說說動點的軌跡方程的兩種求法

動點的軌跡方程問題經常出現在解析幾何試題中.解答這類問題，需熟悉一些平面幾何圖形，如用拋物線、雙曲線、橢圓、等腰三角形、平行四邊形、圓的特征和方程，靈活運用點到直線的距離公式、兩點間的距離公式、勾股定理、正余弦定理等建立關系式.本文將結合幾道例題，談一談求解動點軌跡方程問題的兩種方法，以供讀者參考.

一、相關點法

如果動點的軌跡和其他點的位置有關，那么這個動點存在相關點，則可以采用相關點法求動點的軌跡方程.首先建立動點與相關點的坐標之間的關系；然后列出有關相關點的坐標的關系式；再用動點的坐標表示相關點的坐標，通過代換，求得動點的軌跡方程.

例1.如圖所示，拋物線[E：y2=2x]與圓[O：x2+y2=8]相交于[A]、[B]兩點.點[P（x0，y0）]是圓上的一點，過點[P]作圓[O]的切線和[E]交于[C]、[D]兩點，過[C]、[D]兩點作拋物線的切線[l1，l2]，交于點[M]，求點[M]的軌跡方程.

將其代入[y2=2x]可得[ky2-2y+2y1-ky12=0]，

因為[l1，l2]是拋物線的兩條切線，

由題意可知點M為拋物線的切線[l1]、[l2]的交點，所以點C、D是點M點的相關點，于是采用相關點法，分別設出C、D、M的坐標，建立關于C、D的坐標的關系式，然后用x、y表示出相關點的坐標，通過代換消去參數，從而求得M的軌跡方程.

二、交軌法

交軌法適用于求兩動曲線的交點的軌跡方程.先選擇合適的參數表示兩動曲線的方程；然后通過消元的方式將參數消去，即可得到兩動曲線交點的方程.

消去t可得[x2-y2+2x-2y+8=0]，即為點[M]的軌跡方程.

當[t=-2或t=-1]時，[PA]與[QB]的交點坐標也滿足上式.

運用交軌法解題本質上是根據動點同時滿足兩曲線的方程的前提條件，聯立兩個方程，通過消參求得交點所滿足的方程.

求動點的軌跡方程的方法很多，關鍵在于把握問題的本質，明確動點與直線、曲線之間的位置關系，找到動點的坐標所滿足的方程，就能順利求得問題的答案.