合作交流 讓“教”與“學(xué)”更有效

周?chē)?guó)維

合作交流是課堂教學(xué)的一種重要教學(xué)形式，旨在通過(guò)師生和生生的有效互動(dòng)讓學(xué)生更好地理解知識(shí)，理解數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.高中數(shù)學(xué)知識(shí)是抽象且復(fù)雜的，許多內(nèi)容對(duì)思維要求較高，而學(xué)生的理解能力有限，這樣學(xué)生在個(gè)別知識(shí)點(diǎn)的理解上難免會(huì)出現(xiàn)思維障礙，如果教學(xué)中教師能夠?yàn)閷W(xué)生提供一個(gè)平等的、民主的學(xué)習(xí)環(huán)境，學(xué)生就可以積極表達(dá)自己的意見(jiàn)和見(jiàn)解.這樣通過(guò)師生和生生的有效互動(dòng)和交流，教師可以更好地了解學(xué)生、幫助學(xué)生，而學(xué)生的創(chuàng)造力同樣會(huì)給教師的教學(xué)提供有效的補(bǔ)充，從而實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng).下面筆者呈現(xiàn)兩個(gè)具體案例，供大家商榷.

1 案例呈現(xiàn)

案例1? 在△ABC中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，若sin A=3sin Ccos B，且c=2，則△ABC面積的最大值為.

案例1是一道期末考試試題，從試卷反饋來(lái)看，該題的得分率不高，為了找到問(wèn)題的癥結(jié)，教師重點(diǎn)呈現(xiàn)學(xué)生的思維過(guò)程，并通過(guò)深度交流引領(lǐng)學(xué)生找到解決問(wèn)題的方法.

師：對(duì)于案例1，誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)怎么解？

生1：因?yàn)閟in A=3sin Ccos B，由正弦定理得a=3ccos B，又cos B=a2+c2－b22ac，所以可得a2+3c2－3b2=0.又c=2，則a2+12=3b2.已知條件都用了，只能推導(dǎo)到這步，接下來(lái)就不知道該如何繼續(xù)了.

師：很好，充分應(yīng)用了正弦定理和余弦定理的變形得到a2+12=3b2，雖然沒(méi)有得到最終結(jié)果，但是也展示了很強(qiáng)的推理能力.現(xiàn)在我們順著生1的思路想一想，看看結(jié)合三角形面積公式，能不能找到解決問(wèn)題的突破口？

問(wèn)題給出后，學(xué)生積極演算.幾分鐘后，學(xué)生開(kāi)始主動(dòng)交流討論起來(lái)，很快就有學(xué)生有了解決方案.

生2：由三角形的面積公式得S△ABC=12acsin B=asin B.又由a2+12=3b2，很容易聯(lián)想到cos B=a2+4－b24a=b2－42a.

所以，可得sin B=1－cos2B=1－b2－42a2=36－（b2－10）24a2，S△ABC=12acsin B=asin B=1236－（b2－10）2≤3，當(dāng)b=10時(shí)，等號(hào)成立，所以三角形面積的最大值是3.

師：很好，為生2超強(qiáng)的計(jì)算能力點(diǎn)贊.你們還有其他的演算方法嗎？

生3：由sin A=3sin Ccos B及正弦定理，得a=3ccos B.將c=2代入，得a=6cos B，則cos B=a6，sin B=1－a62=36－a26，S△ABC=12acsin B=asin B=a·36－a26=16a2（36－a2）≤16·a2+（36－a2）2=3，當(dāng)且僅當(dāng)a2=36－a2，即a=32時(shí)，等號(hào)成立，所以三角形面積的最大值是3.

生3的解題過(guò)程給出后，大家的眼前一亮，兩人的計(jì)算結(jié)果一致，但是生3的運(yùn)算量卻明顯減少了.此時(shí)，同學(xué)們認(rèn)為已經(jīng)找到了最優(yōu)的解決方法.正當(dāng)教師想對(duì)該方法進(jìn)行總結(jié)歸納，然后結(jié)束該題的探究時(shí)，又有一位學(xué)生有了新的發(fā)現(xiàn).

生4：得到a=6cos B后，可以直接將這個(gè)結(jié)果代入到三角形面積公式中，于是有S△ABC=12acsin B=asin B=6sin Bcos B=3sin 2B.由于sin 2B≤1，所以S△ABC≤3（當(dāng)sin 2B=1，即B=45°時(shí)，等號(hào)成立），所以該三角形面積的最大值為3.

生4的答案給出后，教室里響起了熱烈的掌聲.

師：這個(gè)解法太簡(jiǎn)捷了！避免了復(fù)雜的運(yùn)算，大大地提升了計(jì)算效率.

師：對(duì)比以上解題過(guò)程，請(qǐng)大家思考一下，這些解題過(guò)程的本質(zhì)是什么？

教師的話音剛落，學(xué)生積極交流起來(lái).隨后，教師點(diǎn)名讓學(xué)生呈現(xiàn)交流結(jié)果.

生5：前面兩種方法的本質(zhì)是將角化邊，而生4所采用的辦法是將邊變成角，運(yùn)用整體代換的思想方法，大大地減少了運(yùn)算量.

師：總結(jié)得很好，今后在解三角形的問(wèn)題時(shí)，既要考慮到角化邊，也不能忽視邊化角，學(xué)會(huì)從不同角度分析，這樣往往可以達(dá)到優(yōu)化解題過(guò)程，提高解題效率的效果.

案例2? 在平面幾何中有如下結(jié)論：若正三角形的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則S1S2=14.那么若將該結(jié)論推廣至空間幾何體中，可以得到類(lèi)似的結(jié)論：若正四面體內(nèi)切球的體積為V1，外接球的體積為V2，則V1V2=.

該題是一道類(lèi)比推理題，學(xué)生通過(guò)類(lèi)比猜想直接猜出答案，教師點(diǎn)名讓得到錯(cuò)誤結(jié)果的學(xué)生給出答案.

生1：我猜想答案應(yīng)該是18.（部分學(xué)生點(diǎn)頭表示贊成生1的答案.）

師：請(qǐng)具體說(shuō)一說(shuō)你的想法.

生1：正三角形內(nèi)切圓和外接圓的面積比為S1S2=14=122，猜想體積比應(yīng)該是V1V2=123=18.

師：哦，按照你的思路，也就是說(shuō)內(nèi)接球和外接球的半徑之比是12，這個(gè)結(jié)論是否成立呢？

為了驗(yàn)證結(jié)論，學(xué)生開(kāi)始演算，并與同桌交流，很快就有學(xué)生提出了反對(duì)意見(jiàn)，并給出了自己的結(jié)論.

生2：如圖1，在正四面體ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥平面BCD，垂足為H，則H為正三角形BCD的中心.連接BH并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)E，則E為CD邊的中點(diǎn).連接AE，設(shè)點(diǎn)O是正四面體ABCD的內(nèi)切球球心，易證點(diǎn)O在AH上，則OH是內(nèi)切球半徑，OA，OB為外接球半徑.設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，根據(jù)勾股定理易得正四面體ABCD的內(nèi)切球半徑為612a，外接球半徑為64a，則內(nèi)切球與外接球的半徑之比為13，所以它們的體積比為127.

生1的推理過(guò)程給出后，教師沒(méi)有急于評(píng)價(jià)，而是鼓勵(lì)學(xué)生按照生1的思路驗(yàn)算，大家順利求解后，教師又鼓勵(lì)學(xué)生尋找其他解決問(wèn)題的方法.

生2：生1的解法很好，不過(guò)該題只需求出內(nèi)切球和外接球的半徑之比，所以該解法可以進(jìn)一步優(yōu)化.

師：具體說(shuō)一說(shuō)你的想法.

生2：我是根據(jù)以前的解題經(jīng)驗(yàn)推理的，以前在研究正四面體的問(wèn)題時(shí)曾經(jīng)將其放在正方體中研究，受此啟發(fā)，得到了圖2.

設(shè)正方體的體對(duì)角線EC與平面ABD交于點(diǎn)F，正方體的中心為O，則O既是體對(duì)角線EC的中點(diǎn)，也是正四面體ABCD內(nèi)切球和外接球的球心，OF為內(nèi)切球的半徑（易證），OC為外接球的半徑，且OC=12EC.又EF=13EC（曾經(jīng)證明過(guò)），所以O(shè)F=12EC－13EC=16EC.于是OFOC=13，從而得到V1V2=127.

師：說(shuō)得非常好！充分應(yīng)用學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法，不僅提升了解題速度，而且優(yōu)化了運(yùn)算過(guò)程.

生3：我感覺(jué)還可以這樣解.如圖3，在正四面體ABCD中，O是正四面體的中心，AH是正四面體的高，H是點(diǎn)A在底面BCD上的射影，OH為內(nèi)切球半徑.連接OA，OB，OC，OD，這樣正四面體被分割成四個(gè)全等的小四面體，OA為外接球半徑，VA-BCD=4VO-BCD，即13S△BCD×AH=4×13S△BCD×OH，所以O(shè)HAH=14，OHOA=13，V1V2=133=127.

師：這個(gè)方法太好了，你是怎么想到的呢？

生3：其實(shí)我是受生2的啟發(fā)，他應(yīng)用的是割補(bǔ)法中的“補(bǔ)”，我就想嘗試一下割補(bǔ)法中的“割”，于是得到了以上解法.

師：很好，生3的解法非常簡(jiǎn)單，運(yùn)算量也特別小.你們個(gè)個(gè)都是神童.

師：回顧上述解題過(guò)程，你有什么感悟呢？

學(xué)生們紛紛感嘆割補(bǔ)法的魅力.

師：對(duì)于割補(bǔ)法大家并不陌生，在初中平面幾何中就應(yīng)用過(guò)，現(xiàn)在將其遷移至立體幾何中，其威力同樣不可小覷.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)其本質(zhì)就是一種遷移，在學(xué)習(xí)中要多思考、多嘗試，這樣往往會(huì)有意外的驚喜.

2 教學(xué)思考

2.1 順勢(shì)而為，發(fā)掘?qū)W生智慧

不同學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、思考習(xí)慣、知識(shí)水平、解題經(jīng)驗(yàn)等有所不同，因此在遇到新的問(wèn)題時(shí)，他們往往也會(huì)給出不同的解題思路.教學(xué)中，教師要尊重“不同”，并鼓勵(lì)學(xué)生合作交流，這樣不僅可以豐富學(xué)生的已有知識(shí)和已有經(jīng)驗(yàn)，而且通過(guò)有效的對(duì)比分析可以發(fā)現(xiàn)非常好的解題方法.

2.2 注重交流，實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng)

課堂是師生互動(dòng)交流的主要場(chǎng)所，課堂教學(xué)是動(dòng)態(tài)變化的.教學(xué)中，教師既要做好充分的預(yù)設(shè)，也要及時(shí)捕捉各種課堂資源，充分發(fā)揮個(gè)體思維差異的優(yōu)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng).對(duì)于教師而言，教學(xué)經(jīng)驗(yàn)既是寶貴的財(cái)富，也是制約思維發(fā)展的枷鎖，在慣性思維的影響下容易陷入程序化的解題過(guò)程，這樣可能難以發(fā)現(xiàn)最優(yōu)的解題方案.因此，教學(xué)中教師不僅要鼓勵(lì)生生交流，也要進(jìn)行師生交流，從而通過(guò)有效的交流相互啟發(fā)，取長(zhǎng)補(bǔ)短，實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng).

總之，在日常教學(xué)中，教師應(yīng)將教學(xué)的重心放在促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)上，改變傳統(tǒng)“以師為主”的講授模式，積極探索多樣化的教學(xué)方式，帶領(lǐng)學(xué)生走上會(huì)學(xué)之路.