例談求數(shù)列和的兩種方法

數(shù)列求和問題通常會(huì)側(cè)重于考查同學(xué)們運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)求和公式等知識(shí)的熟練程度.這類問題對(duì)同學(xué)們的邏輯推理和運(yùn)算能力有較高的要求.下面主要談一談數(shù)列求和的兩種方法：錯(cuò)位相減法、分組求和法.

一、錯(cuò)位相減法

錯(cuò)位相減法一般適用于求形如[{bncn}]的數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中[{bn}]是等差數(shù)列，[{cn}]是等比數(shù)列.若等比數(shù)列[{cn}]的公比[q]=1，則[{bncn}]為等差數(shù)列，可以直接根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式來求和.若等比數(shù)列[{cn}]的公比[q≠1]，則運(yùn)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，一般有以下幾個(gè)步驟：

第一步，寫出[Sn]的表達(dá)式：[Sn=b1c1+b2c2+…+bn-1cn-1+bncn]；

第二步，將上式的左右兩邊同時(shí)乘以公比q，可得[qSn=b1c2+b2c3+…+bn-1cn+bncn+1]；

例1.已知數(shù)列[{an}]滿足[a1=2，log2an+1=log2an+1.]

（1）求數(shù)列[{an}]的通項(xiàng)公式；

（2）求[{（3n-1）an}]的前n項(xiàng)和[Sn].

解：（1）在數(shù)列[{an}]中，[a1=2，log2an+1=log2an+1]，

即數(shù)列[{an}]是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故[an=2n（n∈N*）].

（2）由（1）可得[3n-1an=（3n-1）?2n]，

則[Sn=2×2+5×22+8×23+…+3n-4?2n-1+（3n-1）?2n]，

于是[2Sn=2×22+5×23+…+3n-7?2n-1+3n-4?2n+（3n-1）?2n+1]，

[=-8+2n+1?（4-3n）]，

所以[{（3n-1）an}]的前n項(xiàng)和[Sn=8+2n+1?（3n-4）].

數(shù)列[{（3n-1）an}]的通項(xiàng)公式為[（3n-1）?2n]，其中[3n-1]為等差數(shù)列，[2n]為等比數(shù)列，所以可以利用錯(cuò)位相減法來求和.在作差時(shí)，要將q的指數(shù)冪相同的項(xiàng)相減，以快速構(gòu)造出等比數(shù)列，將問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和問題.

二、分組求和法

分組求和法是一種非常重要的數(shù)列求和方法.這種方法一般適用于如下兩種情形：（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式為分段式，如數(shù)列奇偶項(xiàng)的通項(xiàng)公式不同、數(shù)列的通項(xiàng)公式中含有絕對(duì)值；（2）數(shù)列的通項(xiàng)公式為等差數(shù)列、等比數(shù)列、常數(shù)列的和差.在解題時(shí)，要仔細(xì)觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式或者各項(xiàng)，將其進(jìn)行合理的拆分、重組，使其為簡(jiǎn)單的等差數(shù)列、等比數(shù)列、常數(shù)列，這樣便于計(jì)算、求和.

錯(cuò)位相減法和分組求和法是求數(shù)列前n項(xiàng)和的兩種常用方法，其適用情形有所不同，同學(xué)們需注意辨別.在求數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，要先明確數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)其進(jìn)行合理的拆分、變形，使其為等差與等比數(shù)列的和、差、積、倍數(shù).這樣便能化難為易，將問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和問題來求解，就能達(dá)到事半功倍的效果.