(dǎo)數(shù)等相關(guān)數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想方法，巧妙處理，正確破解.

1 真題呈現(xiàn)

高考真題? （2021年高考數(shù)學(xué)天津卷第13題）已知a>0，b>0，則1a+ab2+b的最小值為.

2 真題剖析

此題以兩個正參數(shù)所對應(yīng)的代數(shù)式為問題背景，進(jìn)而確定對應(yīng)代數(shù)式的最值問題.題目代數(shù)關(guān)系式中兩參數(shù)之間沒有明顯的線性聯(lián)系，又不具有明顯的對稱性，剖析兩參數(shù)之間的次數(shù)、加減與乘積等方面的關(guān)系，為進(jìn)一步破解問題提供條件.

結(jié)合所求解的代數(shù)關(guān)系式的特征，合理配湊，巧妙拆分，整體設(shè)參，正確構(gòu)建等，借助基本不等式思維、其他重要不等式思維、函數(shù)或方程思維、導(dǎo)數(shù)思維等，合理轉(zhuǎn)化，巧妙變換，進(jìn)而得以確定相應(yīng)的代數(shù)式的最值問題.

3 真題破解

思維視角一：不等式思維.

方法1：兩步基本不等式法1.

解析：由于a>0，b>0，利用基本不等式，可得1a+ab2+b≥21a×ab2+b=2b+b≥22b×b=22，當(dāng)且僅當(dāng)1a=ab2，且2b=b，即a=b=2時，等號成立.

所以1a+ab2+b的最小值為22.

故填答案：22.

點評：根據(jù)所求代數(shù)式的基本特征，利用基本不等式，分兩步來處理，第一步先消去參數(shù)a，結(jié)合代數(shù)式的變形與轉(zhuǎn)化再進(jìn)行第二步消參數(shù)b，進(jìn)而得以確定代數(shù)式的最值.抓住代數(shù)式的基本特征，合理分步，巧妙借助基本不等式兩步走，合理消參，確定最值.

方法2：兩步基本不等式法2.

解析：由于a>0，b>0，利用基本不等式，可得1a+ab2+b=1a+b2+ab2+b2≥21a×b2+2ab2×b2=2b2a+2a2b=2ba+2ab≥22ba×2ab=22，當(dāng)且僅當(dāng)1a=b2，ab2=b2，且2ba=2ab，即a=b=2時，等號成立.

所以1a+ab2+b的最小值為22.

故填答案：22.

點評：根據(jù)所求代數(shù)式的基本特征，巧妙配湊，合理分拆，借助合理的分配與組合，分別利用基本不等式，變形轉(zhuǎn)化后再次利用基本不等式來處理，進(jìn)而得以確定代數(shù)式的最值.抓住代數(shù)式的基本特征，合理分拆與分步，巧妙借助基本不等式，保留參數(shù)，巧妙兩步走，確定最值.

方法3：均值不等式法.

解析：由于a>0，b>0，由均值不等式可得1a+ab2+b=1a+ab2+b2+b2≥441a×ab2×b2×b2=22，當(dāng)且僅當(dāng)1a=ab2=b2，即a=b=2時，等號成立.

所以1a+ab2+b的最小值為22.

故填答案：22.

點評：根據(jù)所求代數(shù)式的基本特征，巧妙配湊，合理分拆，利用代數(shù)式進(jìn)行巧妙平均拆分處理，結(jié)合拆分后所對應(yīng)的代數(shù)關(guān)系式，巧妙利用四次均值不等式，進(jìn)而得以確定對應(yīng)代數(shù)式的最值問題.抓住代數(shù)式的基本特征，巧妙配湊，合理分拆，巧妙借助均值不等式，直接確定最值.

思維視角二：方程思維.

方法4：待定系數(shù)法.

解析：由于a>0，b>0，令1a+ab2+b=t>0，變形整理，可得a2+（b3-tb2）a+b2=0.

要使得關(guān)于參數(shù)a的二次方程有正數(shù)解，則需滿足b3-tb2<0且Δ=（b3-tb2）2-4b2≥0.

整理，可得b3-tb2<0且（b3-tb2）2≥4b2.

又b＞0，則b3-tb2≤-2b，即t≥b+2b.

利用基本不等式，可得t≥b+2b≥2b×2b=22，當(dāng)且僅當(dāng)b=2b，即a=b=2時，等號成立.

所以1a+ab2+b的最小值為22.

故填答案：22.

點評：根據(jù)所求代數(shù)式進(jìn)行待定系數(shù)法處理，將問題方程化，結(jié)合關(guān)于參數(shù)a的二次方程有正數(shù)解，建立對應(yīng)的不等式，分離參數(shù)，利用基本不等式來確定參數(shù)t的最小值，進(jìn)而得以求解代數(shù)式的最值問題.引入?yún)?shù)進(jìn)行待定系數(shù)法處理，結(jié)合方程思維，利用不等式的求解以及基本不等式的應(yīng)用來巧妙破解.

思維視角三：導(dǎo)數(shù)思維.

方法5：導(dǎo)數(shù)法.

解析：由于a>0，b>0，構(gòu)造函數(shù)f（a）=1a+ab2+b.

求導(dǎo)，可得f′（a）=-1a2+1b2=a2-b2a2b2=（a+b）（a-b）a2b2.

當(dāng)a＞b時，f′（a）＞0，f（a）單調(diào)遞增；

當(dāng)a＜b時，f′（a）＜0，f（a）單調(diào)遞增.

故f（a）在（0，b）上單調(diào)遞減，在（b，+∞）上單調(diào)遞增.

令f′（a）=0，可得a=b，此時f（a）≥1b+bb2+b=2b+b≥22b×b=22，當(dāng)且僅當(dāng)2b=b，即a=b=2時，等號成立.

所以1a+ab2+b的最小值為22.

故填答案：22.

點評：通過構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的求導(dǎo)運算，利用導(dǎo)函數(shù)的零點確定函數(shù)的最值，進(jìn)而確定此時對應(yīng)的最值關(guān)系式，利用基本不等式確定相應(yīng)的最值問題.導(dǎo)數(shù)法處理代數(shù)式的最值問題，是破解此類最值問題常見的思維方式，導(dǎo)數(shù)思維是解決函數(shù)最值問題的基本思維方法之一.

4 教學(xué)啟示

破解雙變量或多變量代數(shù)式的最值問題，結(jié)合代數(shù)式的特征，合理借助不等式思維、函數(shù)與方程或?qū)?shù)思維等，合理配湊，巧妙拆分，整體設(shè)參，正確構(gòu)建，利用不同的思維方式加以分析與破解.

（1）首選不等式思維

破解雙變量或多變量關(guān)系條件下的代數(shù)式最值問題，關(guān)鍵是借助已知條件中的關(guān)系式，合理恒等變形，巧妙運算轉(zhuǎn)化，結(jié)合不等式思維，特別是基本不等式以及不等式性質(zhì)等加以合理轉(zhuǎn)化與處理，進(jìn)而直接確定對應(yīng)代數(shù)式的最值問題.

（2）函數(shù)與方程或?qū)?shù)思維

函數(shù)與方程思維或?qū)?shù)思維，也是破解雙變量或多變量關(guān)系條件下代數(shù)式最值問題的基本思維方式.通過函數(shù)與方程思維加以轉(zhuǎn)化，或利用函數(shù)思維，結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行求解；或利用方程思維，結(jié)合判別式的應(yīng)用加以處理；或利用導(dǎo)數(shù)思維，通過求導(dǎo)來確定單調(diào)性、極值與最值等來分析與處理.

（3）拓展思維，形成能力

對于此類問題，要合理挖掘其豐富內(nèi)涵，不斷探究反思，舉一反三，靈活變通，學(xué)會變式拓展，探究提升，真正達(dá)到融會貫通.從數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)能力等層面融合，形成數(shù)學(xué)知識體系，轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)能力，有效應(yīng)用于相應(yīng)的數(shù)學(xué)解題中，真正形成良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)，有效提高數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).