真題追本溯源，回歸教材本源

丁學智

摘要：高中數學教材中的一些典型例（習）題，具有相關模塊知識的典型性與應用，也一直是高考數學命題的基本源泉之一.結合一道三角函數求值的高考真題的追根溯源，挖掘根源所在，開拓解題思路，總結性質規律，合理回歸教材并挖掘教材知識，有效指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：三角函數；公式；換元；教材；習題

高中數學教材例（習）題往往是每年高考數學命題的一個重要腳本，回歸教材本源，合理挖掘教材例（習）題的各個方面，基于數學問題場景、數學知識結構與數學思想方法等，全面構建相應的數學知識網絡體系，架構數學基礎知識之間的巧妙鏈接與綜合應用，形成數學能力，合理滲透并應用到高考命題中去.

1 高考真題呈現

（2023年新高考Ⅰ卷·8）已知sin （α－β）=13，cos αsin β=16，則cos （2α+2β）=（? ）.

A.79

B.19

C.－19

D.－79

此題通過兩角差的三角函數值、兩單角三角函數值的積來設置問題場景，利用兩角和的二倍角的三角函數值的求解來創設問題，是高考中三角函數求值問題的一種基本題型與綜合應用.

三角函數求值的幾種常見類型：“給角求值”“給值求值”“給值求角”等.解決問題的基本思路就是建立題設條件與所求結論之間函數值、函數名、角、運算式等要素之間的聯系，結合相關的三角函數公式加以合理變換與轉化，從而實現函數值、角等的求解與應用.

2 真題破解

解法1：兩角差的正弦公式法.

因為sin （α－β）=sin αcos β－cos αsin β=13，

而cos αsin β=16，可得sin αcos β=13+16=12，所以sin （α+β）=sin αcos β+cos αsin β=12+16=23.

所以cos （2α+2β）=1－2sin 2（α+β）=1－2×232=19.

故選：B.

解法2：積化和差公式法.

由cos αsin β=16，利用積化和差公式，可得cos α＼5sin β=12＼=16.

又sin （α－β）=13，可得sin （α+β）=16×2+13=23，

所以cos （2α+2β）=cos 2（α+β）=1－2sin 2（α+β）=1－2×232=19.

故選：B.

解法3：換元法.

設α－β=γ，則α=β+γ，sin γ=13.

而cos αsin β=16，即cos （β+γ）sin β=16，所以cos βcos γsin β－sin γsin 2β=16.

所以12cos γsin 2β－sin γ·12（1－cos 2β）=16，即12cos γsin 2β－12sin γ+12sin γcos 2β=16.

所以12sin （2β+γ）=13，即sin （2β+γ）=23.

所以cos （2α+2β）=cos （4β+2γ）=1－2sin 2（2β+γ）=1－2×232=19.

故選：B.

解后反思：涉及三角函數中的“給值求值”問題，借助題設條件，方法1中從兩角差的正弦公式入手來變換，解法2中從積化和差公式的應用來轉化，解法3中從整體換元思維來切入，進而利用三角函數關系式的變形與轉化，結合二倍角公式來分析與求解.其中解法1是最為常見的解題方法，也是解決問題的“通性通法”，需要加以熟練掌握.而借助思維視角的改變，也有其他相關的技巧方法可以達到求解目的.

3 追本溯源

追本溯源，該題是在高中數學教材的課后習題的基礎上，依據數學基礎知識，從命題形式、條件轉化、結論設置、能力提升與綜合應用等方面，開拓數學思維，改變對應問題的設置，從而實現問題的應用.

習題? 〔人民教育出版社2019年《數學》（必修第一冊）第五章“三角函數”第229頁習題5.5第9題〕

已知sin （α+β）=12，sin （α－β）=13.

求證：

（1）sin αcos β=5cos αsin β；

（2）tan α=5tan β.

該教材習題通過sin （α+β），sin （α－β）與sin α＼5cos β，cos αsin β之間的關系，合理設置已知條件與所求結論，以證明的方式來創設，是三角函數求值的另一種表達方式，達到三角函數求值的綜合應用目的.

以上教材習題的證明過程與技巧方法，可以參照上文原高考真題的解析過程，這里不再展開.

其實，涉及三角函數求值的綜合應用問題，是高中數學的一個重要知識點，也是各級、各類考試中的一個基本考點，難度一般比較簡單或中等.

4 變式拓展

變式? （湖北省2024屆新高三騰云聯盟八月聯考數學試題）已知π2<α<3π2，－π2<β<0，且sin α+sin β=3（cos α+cos β），則下列結論一定不正確的是（? ）.

A.cos （α－β）=－1

B.sin （α－β）=0

C.cos （α+β）=－12

D.sin （α+β）=－32

分析：根據題設條件，抓住給出的三角函數關系式的兩邊比較工整，且均是兩角正弦值（或余弦值）的和式特征，可以直接利用三角函數的和差化積公式加以轉化，利用三角函數關系式的恒等變形，并結合角的取值范圍來分析與判斷所給結論是否成立.

解：由sin α+sin β=3（cos α+cos β），利用三角函數的和差化積公式，可得

2sinα+β2cosα－β2=23cosα+β2cosα－β2.

整理有cosα－β2sinα+β2－3cosα+β2=0.結合輔助角公式，得2cosα－β2sinα+β2－π3=0.

由π2<α<3π2，－π2<β<0，可得π4<α－β2<π，－π3<α+β2－π3<5π12，故α－β2=π2或α+β2－π3=0，解得α－β=π或α+β=2π3.

故選：D.

5 教學啟示

5.1 熟練掌握公式，把握常規方法

解決三角函數求值問題的關鍵，就是充分挖掘題設條件與所求結論中的函數值、函數名、角、運算式等要素之間的聯系，結合同角三角函數基本關系式、誘導公式、三角恒等變換公式以及解三角形中的相關定理等進行巧妙的“變”——變角、變名、變式，如圖1.

由題設條件入手，到所求結論為止，構建聯系，合理求“變”，化歸與轉化，實現三角函數值的求解.

5.2 落實教材本源，探尋問題內涵

腳踏實地，認真研究和學習高中數學教材中的基礎知識與相關的例（習）題，從數學知識根源上去深入、研究、理解、掌握，充分把握數學基礎知識的基本內涵與實質，以不變應萬變，這才能真正發揮高中數學教材的最大作用.

我們知道，高中數學教材的基礎知識與對應的例（習）題等相關內容，都具有其他數學教學參考書、習題集等所不可替代的作用和教育教學功能，具有典型性，起到總結成功經驗與標桿等方面的作用.教師要合理引導學生深入領會高中數學教材中對應例（習）題所展示出來的知識內涵與命題意圖，并加以研究和開發，合理追根溯源.真正達到“雙減”的目的，減少所謂的“補充內容”，減少資料書的使用，真真切切地做到為學生減負，同時又能夠增加學生動手、動腦等方面的能力，提高學習興趣，是一舉多得的好事情.